安徽省合肥市2021届高三上学期调研性检测数学（理）试题 Word版含答案

安徽省合肥市2021届高三上学期调研性检测数学（理）试题 Word版含答案

合肥市2021届高三调研性检测 数学试（理科）‎ ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 第Ⅰ卷（60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若复数满足，其中是虚数单位，则复数的模为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．3‎ ‎2．若集合，，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎4．为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的，两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的、型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是（ ）‎ ‎ A．估计型号口罩的合格率小于型号口罩的合格率 ‎ B．Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数 ‎ C．Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数 ‎ D．Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 ‎5．设数列的前项和为，若，则（ ）‎ ‎ A．81 B．121 C．243 D．364‎ ‎6．函数在上的图象大致是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎7．周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ）‎ ‎ A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎8．已知函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ A．32 B．16 C． D．‎ ‎10．在中，，，分别是边，，的中点，，，交于点，则：‎ ‎ ①； ②；‎ ‎ ③； ④．‎ ‎ 上述结论中，正确的是（ ）‎ ‎ A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④‎ ‎11．双曲线的左、右焦点分别为，，为的渐近线上一点，直线 交于点，且，（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A． B．2 C． D．‎ ‎12．已知，函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置．‎ ‎13．若命题若直线与平面内的所有直线都不平行，则直线与平面不平行；则命题是________命题（填“真”或“假”）．‎ ‎14．若直线经过抛物线的焦点且与圆相切，则直线的方程为________．‎ ‎15．已知函数，，是钝角三角形的两个锐角，则________ （填写：“”或“”或“”）．‎ ‎16．已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若，且三棱锥的外接球半径为3，则的最大值为________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设数列的前项和为，，．若数列为等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，若对都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 为检査学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级1500名同学进行了传染病防控知识检测，并从中随机抽取了300份答卷，按得分区间，，…，，分别统计，绘制成频率分布直方图如下．‎ ‎（1）估计高一年级传染病防控知识测试得分的中位数（结果精确到个位）；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，按各分数段的人数的比例，从得分在区间和的学生中任选7人，并从这7人中随机选3人作传染病预防知识宣传演讲，求这3人中至少有一人得分在区间内的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知：在中，三个内角、、的对边分别为，，，且，．‎ ‎（1）当时，求的面积；‎ ‎（2）当为锐角三角形时，求的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在三棱锥中，平面，平面平面．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若为的中点，且，，求二面角的余弦值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，动点满足方程．‎ ‎（1）说明动点的轨迹是什么曲线，并求出曲线的标准方程；‎ ‎（2）若点，是否存在过点的直线与曲线相交于，两点，且直线，与 ‎ 轴分别交于、两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有极值且极值大于0，求实数的取值范围．‎ 合肥市2021届高三调研性检测数学试题（理科）‎ 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D D B A C D C C A D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．假 14．或 ‎15． 16．18‎ 三、解答题：‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解：（1）由，得，，，．‎ ‎∵数列为等差数列，，‎ ‎∴．‎ 当时，．‎ 当时，也成立．‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴当时， ，即；‎ 当时， ，即；‎ ‎∴，，‎ ‎∵，都有成立，∴．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设中位数估计值为，根据频率分布直方图得，‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎∴高一年级传染病防控知识测试得分中位数的估计值为75．‎ ‎（2）根据频率分布直方图得，得分在区间和的频率分别为0.25，0.1，其比例为，‎ ‎∴所选的7人中，得分在的有5人，得分在的有2人．‎ ‎∴从7人中随机选3人，至少有一人得分在区间上的概率为．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵，，，‎ ‎∴，∴．‎ 当时，由得．‎ 又∵，∴．‎ 由余弦定理得，，‎ ‎∴，解得或．‎ 当时，的面积；‎ 当时， 的面积．‎ ‎（2）∵为锐角三角形，，‎ ‎∴，∴．‎ 依题意得，∴．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：过点作于．‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，∴．‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴．‎ 又∵，，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）∵，，∴为中点．‎ 又∵为的中点，∴．‎ 由（1）知，平面，∴平面，‎ ‎∴，，‎ ‎∴以为原点，以，，所在方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图．‎ 设，则，，‎ 则，，，，，．‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴，，，，‎ ‎，，‎ ‎∴．‎ 令得，，∴．‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴，，，‎ ‎，，，‎ ‎∴．令得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵二面角的平面角是钝角，∴．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设，，依题意，‎ ‎∴，且 ‎∴点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．‎ 设椭圆的方程为，‎ 记，则，，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴曲线的标准方程为．‎ ‎（2）当直线为时，不合题意．‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，．‎ 联立，消去得．‎ 则，‎ ‎，．‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎∴或．‎ 当时，经检验点与点或点重合，不符合题意，故舍去．‎ 当时，经检验符合题意，此时直线的方程为．‎ 综上所述，直线的方程为．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴．‎ ‎①，则在上恒成立，‎ ‎∴当时，在上单调递增．‎ ‎②若，令．‎ ‎∵，，‎ ‎∴有两个不相等的实数根，且两根一正一负．‎ 设．‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴当时，函数在上单调递增；‎ 在上单调递减．‎ 综合①②得：‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增；‎ 在上单调递减．‎ ‎（2）由（1）知，当时，函数在上无极值；‎ 当时，函数在上仅有极大值 ‎，‎ 其中，即，‎ ‎∴．‎ 设．‎ ‎∵在上单调速增，且，‎ ‎∴当且仅当时，，‎ 此时，，‎ ‎∴当时，实数的取值范围是．‎