【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-3三角函数的图象与性质作业

【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-3三角函数的图象与性质作业

‎§4.3　三角函数的图象与性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 三角函数 的图象 ‎①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象;②了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响 ‎2016课标全国Ⅰ,6,5分 三角函数图象的平移变换 三角函数的周期 ‎★★☆‎ ‎2016课标全国Ⅲ,14,5分 三角函数图象的平移变换 ‎—‎ 三角函数 的性质 ‎①了解三角函数的周期性;②理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等).理解正切函数的单调性 ‎2018课标全国Ⅰ,8,5分 三角函数的性质(周期性、最值)‎ 三角恒等变换 ‎★★★‎ ‎2018课标全国Ⅱ,10,5分 三角函数的性质(单调性)‎ 辅助角公式 ‎2018课标全国Ⅲ,6,5分 三角函数的性质(周期性)‎ 三角恒等变换 及同角关系式 分析解读　　从近几年的高考试题来看,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,往往结合三角公式化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值问题,且常以客观题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点,分值一般为5分或12分,难度不大,属于中档题目.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　三角函数的图象 ‎1.(2019届湖北重点中学开学测试,7)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin‎2x+‎‎2π‎3‎,则下面结论正确的是(　　)‎ A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移‎2π‎3‎个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎3‎个单位长度,得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移‎2π‎3‎个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎2‎个单位长度,得到曲线C2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届河北衡水中学二调,8)为得到函数y=cos‎2x+‎π‎3‎的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.向右平移‎5π‎12‎个单位长度 B.向左平移‎5π‎12‎个单位长度 C.向右平移‎5π‎6‎个单位长度 D.向左平移‎5π‎6‎个单位长度 答案　B　‎ ‎3.(2017四川成都五校联考,8)已知f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π‎2‎,x∈R在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x)的图象可由函数y=cos x的图象(纵坐标不变)如何变换得到(　　)‎ A.先把各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,再向左平移π‎6‎个单位 B.先把各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,再向右平移π‎12‎个单位 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移π‎6‎个单位 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移π‎12‎个单位 答案　B　‎ 考点二　三角函数的性质 ‎1.(2017课标全国Ⅱ,3,5分)函数f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎的最小正周期为(　　)‎ A.4π B.2π C.π D.‎π‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2019届贵州贵阳10月联考,10)已知函数f(x)=sinωx+‎π‎3‎(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象(　　)‎ A.关于点π‎3‎‎,0‎对称 B.关于直线x=π‎3‎对称 C.关于点π‎4‎‎,0‎对称 D.关于直线x=π‎4‎对称 答案　A　‎ ‎3.(2017安徽淮北第二次模拟,10)已知函数f(x)=asin xcos x-sin2x+‎1‎‎2‎图象的一条对称轴方程为x=π‎6‎,则函数f(x)的单调递增区间为(　　)‎ A.kπ-π‎3‎,kπ+‎π‎6‎(k∈Z) B.kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎(k∈Z)‎ C.kπ-‎7π‎12‎,kπ-‎π‎12‎(k∈Z) D.kπ+π‎6‎,kπ+‎‎2π‎3‎(k∈Z)‎ 答案　A　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　由三角函数图象确定函数解析式的方法 ‎1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式及S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)的值分别为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.f(x)=‎1‎‎2‎sin 2πx+1,2 013‎ B.f(x)=‎1‎‎2‎sin 2πx+1,2 013‎‎1‎‎2‎ C.f(x)=‎1‎‎2‎sinπ‎2‎x+1,2 014‎ D.f(x)=‎1‎‎2‎sinπ‎2‎x+1,2 014‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019届安徽皖中摸底考试,6)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是(　　)‎ A.1,‎3π‎4‎ B.2,‎π‎4‎ C.π,‎3π‎4‎ D.2π,‎π‎4‎ 答案　C　‎ 方法2　三角函数的周期与对称轴(对称中心)的求解方法 ‎1.(2019届湖北襄阳重点中学9月调研,6)将函数y=cos 2x的图象向左平移π‎2‎个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)‎ A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为2π C.y=f(x)的图象关于直线x=π‎2‎对称 D.y=f(x)的图象关于点‎-π‎2‎,0‎对称 答案　C　‎ ‎2.(2019届河南顶级名校9月联考,4)函数f(x)=‎1‎‎2‎cos 2x+‎3‎sin xcos x的图象的一个对称中心是(　　)‎ A.π‎3‎‎,0‎ B.‎π‎6‎‎,0‎ C.‎-π‎6‎,0‎ D.‎‎-π‎12‎,0‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019届河北邯郸摸底考试,17)已知f(x)=‎3‎cos 2x+2sin‎3π‎2‎‎+xsin(π-x),x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;‎ ‎(2)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=-‎3‎,a=3,求BC边上的高的最大值.‎ 解析　(1)f(x)=‎3‎cos 2x+2sin‎3π‎2‎‎+xsin(π-x)=‎3‎cos 2x-2cos x·sin x=‎3‎cos 2x-sin 2x=-2sin‎2x-‎π‎3‎,‎ ‎∴f(x)的最小正周期为π.‎ 令2x-π‎3‎=kπ+π‎2‎(k∈Z),得x=kπ‎2‎+‎5π‎12‎,k∈Z.∴f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ‎2‎+‎5π‎12‎(k∈Z).‎ ‎(2)由f(A)=-‎3‎得sin‎2A-‎π‎3‎=‎3‎‎2‎,∴2A-π‎3‎=π‎3‎+2kπ(k∈Z)或‎2π‎3‎+2kπ(k∈Z),又A∈‎0,‎π‎2‎,∴A=π‎3‎.‎ 由a2=b2+c2-2bccos A及已知得9=b2+c2-bc≥bc,‎ 即bc≤9(当且仅当b=c时取等号).‎ 设BC边上的高为h,由‎1‎‎2‎ah=‎1‎‎2‎bcsin A,得3h=‎3‎‎2‎bc≤‎9‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴h≤‎3‎‎3‎‎2‎,即h的最大值为‎3‎‎3‎‎2‎.‎ 方法3　三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法 ‎1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin‎2x+‎π‎5‎的图象向右平移π‎10‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.在区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上单调递增 B.在区间‎-π‎4‎,0‎上单调递减 C.在区间π‎4‎‎,‎π‎2‎上单调递增 D.在区间π‎2‎‎,π上单调递减 答案　A　‎ ‎2.(2018河南顶级名校11月联考,9)某房间的室温T(单位:摄氏度)与时间t(单位:小时)的函数关系是T=asin t+bcos t,t∈(0,+∞),其中a,b是正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,则a+b的最大值是(　　)‎ A.5‎2‎ B.10 C.10‎2‎ D.20‎ 答案　A　‎ ‎3.(2017课标全国Ⅱ,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　三角函数的图象 ‎1.(2016课标全国Ⅰ,6,5分)将函数y=2sin‎2x+‎π‎6‎的图象向右平移‎1‎‎4‎个周期后,所得图象对应的函数为(　　)　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.y=2sin‎2x+‎π‎4‎ B.y=2sin‎2x+‎π‎3‎ C.y=2sin‎2x-‎π‎4‎ D.y=2sin‎2x-‎π‎3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-‎3‎cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. ‎ 答案　‎π‎3‎ 考点二　三角函数的性质 ‎1.(2018课标全国Ⅰ,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(　　)‎ A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3‎ B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4‎ C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3‎ D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018课标全国Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是(　　)‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.‎3π‎4‎ D.π 答案　C　‎ ‎3.(2018课标全国Ⅲ,6,5分)函数f(x)=tanx‎1+tan‎2‎x的最小正周期为(　　)‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.π D.2π 答案　C　‎ ‎4.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cosπ‎2‎‎-x的最大值为(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 答案　B　‎ ‎5.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.kπ-‎1‎‎4‎,kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z B.‎2kπ-‎1‎‎4‎,2kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z C.k-‎1‎‎4‎,k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z D.‎2k-‎1‎‎4‎,2k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z 答案　D　‎ ‎6.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为　　　　. ‎ 答案　1‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　三角函数的图象 ‎1.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin‎4x-‎π‎3‎的图象,只需将函数y=sin 4x的图象(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.向左平移π‎12‎个单位 B.向右平移π‎12‎个单位 C.向左平移π‎3‎个单位 D.向右平移π‎3‎个单位 答案　B　‎ ‎2.(2014重庆,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π‎2‎≤φ<‎π‎2‎图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π‎6‎个单位长度得到y=sin x的图象,则fπ‎6‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎ ‎3.(2016山东,17,12分)设f(x)=2‎3‎sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π‎3‎个单位,得到函数y=g(x)的图象,求gπ‎6‎的值.‎ 解析　(1)f(x)=2‎3‎sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2‎ ‎=2‎3‎sin2x-(1-2sin xcos x)‎ ‎=‎3‎(1-cos 2x)+sin 2x-1‎ ‎=sin 2x-‎3‎cos 2x+‎3‎-1‎ ‎=2sin‎2x-‎π‎3‎+‎3‎-1.‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x-π‎3‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 得kπ-π‎12‎≤x≤kπ+‎5π‎12‎(k∈Z).‎ 所以f(x)的单调递增区间是kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎(k∈Z).‎ 或kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎(k∈Z)‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin‎2x-‎π‎3‎+‎3‎-1.‎ 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),‎ 得到y=2sinx-‎π‎3‎+‎3‎-1的图象,‎ 再把得到的图象向左平移π‎3‎个单位,‎ 得到y=2sin x+‎3‎-1的图象,‎ 即g(x)=2sin x+‎3‎-1.‎ 所以gπ‎6‎=2sinπ‎6‎+‎3‎-1=‎3‎.‎ 考点二　三角函数的性质 ‎1.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f‎5π‎8‎=2,f‎11π‎8‎=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则　(　　)‎ A.ω=‎2‎‎3‎,φ=π‎12‎ B.ω=‎2‎‎3‎,φ=-‎‎11π‎12‎ C.ω=‎1‎‎3‎,φ=-‎11π‎24‎ D.ω=‎1‎‎3‎,φ=‎‎7π‎24‎ 答案　A　‎ ‎2.(2016天津,8,5分)已知函数f(x)=sin2ωx‎2‎+‎1‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎8‎ B.‎0,‎‎1‎‎4‎∪‎‎5‎‎8‎‎,1‎ C.‎0,‎‎5‎‎8‎ D.‎0,‎‎1‎‎8‎∪‎‎1‎‎4‎‎,‎‎5‎‎8‎ 答案　D　‎ ‎3.(2015四川,5,5分)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　)‎ A.y=sin‎2x+‎π‎2‎ B.y=cos‎2x+‎π‎2‎ C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 答案　B　‎ ‎4.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)‎-π‎2‎<φ<‎π‎2‎的图象关于直线x=π‎3‎对称,则φ的值是　　　　. ‎ 答案　-‎π‎6‎ ‎5.(2018北京,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+‎3‎sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若f(x)在区间‎-π‎3‎,m上的最大值为‎3‎‎2‎,求m的最小值.‎ 解析　(1)f(x)=‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x ‎=sin‎2x-‎π‎6‎+‎1‎‎2‎.‎ 所以f(x)的最小正周期为T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=sin‎2x-‎π‎6‎+‎1‎‎2‎.‎ 由题意知-π‎3‎≤x≤m.‎ 所以-‎5π‎6‎≤2x-π‎6‎≤2m-π‎6‎.‎ 要使得f(x)在‎-π‎3‎,m上的最大值为‎3‎‎2‎,‎ 即sin‎2x-‎π‎6‎在‎-π‎3‎,m上的最大值为1.‎ 所以2m-π‎6‎≥π‎2‎,‎ 即m≥π‎3‎.‎ 所以m的最小值为π‎3‎.‎ ‎6.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2‎3‎sin xcos x(x∈R).‎ ‎(1)求f ‎2π‎3‎的值;‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ 解析　(1)由sin‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎,cos‎2π‎3‎=-‎1‎‎2‎,‎ f‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎‎2‎-‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎-2‎3‎×‎3‎‎2‎×‎-‎‎1‎‎2‎,‎ 得f‎2π‎3‎=2.‎ ‎(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-‎3‎sin 2x=-2sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得π‎2‎+2kπ≤2x+π‎6‎≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 解得π‎6‎+kπ≤x≤‎2π‎3‎+kπ,k∈Z.‎ 所以, f(x)的单调递增区间是π‎6‎‎+kπ,‎2π‎3‎+kπ(k∈Z).‎ C组　教师专用题组 考点一　三角函数的图象 ‎1.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=‎2‎cos 3x的图象(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.向右平移π‎12‎个单位 B.向右平移π‎4‎个单位 C.向左平移π‎12‎个单位 D.向左平移π‎4‎个单位 答案　A　‎ ‎2.(2014四川,3,5分)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点(　　)‎ A.向左平行移动1个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动π个单位长度 D.向右平行移动π个单位长度 答案　A　‎ ‎3.(2014安徽,7,5分)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是(　　)‎ A.π‎8‎ B.π‎4‎ C.‎3π‎8‎ D.‎‎3π‎4‎ 答案　C　‎ ‎4.(2013课标Ⅱ,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π‎2‎个单位后,与函数y=sin‎2x+‎π‎3‎的图象重合,则φ=　　　　. ‎ 答案　‎‎5π‎6‎ ‎5.(2015湖北,18,12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎3‎ ‎5π‎6‎ Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎-5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动π‎6‎个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.‎ 解析　(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π‎6‎.数据补全如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎12‎ π‎3‎ ‎7π‎12‎ ‎5π‎6‎ ‎13‎‎12‎π Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎,‎ 因此,g(x)=5sin‎2x+‎π‎6‎-‎π‎6‎=5sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 令2x+π‎6‎=kπ,k∈Z,解得x=kπ‎2‎-π‎12‎,k∈Z.‎ 即y=g(x)图象的对称中心为kπ‎2‎‎-π‎12‎,0‎,k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为‎-π‎12‎,0‎.‎ 考点二　三角函数的性质 ‎1.(2017课标全国Ⅲ,6,5分)函数f(x)=‎1‎‎5‎sinx+‎π‎3‎+cosx-‎π‎6‎的最大值为(　　)‎ A.‎6‎‎5‎ B.1 C.‎3‎‎5‎ D.‎‎1‎‎5‎ 答案　A　‎ ‎2.(2014天津,8,5分)已知函数f(x)=‎3‎sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π‎3‎,则f(x)的最小正周期为(　　)‎ A.π‎2‎ B.‎2π‎3‎ C.π D.2π 答案　C　‎ ‎3.(2014辽宁,11,5分)将函数y=3sin‎2x+‎π‎3‎的图象向右平移π‎2‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)‎ A.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递减 B.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递增 C.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递减 D.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递增 答案　B　‎ ‎4.(2014课标Ⅰ,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos‎2x+‎π‎6‎,④y=tan‎2x-‎π‎4‎中,最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A.①②③ B.①③④‎ C.②④ D.①③‎ 答案　A　‎ ‎5.(2011课标,11,5分)设函数f(x)=sin‎2x+‎π‎4‎+cos‎2x+‎π‎4‎,则(　　)‎ A.y=f(x)在‎0,‎π‎2‎单调递增,其图象关于直线x=π‎4‎对称 B.y=f(x)在‎0,‎π‎2‎单调递增,其图象关于直线x=π‎2‎对称 C.y=f(x)在‎0,‎π‎2‎单调递减,其图象关于直线x=π‎4‎对称 D.y=f(x)在‎0,‎π‎2‎单调递减,其图象关于直线x=π‎2‎对称 答案　D　‎ ‎6.(2015陕西,14,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为　　　　. ‎ 答案　8‎ ‎7.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,最小值是　　　　. ‎ 答案　π;‎‎3-‎‎2‎‎2‎ ‎8.(2015湖南,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2‎3‎,则ω=　　　　. ‎ 答案　‎π‎2‎ ‎9.(2013课标Ⅰ,16,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=　　　　. ‎ 答案　-‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎10.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解析　(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),a∥b,‎ 所以-‎3‎cos x=3sin x.‎ 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.‎ 于是tan x=-‎3‎‎3‎.‎ 又x∈[0,π],所以x=‎5π‎6‎.‎ ‎(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-‎3‎)=3cos x-‎3‎sin x=2‎3‎cosx+‎π‎6‎.‎ 因为x∈[0,π],所以x+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,‎ 从而-1≤cosx+‎π‎6‎≤‎3‎‎2‎.‎ 于是,当x+π‎6‎=π‎6‎,即x=0时, f(x)取到最大值,为3;‎ 当x+π‎6‎=π,即x=‎5π‎6‎时, f(x)取到最小值,为-2‎3‎.‎ ‎11.(2017北京,16,13分)已知函数f(x)=‎3‎cos‎2x-‎π‎3‎-2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求证:当x∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎时, f(x)≥-‎1‎‎2‎.‎ 解析　(1)f(x)=‎3‎‎2‎cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x-sin 2x ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎3‎‎2‎cos 2x ‎=sin‎2x+‎π‎3‎.‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)证明:因为-π‎4‎≤x≤π‎4‎,‎ 所以-π‎6‎≤2x+π‎3‎≤‎5π‎6‎.‎ 所以sin‎2x+‎π‎3‎≥sin‎-‎π‎6‎=-‎1‎‎2‎.‎ 所以当x∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎时, f(x)≥-‎1‎‎2‎.‎ ‎12.(2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间.‎ 解析　(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx=‎2‎sin‎2ωx+‎π‎4‎,(3分)‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2ω=πω.(4分)‎ 依题意,πω=π,解得ω=1.(6分)‎ ‎(2)由(1)知f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎.‎ 因为函数y=sin x的单调递增区间为‎2kπ-π‎2‎,2kπ+‎π‎2‎(k∈Z),(8分)‎ 所以2kπ-π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 解得kπ-‎3π‎8‎≤x≤kπ+π‎8‎(k∈Z).(12分)‎ 所以f(x)的单调递增区间为kπ-‎3π‎8‎,kπ+‎π‎8‎(k∈Z).(13分)‎ ‎13.(2015安徽,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎0,‎π‎2‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+1,‎ 所以函数f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+1.‎ 当x∈‎0,‎π‎2‎时,2x+π‎4‎∈π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎,‎ 由正弦函数y=sin x在π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎上的图象知,‎ 当2x+π‎4‎=π‎2‎,即x=π‎8‎时, f(x)取得最大值,最大值为‎2‎+1;‎ 当2x+π‎4‎=‎5π‎4‎,即x=π‎2‎时, f(x)取得最小值,最小值为0.‎ 综上,f(x)在‎0,‎π‎2‎上的最大值为‎2‎+1,最小值为0.‎ ‎14.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sin x-2‎3‎sin2x‎2‎.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎0,‎‎2π‎3‎上的最小值.‎ 解析　(1)因为f(x)=sin x+‎3‎cos x-‎‎3‎ ‎=2sinx+‎π‎3‎-‎3‎,‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为0≤x≤‎2π‎3‎,所以π‎3‎≤x+π‎3‎≤π.‎ 当x+π‎3‎=π,即x=‎2π‎3‎时, f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间‎0,‎‎2π‎3‎上的最小值为f‎2π‎3‎=-‎3‎.‎ ‎15.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最小值;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x∈π‎2‎‎,π时,求g(x)的值域.‎ 解析　(1)f(x)=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎cos2x ‎=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎‎2‎(1+cos 2x)‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎‎2‎cos 2x-‎3‎‎2‎=sin‎2x-‎π‎3‎-‎3‎‎2‎,‎ 因此f(x)的最小正周期为π,最小值为-‎2+‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)由已知可得g(x)=sinx-‎π‎3‎-‎3‎‎2‎.‎ 当x∈π‎2‎‎,π时,有x-π‎3‎∈π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎,‎ 从而sinx-‎π‎3‎∈‎1‎‎2‎‎,1‎,‎ 那么sinx-‎π‎3‎-‎3‎‎2‎∈‎1-‎‎3‎‎2‎‎,‎‎2-‎‎3‎‎2‎.‎ 故g(x)在区间π‎2‎‎,π上的值域是‎1-‎‎3‎‎2‎‎,‎‎2-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎16.(2015福建,21,12分)已知函数f(x)=10‎3‎sinx‎2‎cosx‎2‎+10cos2x‎2‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移π‎6‎个单位长度,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.‎ ‎(i)求函数g(x)的解析式;‎ ‎(ii)证明:存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.‎ 解析　(1)因为f(x)=10‎3‎sinx‎2‎cosx‎2‎+10cos2‎x‎2‎ ‎=5‎3‎sin x+5cos x+5=10sinx+‎π‎6‎+5,‎ 所以函数f(x)的最小正周期T=2π.‎ ‎(2)(i)将f(x)的图象向右平移π‎6‎个单位长度后得到y=10sin x+5的图象,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)=10sin x+5-a的图象.‎ 又已知函数g(x)的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=13.‎ 所以g(x)=10sin x-8.‎ ‎(ii)证明:要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sin x0-8>0,即sin x0>‎4‎‎5‎.‎ 由‎4‎‎5‎<‎3‎‎2‎知,存在0<α0<π‎3‎,使得sin α0=‎4‎‎5‎.‎ 由正弦函数的性质可知,当x∈(α0,π-α0)时,均有sin x>‎4‎‎5‎.‎ 因为y=sin x的周期为2π,‎ 所以当x∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0)(k∈Z)时,均有sin x>‎4‎‎5‎.‎ 因为对任意的整数k,(2kπ+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>π‎3‎>1,‎ 所以对任意的正整数k,都存在正整数xk∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0),使得sin xk>‎4‎‎5‎.‎ 亦即,存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.‎ ‎17.(2014四川,17,12分)已知函数f(x)=sin‎3x+‎π‎4‎.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α是第二象限角, fα‎3‎=‎4‎‎5‎cosα+‎π‎4‎cos 2α,求cos α-sin α的值.‎ 解析　(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为-π‎2‎+2kπ,π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 由-π‎2‎+2kπ≤3x+π‎4‎≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 得-π‎4‎+‎2kπ‎3‎≤x≤π‎12‎+‎2kπ‎3‎,k∈Z.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为-π‎4‎+‎2kπ‎3‎,π‎12‎+‎2kπ‎3‎,k∈Z.‎ ‎(2)由已知,得sinα+‎π‎4‎=‎4‎‎5‎cosα+‎π‎4‎(cos2α-sin2α),‎ 所以sin αcosπ‎4‎+cos αsinπ‎4‎ ‎=‎4‎‎5‎cos αcosπ‎4‎-sin αsinπ‎4‎(cos2α-sin2α),‎ 即sin α+cos α=‎4‎‎5‎(cos α-sin α)2(sin α+cos α).‎ 当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,‎ 知α=‎3π‎4‎+2kπ,k∈Z.此时cos α-sin α=-‎2‎.‎ 当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=‎5‎‎4‎.‎ 由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,‎ 此时cos α-sin α=-‎5‎‎2‎.‎ 综上所述,cos α-sin α=-‎2‎或-‎5‎‎2‎.‎ ‎18.(2014北京,16,13分)函数f(x)=3sin‎2x+‎π‎6‎的部分图象如图所示.‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎-π‎2‎,-‎π‎12‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)f(x)的最小正周期为π.‎ x0=‎7π‎6‎,y0=3.‎ ‎(2)因为x∈‎-π‎2‎,-‎π‎12‎,所以2x+π‎6‎∈‎-‎5π‎6‎,0‎.‎ 于是,当2x+π‎6‎=0,即x=-π‎12‎时, f(x)取得最大值,为0;‎ 当2x+π‎6‎=-π‎2‎,即x=-π‎3‎时, f(x)取得最小值,为-3.‎ ‎19.(2014湖北,18,12分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10-‎3‎cosπ‎12‎t-sinπ‎12‎t,t∈[0,24).‎ ‎(1)求实验室这一天上午8时的温度;‎ ‎(2)求实验室这一天的最大温差.‎ 解析　(1)f(8)=10-‎3‎cosπ‎12‎‎×8‎-sinπ‎12‎‎×8‎ ‎=10-‎3‎cos‎2π‎3‎-sin‎2π‎3‎=10-‎3‎×‎-‎‎1‎‎2‎-‎3‎‎2‎=10.‎ 故实验室上午8时的温度为10 ℃.‎ ‎(2)因为f(t)=10-2‎3‎‎2‎cosπ‎12‎t+‎1‎‎2‎sinπ‎12‎t=10-2sinπ‎12‎t+‎π‎3‎,‎ 又0≤t<24,所以π‎3‎≤π‎12‎t+π‎3‎<‎7π‎3‎,-1≤sinπ‎12‎t+‎π‎3‎≤1.‎ 当t=2时,sinπ‎12‎t+‎π‎3‎=1;当t=14时,sinπ‎12‎t+‎π‎3‎=-1.‎ 于是, f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8. ‎ 故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.‎ ‎20.(2014福建,18,12分)已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x).‎ ‎(1)求f‎5π‎4‎的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ 解析　解法一:(1)f‎5π‎4‎=2cos‎5π‎4‎sin‎5π‎4‎+cos‎5π‎4‎ ‎=-2cosπ‎4‎‎-sinπ‎4‎-cosπ‎4‎=2.‎ ‎(2)因为f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1‎ ‎=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+1,所以T=‎2π‎2‎=π.‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ-‎3π‎8‎≤x≤kπ+π‎8‎,k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为kπ-‎3π‎8‎,kπ+‎π‎8‎,k∈Z.‎ 解法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x ‎=sin 2x+cos 2x+1‎ ‎=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+1.‎ ‎(1)f‎5π‎4‎=‎2‎sin‎11π‎4‎+1=‎2‎sinπ‎4‎+1=2.‎ ‎(2)T=‎2π‎2‎=π.由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ-‎3π‎8‎≤x≤kπ+π‎8‎,k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为kπ-‎3π‎8‎,kπ+‎π‎8‎,k∈Z.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:45分钟　分值:50分 一、选择题(每小题5分,共30分)‎ ‎1.(2018河南中原名校第三次联考,5)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π‎6‎个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.π‎3‎ B.π‎6‎ C.0 D.‎π‎4‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届辽宁八校9月联考,9)将函数f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎的图象向右平移a个单位得到函数g(x)=cos‎2x+‎π‎4‎的图象,则a的值可以为(　　)‎ A.‎5π‎12‎ B.‎7π‎12‎ C.‎19π‎24‎ D.‎‎41π‎24‎ 答案　C　‎ ‎3.(2019届宁夏顶级名校10月联考,10)当00,函数f(x)=sin ωxcos ωx+‎3‎cos2ωx-‎3‎‎2‎的最小正周期为π,则下列结论正确的是(　　)‎ A.函数f(x)的图象关于直线x=π‎3‎对称 B.函数f(x)在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递增 C.将函数f(x)的图象向右平移π‎12‎个单位可得函数g(x)=cos 2x的图象 D.当x∈‎0,‎π‎2‎时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-‎‎3‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎5.(2019届河北唐山10月模拟,10)若函数f(x)=sinωx+‎π‎6‎(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎12‎∪‎1‎‎4‎‎,‎‎2‎‎3‎ B.‎0,‎‎1‎‎6‎∪‎‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎4‎‎,‎‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎6.(2018河北衡水中学四调,11)将函数f(x)=2cos 2x的图象向右平移π‎6‎个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间‎0,‎a‎3‎和‎2a,‎‎7π‎6‎上均单调递增,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.π‎3‎‎,‎π‎2‎ B.‎π‎6‎‎,‎π‎2‎ C.π‎6‎‎,‎π‎3‎ D.‎π‎4‎‎,‎‎3π‎8‎ 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎7.(2017湖南一模,13)函数f(x)=‎3‎cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则tan θ等于　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎ ‎8.(2019届河北衡水中学二调,14)给出下列四个命题:‎ ‎①函数f(x)=2sin‎2x+‎π‎3‎图象的一条对称轴为直线x=‎7π‎12‎;‎ ‎②函数f(x)=tan x的图象关于点π‎2‎‎,0‎对称;‎ ‎③若sin‎2x‎1‎-‎π‎4‎=sin‎2x‎2‎-‎π‎4‎=0,则x1-x2=kπ,其中k∈Z;‎ ‎④函数y=cos2x+sin x的最小值为-1.‎ 以上四个命题中错误的个数为　　　　. ‎ 答案　1‎ 三、解答题(共10分)‎ ‎9.(2018山东天成第二次联考,19)已知函数f(x)=2sin 8x·cos 4xsin‎4x+‎π‎6‎-cos 8xsin 4x·(‎3‎sin 4x+cos 4x).‎ ‎(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间‎-π‎24‎,‎π‎12‎上的最值.‎ 解析　(1)f(x)=2sin 8xcos 4xsin‎4x+‎π‎6‎-cos 8xsin 4x·(‎3‎sin 4x+cos 4x)‎ ‎=2sin 8xcos 4x‎3‎‎2‎sin4x+‎1‎‎2‎cos4x-cos 8xsin 4x(‎3‎sin 4x+cos 4x)‎ ‎=sin 8xcos 4x(‎3‎sin 4x+cos 4x)-cos 8xsin 4x(‎3‎sin 4x+cos 4x)‎ ‎=(‎3‎sin 4x+cos 4x)(sin 8xcos 4x-cos 8xsin 4x)‎ ‎=(‎3‎sin 4x+cos 4x)sin(8x-4x)‎ ‎=(‎3‎sin 4x+cos 4x)sin 4x ‎=‎3‎sin24x+sin 4xcos 4x ‎=‎3‎×‎1-cos8x‎2‎+‎1‎‎2‎sin 8x ‎=‎1‎‎2‎sin 8x-‎3‎‎2‎cos 8x+‎‎3‎‎2‎ ‎=sin‎8x-‎π‎3‎+‎3‎‎2‎.‎ 令8x-π‎3‎=kπ+π‎2‎(k∈Z),得x=kπ‎8‎+‎5π‎48‎(k∈Z).‎ 所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ‎8‎+‎5π‎48‎(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)得f(x)=sin‎8x-‎π‎3‎+‎3‎‎2‎.‎ 因为x∈‎-π‎24‎,‎π‎12‎,所以8x-π‎3‎∈‎-‎2π‎3‎,‎π‎3‎.‎ 故sin‎8x-‎π‎3‎∈‎-1,‎‎3‎‎2‎.‎ 所以-1+‎3‎‎2‎≤sin‎8x-‎π‎3‎+‎3‎‎2‎≤‎3‎,‎ 所以函数f(x)在区间‎-π‎24‎,‎π‎12‎上的最大值为‎3‎,最小值为-1+‎3‎‎2‎.‎