上海市宝山区中考数学一模试卷解析版

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上海市宝山区中考数学一模试卷解析版

‎2017年上海市宝山区中考数学一模试卷 ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)‎ ‎1.已知∠A=30°,下列判断正确的是(  )‎ A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cotA=‎ ‎2.如果C是线段AB的黄金分割点C,并且AC>CB,AB=1,那么AC的长度为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.二次函数y=x2+2x+3的定义域为(  )‎ A.x>0 B.x为一切实数 C.y>2 D.y为一切实数 ‎4.已知非零向量、之间满足=﹣3,下列判断正确的是(  )‎ A.的模为3 B.与的模之比为﹣3:1‎ C.与平行且方向相同 D.与平行且方向相反 ‎5.如果从甲船看乙船,乙船在甲船的北偏东30°方向,那么从乙船看甲船,甲船在乙船的(  )‎ A.南偏西30°方向 B.南偏西60°方向 C.南偏东30°方向 D.南偏东60°方向 ‎6.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过(  )‎ A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共12小题,每题4分,满分48分)‎ ‎7.已知2a=3b,则=  .‎ ‎8.如果两个相似三角形的相似比为1:4,那么它们的面积比为  .‎ ‎9.如图,D为△ABC的边AB上一点,如果∠ACD=∠ABC时,那么图中  是AD和AB的比例中项.‎ ‎10.如图,△ABC中∠C=90°,若CD⊥AB于D,且BD=4,AD=9,则tanA=  .‎ ‎11.计算:2(+3)﹣5=  .‎ ‎12.如图,G为△ABC的重心,如果AB=AC=13,BC=10,那么AG的长为  .‎ ‎13.二次函数y=5(x﹣4)2+3向左平移二个单位长度,再向下平移一个单位长度,得到的函数解析式是  .‎ ‎14.如果点A(1,2)和点B(3,2)都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上,那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线  .‎ ‎15.已知A(2,y1)、B(3,y2)是抛物线y=﹣(x﹣1)2+的图象上两点,则y1  y2.(填不等号)‎ ‎16.如果在一个斜坡上每向上前进13米,水平高度就升高了5米,则该斜坡的坡度i=  .‎ ‎17.数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果,将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数,记作:特征数{a、b、c},(请你求)在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为  .‎ ‎18.如图,D为直角△ABC的斜边AB上一点,DE⊥AB交AC于E,如果△AED沿DE翻折,A恰好与B重合,联结CD交BE于F,如果AC═8,tanA═,那么CF:DF═  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共7小题,满分78分)‎ ‎19.计算:﹣cos30°+0.‎ ‎20.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,如果DE∥BC,且DE=BC.‎ ‎(1)如果AC=6,求CE的长;‎ ‎(2)设=, =,求向量(用向量、表示).‎ ‎21.如图,AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼,高兴同学站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°,观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°,求大楼AB的高.‎ ‎22.直线l:y=﹣x+6交y轴于点A,与x轴交于点B,过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C,(C在B的左边),如果BC=5,求抛物线m的解析式,并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围.‎ ‎23.如图,点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(不与A、C重合),作EF⊥AC交边BC于点F,联结AF、BE交于点G.‎ ‎(1)求证:△CAF∽△CBE;‎ ‎(2)若AE:EC=2:1,求tan∠BEF的值.‎ ‎24.如图,二次函数y=ax2﹣x+2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(﹣4,0).‎ ‎(1)求抛物线与直线AC的函数解析式;‎ ‎(2)若点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,四边形OCDA的面积为S,求S关于m的函数关系;‎ ‎(3)若点E为抛物线上任意一点,点F为x轴上任意一点,当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点E的坐标.‎ ‎25.如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(其中曲线OG为抛物线的一部分,其余各部分均为线段).‎ ‎(1)试根据图(2)求0<t≤5时,△BPQ的面积y关于t的函数解析式;‎ ‎(2)求出线段BC、BE、ED的长度;‎ ‎(3)当t为多少秒时,以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似;‎ ‎(4)如图(3)过E作EF⊥BC于F,△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度,如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线,求此时C、I两点之间的距离.‎ ‎ ‎ ‎2017年上海市宝山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)‎ ‎1.已知∠A=30°,下列判断正确的是(  )‎ A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cotA=‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可 ‎【解答】解:∵∠A=30°,‎ ‎∴sinA=,cosA=,tanA=,cotA=,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.如果C是线段AB的黄金分割点C,并且AC>CB,AB=1,那么AC的长度为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】黄金分割.‎ ‎【分析】根据黄金比值是计算即可.‎ ‎【解答】解:∵C是线段AB的黄金分割点C,AC>CB,‎ ‎∴AC=AB=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.二次函数y=x2+2x+3的定义域为(  )‎ A.x>0 B.x为一切实数 C.y>2 D.y为一切实数 ‎【考点】二次函数的定义.‎ ‎【分析】找出二次函数的定义域即可.‎ ‎【解答】解:二次函数y=x2+2x+3的定义域为x为一切实数,‎ 故选B ‎ ‎ ‎4.已知非零向量、之间满足=﹣3,下列判断正确的是(  )‎ A.的模为3 B.与的模之比为﹣3:1‎ C.与平行且方向相同 D.与平行且方向相反 ‎【考点】*平面向量.‎ ‎【分析】根据向量的长度和方向,可得答案.‎ ‎【解答】解:A、由=﹣3,得||=3||,故A错误;‎ B、由=﹣3,得||=3||,||:||=3:1,故B错误;‎ C、由=﹣3,得=﹣3方向相反,故C错误;‎ D、由=﹣3,得=﹣3平行且方向相反,故D正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.如果从甲船看乙船,乙船在甲船的北偏东30°方向,那么从乙船看甲船,甲船在乙船的(  )‎ A.南偏西30°方向 B.南偏西60°方向 C.南偏东30°方向 D.南偏东60°方向 ‎【考点】方向角.‎ ‎【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向.‎ ‎【解答】解:如图所示:可得∠1=30°,‎ ‎∵从甲船看乙船,乙船在甲船的北偏东30°方向,‎ ‎∴从乙船看甲船,甲船在乙船的南偏西30°方向.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过(  )‎ A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 ‎【考点】二次函数的图象;一次函数的性质.‎ ‎【分析】根据抛物线的顶点在第四象限,得出n<0,m<0,即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限.‎ ‎【解答】解:∵抛物线的顶点在第四象限,‎ ‎∴﹣m>0,n<0,‎ ‎∴m<0,‎ ‎∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共12小题,每题4分,满分48分)‎ ‎7.已知2a=3b,则=  .‎ ‎【考点】比例的性质.‎ ‎【分析】根据比例的基本性质:两外项之积等于两内项之积.可直接得到的结果.‎ ‎【解答】解:∵2a=3b,∴=.‎ ‎ ‎ ‎8.如果两个相似三角形的相似比为1:4,那么它们的面积比为 1:16 .‎ ‎【考点】相似三角形的性质.‎ ‎【分析】‎ 根据相似三角形的性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得.‎ ‎【解答】解:∵两个相似三角形的相似比为1:4,‎ ‎∴它们的面积比为1:16.‎ 故答案为1:16.‎ ‎ ‎ ‎9.如图,D为△ABC的边AB上一点,如果∠ACD=∠ABC时,那么图中 AC 是AD和AB的比例中项.‎ ‎【考点】比例线段.‎ ‎【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似,可得△ACD∽△ABC的关系,根据相似三角形的性质,可得答案.‎ ‎【解答】解:在△ACD与△ABC中,‎ ‎∠ACD=∠ABC,∠A=∠A,‎ ‎∴△ACD∽△ABC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AC是AD和AB的比例中项.‎ 故答案为AC.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,△ABC中∠C=90°,若CD⊥AB于D,且BD=4,AD=9,则tanA=  .‎ ‎【考点】解直角三角形.‎ ‎【分析】先证明△BDC∽△‎ CDA,利用相似三角形的性质求出CD的长度,然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值.‎ ‎【解答】解:∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°,‎ ‎∴∠BCD=∠A,‎ ‎∵CD⊥AB,‎ ‎∴∠BDC=∠CDA=90°,‎ ‎∴△BDC∽△CDA,‎ ‎∴CD2=BD•AD,‎ ‎∴CD=6,‎ ‎∴tanA==‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎11.计算:2(+3)﹣5= 2+ .‎ ‎【考点】*平面向量.‎ ‎【分析】可根据向量的加法法则进行计算,可得答案.‎ ‎【解答】解:2(+3)﹣5=2+6﹣5=2+,‎ 故答案为:2+.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,G为△ABC的重心,如果AB=AC=13,BC=10,那么AG的长为 8 .‎ ‎【考点】三角形的重心;等腰三角形的性质;勾股定理.‎ ‎【分析】延长AG交BC于D,根据重心的概念得到∠BAD=∠CAD,根据等腰三角形的性质求出BD,根据勾股定理和重心的性质计算即可.‎ ‎【解答】解:延长AG交BC于D,‎ ‎∵G为△ABC的重心,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴BD=BC=5,AD⊥BC,‎ 由勾股定理得,AD==12,‎ ‎∵G为△ABC的重心,‎ ‎∴AG=AD=8,‎ 故答案为:8.‎ ‎ ‎ ‎13.二次函数y=5(x﹣4)2+3向左平移二个单位长度,再向下平移一个单位长度,得到的函数解析式是 y=5(x﹣2)2+2 .‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换.‎ ‎【分析】按照“左加右减,上加下减”的规律求解即可.‎ ‎【解答】解:y=5(x﹣4)2+3向左平移二个单位长度,再向下平移一个单位长度得y=5(x﹣4+2)2+3﹣1,即y=5(x﹣2)2+2.‎ 故答案为y=5(x﹣2)2+2.‎ ‎ ‎ ‎14.如果点A(1,2)和点B(3,2)都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上,那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=2 .‎ ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎【分析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等可求得其对称轴.‎ ‎【解答】解:‎ ‎∵点A(1,2)和点B(3,2)都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上,‎ ‎∴其对称轴为x==2‎ 故答案为:x=2.‎ ‎ ‎ ‎15.已知A(2,y1)、B(3,y2)是抛物线y=﹣(x﹣1)2+的图象上两点,则y1 > y2.(填不等号)‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】先确定其对称轴,利用增减性进行判断;也可以将A、B两点的坐标分别代入求出纵坐标,再进行判断.‎ ‎【解答】解:由题意得:抛物线的对称轴是:直线x=1,‎ ‎∵﹣<0,‎ ‎∴当x>1时,y随x的增大而减小,‎ ‎∵2<3,‎ ‎∴y1>y2,‎ 故答案为:>.‎ ‎ ‎ ‎16.如果在一个斜坡上每向上前进13米,水平高度就升高了5米,则该斜坡的坡度i= 1:2.4 .‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.‎ ‎【分析】根据在一个斜坡上前进5米,水平高度升高了1米,可以计算出此时的水平距离,水平高度与水平距离的比值即为坡度,从而可以解答本题.‎ ‎【解答】解:设在一个斜坡上前进13米,水平高度升高了5米,此时水平距离为x米,‎ 根据勾股定理,得x2+52=132,‎ 解得:x=12,‎ 故该斜坡坡度i=5:12=1:2.4.‎ 故答案为:1:2.4.‎ ‎ ‎ ‎17.数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果,将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数,记作:特征数{a、b、c},(请你求)在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为 (2,﹣1) .‎ ‎【考点】二次函数的性质;二次函数的图象.‎ ‎【分析】由条件可求得抛物线解析式,化为顶点式可求得答案.‎ ‎【解答】解:‎ ‎∵特征数为{1、﹣4、3},‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,‎ ‎∴抛物线顶点坐标为(2,﹣1),‎ 故答案为:(2,﹣1).‎ ‎ ‎ ‎18.如图,D为直角△ABC的斜边AB上一点,DE⊥AB交AC于E,如果△AED沿DE翻折,A恰好与B重合,联结CD交BE于F,如果AC═8,tanA═,那么CF:DF═ 6:5 .‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题);解直角三角形.‎ ‎【分析】先根据DE⊥AB,tanA═,AC═8,求得BC=4,CE=3,BD=2,DE=,再过点C作CG⊥BE于G,作DH⊥BE于H,根据面积法求得CG和DH的长,最后根据△CFG∽△DFH,得到===即可.‎ ‎【解答】解:∵DE⊥AB,tanA═,‎ ‎∴DE=AD,‎ ‎∵Rt△ABC中,AC═8,tanA═,‎ ‎∴BC=4,AB==4,‎ 又∵△AED沿DE翻折,A恰好与B重合,‎ ‎∴AD=BD=2,DE=,‎ ‎∴Rt△ADE中,AE==5,‎ ‎∴CE=8﹣5=3,‎ ‎∴Rt△BCE中,BE==5,‎ 如图,过点C作CG⊥BE于G,作DH⊥BE于H,则 Rt△BDE中,DH==2,‎ Rt△BCE中,CG==,‎ ‎∵CG∥DH,‎ ‎∴△CFG∽△DFH,‎ ‎∴===.‎ 故答案为:6:5.‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共7小题,满分78分)‎ ‎19.计算:﹣cos30°+0.‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】原式利用特殊角的三角函数值,以及零指数幂法则计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=﹣+1=+﹣+1=++1.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,如果DE∥BC,且DE=BC.‎ ‎(1)如果AC=6,求CE的长;‎ ‎(2)设=, =,求向量(用向量、表示).‎ ‎【考点】*平面向量.‎ ‎【分析】(1)根据相似三角形的判定与性质,可得AE的长,根据线段的和差,可得答案;‎ ‎(2)根据相似三角形的判定与性质,可得AE,AD的长,根据向量的减法运算,可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)由DE∥BC,得 ‎△ADE∽△ABC, =.‎ 又DE=BC且AC=6,得 AE=AC=4,‎ CE=AC﹣AE=6﹣4=2;‎ ‎(2)如图,‎ 由DE∥BC,得 ‎△ADE∽△ABC, =.‎ 又AC=6且DE=BC,得 AE=AC,AD=AB.‎ ‎==, ==.‎ ‎=﹣=﹣.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼,高兴同学站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°,观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°,求大楼AB的高.‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ ‎【分析】过点P作AB 的垂线,垂足为E,根据题意可得出四边形PDBE是矩形,再由∠EPB=45°可知BE=PE=36m,由AE=PE•tan30°得出AE的长,进而可得出结论.‎ ‎【解答】解:如图,过点P作AB 的垂线,垂足为E,‎ ‎∵PD⊥AB,DB⊥AB,‎ ‎∴四边形PDBE是矩形,‎ ‎∵BD=36m,∠EPB=45°,‎ ‎∴BE=PE=36m,‎ ‎∴AE=PE•tan30°=36×=12(m),‎ ‎∴AB=12+36(m).‎ 答:建筑物AB的高为米.‎ ‎ ‎ ‎22.直线l:y=﹣x+6交y轴于点A,与x轴交于点B,过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C,(C在B的左边),如果BC=5,求抛物线m的解析式,并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围.‎ ‎【考点】‎ 二次函数与不等式(组);待定系数法求二次函数解析式;抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】先根据函数的解析式求出A、B两点的坐标,再求出点C的坐标,利用待定系数法求出抛物线m的解析式,画出其图象,利用数形结合即可求解.‎ ‎【解答】解:∵y=﹣x+6交y轴于点A,与x轴交于点B,‎ ‎∴x=0时,y=6,‎ ‎∴A(0,6),‎ y=0时,x=8,‎ ‎∴B(8,0),‎ ‎∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C,(C在B的左边),BC=5,‎ ‎∴C(3,0).‎ 设抛物线m的解析式为y=a(x﹣3)(x﹣8),‎ 将A(0,6)代入,得24a=6,解得a=,‎ ‎∴抛物线m的解析式为y=(x﹣3)(x﹣8),即y=x2﹣x+6;‎ 函数图象如右:‎ 当抛物线m的函数值大于0时,x的取值范围是x<3或x>8.‎ ‎ ‎ ‎23.如图,点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(不与A、C重合),作EF⊥AC交边BC于点F,联结AF、BE交于点G.‎ ‎(1)求证:△CAF∽△CBE;‎ ‎(2)若AE:EC=2:1,求tan∠BEF的值.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质;解直角三角形.‎ ‎【分析】(1)利用AA证明△CEF∽△CAB,再列出比例式利用SAS证明△CAF∽△CBE ‎(2)证出∴∠BAF=∠BEF,设EC=1,则EF=1,FC=,AC=3,由勾股定理得出AB=BC=AC=,得出BF=BC﹣FC=,由三角函数即可得出结果.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ ‎∵EF⊥AC,‎ ‎∴∠FEC=90°=∠ABC,‎ 又∵∠FCE=∠ACB,‎ ‎∴△CEF∽△CAB,‎ ‎∴,‎ 又∵∠ACF=∠BCE,‎ ‎∴△CAF∽△CBE;‎ ‎(2)∵△CAF∽△CBE,‎ ‎∴∠CAF=∠CBE,‎ ‎∵∠BAC=∠BCA=45°,‎ ‎∴∠BAF=∠BEF,‎ 设EC=1,则EF=1,FC=,‎ ‎∵AE:EC=2:1,‎ ‎∴AC=3,‎ ‎∴AB=BC=AC=,‎ ‎∴BF=BC﹣FC=,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,二次函数y=ax2﹣x+2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(﹣4,0).‎ ‎(1)求抛物线与直线AC的函数解析式;‎ ‎(2)若点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,四边形OCDA的面积为S,求S关于m的函数关系;‎ ‎(3)若点E为抛物线上任意一点,点F为x轴上任意一点,当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点E的坐标.‎ ‎【考点】二次函数综合题;解一元二次方程-公式法;平行四边形的性质.‎ ‎【分析】(1)把点A的坐标代入抛物线的解析式,就可求得抛物线的解析式,根据A,C两点的坐标,可求得直线AC的函数解析式;‎ ‎(2)先过点D作DH⊥x轴于点H,运用割补法即可得到:四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积,据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系;‎ ‎(3)由于AC确定,可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论,得到点E与点C的纵坐标之间的关系,然后代入抛物线的解析式,就可得到满足条件的所有点E的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)∵A(﹣4,0)在二次函数y=ax2﹣x+2(a≠0)的图象上,‎ ‎∴0=16a+6+2,‎ 解得a=﹣,‎ ‎∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2;‎ ‎∴点C的坐标为(0,2),‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b,则 ‎,‎ 解得,‎ ‎∴直线AC的函数解析式为:;‎ ‎(2)∵点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,‎ ‎∴D(m,﹣m2﹣m+2),‎ 过点D作DH⊥x轴于点H,则DH=﹣m2﹣m+2,AH=m+4,HO=﹣m,‎ ‎∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积,‎ ‎∴S=(m+4)×(﹣m2﹣m+2)+(﹣m2﹣m+2+2)×(﹣m),‎ 化简,得S=﹣m2﹣4m+4(﹣4<m<0);‎ ‎(3)①若AC为平行四边形的一边,则C、E到AF的距离相等,‎ ‎∴|yE|=|yC|=2,‎ ‎∴yE=±2.‎ 当yE=2时,解方程﹣x2﹣x+2=2得,‎ x1=0,x2=﹣3,‎ ‎∴点E的坐标为(﹣3,2);‎ 当yE=﹣2时,解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得,‎ x1=,x2=,‎ ‎∴点E的坐标为(,﹣2)或(,﹣2);‎ ‎②若AC为平行四边形的一条对角线,则CE∥AF,‎ ‎∴yE=yC=2,‎ ‎∴点E的坐标为(﹣3,2).‎ 综上所述,满足条件的点E的坐标为(﹣3,2)、(,﹣2)、(,﹣2).‎ ‎ ‎ ‎25.如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(其中曲线OG为抛物线的一部分,其余各部分均为线段).‎ ‎(1)试根据图(2)求0<t≤5时,△BPQ的面积y关于t的函数解析式;‎ ‎(2)求出线段BC、BE、ED的长度;‎ ‎(3)当t为多少秒时,以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似;‎ ‎(4)如图(3)过E作EF⊥BC于F,△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度,如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线,求此时C、I两点之间的距离.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)观察图象可知,AD=BC=5×2=10,BE=1×10=10,ED=4×1=4,AE=10﹣4=6在Rt△ABE中,AB===8,如图1中,作PM⊥BC于M.由△ABE∽△MPB,得=,求出PM,根据△BPQ的面积y=•BQ•PM计算即可问题.‎ ‎(2)观察图象(1)(2),即可解决问题.‎ ‎(3)分三种情形讨论①P在BE上,②P在DE上,③P在CD上,分别求解即可.‎ ‎(4)由∠BIH=∠BCG=90°,推出B、I、C、G四点共圆,推出∠BGH=∠BCI,由△GBH∽△CBI,可得=,由此只要求出GH即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)观察图象可知,AD=BC=5×2=10,BE=1×10=10,ED=4×1=4,AE=10﹣4=6‎ 在Rt△ABE中,AB===8,‎ 如图1中,作PM⊥BC于M.‎ ‎∵△ABE∽△MPB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴PM=t,‎ 当0<t≤5时,△BPQ的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t2.‎ ‎(2)由(1)可知BC=BE=10,ED=4.‎ ‎(3)①当P在BE上时,‎ ‎∵BQ=2PB,‎ ‎∴只有∠BPQ=90°,才有可能B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似,‎ ‎∴∠BQP=30°,这个显然不可能,‎ ‎∴当点P在BE上时,不存在△PQB与△ABE相似.‎ ‎②当点P在ED上时,观察图象可知,不存在△.‎ ‎③当点P在DC上时,设PC=a,‎ 当=时,∴=,‎ ‎∴a=,‎ 此时t=10+4+(8﹣)=14.5,‎ ‎∴t=14.5s时,△PQB与△ABE相似.‎ ‎(4)如图3中,设EG=m,GH=n,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴m=,‎ 在Rt△BIG中,∵BG2=BI2+GI2,‎ ‎∴()2=62+(8+n)2,‎ ‎∴n=﹣8+8或﹣8﹣8(舍弃),‎ ‎∵∠BIH=∠BCG=90°,‎ ‎∴B、I、C、G四点共圆,‎ ‎∴∠BGH=∠BCI,‎ ‎∵∠GBF=∠HBI,‎ ‎∴∠GBH=∠CBI,‎ ‎∴△GBH∽△CBI,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴IC=﹣.‎ ‎ ‎ ‎2017年1月20日
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