2015高考数学人教A版本(综合素质能力测试)一轮过关测试题

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文档介绍

2015高考数学人教A版本(综合素质能力测试)一轮过关测试题

阶段性测试题十二(综合素质能力测试)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(文)(2014·海南省文昌市检测)设函数y=的定义域为M,集合N={y|y=x2,x∈R},则M∩N等于(  )‎ A.∅           B.N C.[1,+∞) D.M ‎[答案] D ‎[解析] 由题意知,M={x|x≥2},N={y|y≥0},∴M∩N=M,故选D.‎ ‎(理)(2014·泉州实验中学期中)设集合M={x|x2-2x-3<0},N={x|logx<0},则M∩N等于(  )‎ A.(-1,1) B.(1,3)‎ C.(0,1) D.(-1,0)‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题意知M={x|-11},∴M∩N={x|10 B.∀x∈N*,(x-1)2>0‎ C.∃x∈R,lgx>1 D.∃x∈R,tanx=2‎ ‎[答案] B ‎[解析] 当x=1时,(x-1)2=0,∴B为假命题.‎ ‎3.(文)(2014·哈六中期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a5+a11=12,则S11的值为(  )‎ A.66 B.44‎ C.36 D.33‎ ‎[答案] B ‎[解析] ∵a2+a5+a11=‎3a1+15d=12,‎ ‎∴a6=a1+5d=4,∴S11=‎11a6=44.‎ ‎(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),则a7=(  )‎ A.53 B.54‎ C.55 D.109‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵a1=1,an=an-1+2n,∴a7=(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+…+(a2-a1)+a1=2×7+2×6+…+2×2+1=55.‎ ‎4.(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)如图是一个简单空间几何体的三视图,其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则此几何体的表面积是(  )‎ A.4+4 B.12‎ C.4 D.8‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由三视图知,该几何体是正四棱锥,底面边长为2,高为,∴表面积S=22+4×(×2×2)=12,故选B.‎ ‎(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2,正视图和俯视图如图所示,则其侧视图的面积为(  )‎ A.2 B. C.4 D.2‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由正视图和俯视图可知,其侧视图矩形的长和宽分别为和2,∴其面积为S=2.‎ ‎5.(文)(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,如果向该矩形内随机投一点P,那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 在矩形内取一点Q,由点Q分别向AD、AB作垂线,垂足依次为E、F,由S△ABQ=S△ADQ=1知,QF=1,QE=,‎ 设直线EQ、FQ分别交BC、CD于M、N,则当点P落在矩形QMCN内时,满足要求,‎ ‎∴所求概率P===.‎ ‎(理)(2014·山西省太原五中月考)若(+)n展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(  )‎ A.180 B.120‎ C.90 D.45‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵只有第6项的二项式系数最大,∴n=10,‎ ‎∴展开式的通项Tr+1=C·()10-r·()r=2r·C·x,‎ 令=0得,r=2,∴常数项为T3=22·C=180.‎ ‎6.(2014·河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图,则输出的k的值是(  )‎ A.3    B.‎4 ‎   C.5    D.6‎ ‎[答案] C ‎[解析] 解法1:k=1时,k2-5k+4=0,不满足条件;k=2时,k2-5k ‎+4=-2不满足条件;k=3时,k2-5k+4=-2不满足条件;k=4时,k2-5k+4=0不满足条件;k=5时,k2-5k+4=0>0满足条件,此时输出k的值为5.‎ 解法2:由k2-5k+4>0得k<1或k>4,∵初值k=1,由“k=k+‎1”‎知步长为1,∴k∈N,∴满足k2-5k+4>0的最小k值为5,故当k=5时,满足程序条件,输出k的值.‎ ‎7.(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:①f(x+1)是偶函数;②f(x+2)=-f(x);③当1≤x1≤x2≤3时,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0,则f(2011),f(2012),f(2013)的大小关系为(  )‎ A.f(2011)>f(2012)>f(2013)‎ B.f(2012)>f(2011)>f(2013)‎ C.f(2013)>f(2011)>f(2012)‎ D.f(2013)>f(2012)>f(2011)‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(2011)=f(3),f(2013)=f(1),∵f(x+1)是偶函数,∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(2012)=f(0)=f(2),∵1≤x1f(2)>f(3),‎ ‎∴f(2013)>f(2012)>f(2011),故选D.‎ ‎8.(2014·海南省文昌市检测)过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+‎2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围为(  )‎ A.a<-3或11或a<-3 D.-3 ‎[答案] A ‎[解析] 由条件知点A在圆外,‎ ‎∴ ‎∴∴a<-3或10),φ(x)=x3(x≠0)的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c ‎[答案] B ‎[解析] g′(x)=cosx,h′(x)=,φ′(x)=3x2,‎ 由sinx=cosx,00得x>1,0<<1,‎ ‎∴10,排除B;由=0得3x=kπ+(k∈Z),∴x=+,∴f(x)的零点等间隔出现,排除C,故选D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)‎ ‎13.(文)(2014·抚顺二中期中)已知α∈(,π),sinα=,则tan(α-)=________.‎ ‎[答案] -7‎ ‎[解析] ∵α∈(,π),sinα=,∴cosα=-,‎ ‎∴tanα=-,∴tan(α-)===-7.‎ ‎(理)(2014·黄冈中学、荆州中学联考)在△ABC中,=________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] 由正弦定理知,‎ == ‎==1.‎ ‎14.(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设实数x、y满足约束条件,则3x+2y的最大值是________.‎ ‎[答案] 5‎ ‎[解析] 作出可行域如图,作直线l0:3x+2y=0,平移l0得直线l:3x+2y=u,当l经过点A(1,1)时,u取最大值,umax=3×1+2×1=5.‎ ‎(理)(2014·山东省博兴二中质检)已知x,y满足,则2x-y的最大值为________.‎ ‎[答案] 2‎ ‎[解析] 作出可行域如图,作直线l0:2x-y=0,平移l0得直线l:2x-y=t,当平移到l经过点A(1,0)时,t取最大值,tmax=2.‎ ‎[点评] 当直线l:2x-y=t的纵截距最小时,t取最大值,故t最大时,直线l应过A(1,0)点,而不是B(0,1)点.‎ ‎15.(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数,数列{xn}是一个公差为2的等差数列,且满足f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,则x2014=________.‎ ‎[答案] 4009‎ ‎[解析] ∵{xn}是公差为2的等差数列,‎ ‎∴x8x10>0,‎ ‎∴x10=-x9,x11=-x8,∴x9=-1,x2014=x9+2·(2014-9)=4009.‎ ‎(理)(2014·吉林市摸底)边长是2的正△ABC内接于体积是4π的球O,则球面上的点到平面ABC的最大距离为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 因为球O的体积为4π,即r3=4π,所以r=,设正△ABC的中心为D,连接OD,AD,OA,则OD⊥平面ABC,且OA=,AD=,‎ 所以OD==,‎ 所以球面上的点到平面ABC的最大距离为+r=.‎ ‎16.(2014·开滦二中期中)给出下列四个命题:‎ ‎①函数f(x)=lnx-2+x在区间(1,e)上存在零点;‎ ‎②若f ′(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0处取得极值;‎ ‎③若m≥-1,则函数y=log (x2-2x-m)的值域为R;‎ ‎④“a=1”是“函数f(x)=在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.‎ 其中正确的是________.‎ ‎[答案] ①③④‎ ‎[解析] ①∵f(1)·f(e)=-1·(e-1)<0,又f(x)在(1,e)上的图象连续不断,∴f(x)在(1,e)上存在零点,故①正确;‎ ‎②f ′(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要条件,但不是充分条件,②为假命题;‎ ‎③要使函数y=log (x2-2x-m)的值域为R,应使x2-2x+m取遍所有正数,∴Δ=4+‎4m≥0,∴m≥-1,故③正确;‎ ‎④a=1时,f(x)=,f(-x)===-f(x),∴f(x)为奇函数;f(x)=为奇函数时,f(-x)=-f(x)恒成立,∴=-,即=,∴e2x-a2=a2e2x-1,∴(a2-1)(e2x+1)=0,∴a2-1=0,∴a=±1,∴④正确,故填①③④.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本小题满分12分)(文)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且m=(sinA+sinB+sinC,sinC),n=(sinB,sinB+sinC-sinA),若m∥n.‎ ‎(1)求A的大小;‎ ‎(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+cosBcosC的最大值及此时B的值.‎ ‎[解析] (1)因为m∥n,所以(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=sinBsinC,‎ 根据正弦定理得,(a+b+c)(b+c-a)=bc,‎ 即a2=b2+c2+bc,‎ 由余弦定理得,cosA==-,‎ 又A∈(0,π),‎ 所以A=π.‎ ‎(2)由正弦定理及a=得,S=bcsinA=··asinC=sinBsinC,‎ 所以S+cosBcosC=(cosBcosC+sinBsinC)‎ ‎=cos(B-C),‎ 所以当B=C时,即B=C=时,S+cosBcosC取最大值.‎ ‎(理)(2014·西安市长安中学期中)已知平面向量a=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),c=(sinφ,-cosφ),其中0<φ<π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx的图象过点(,1).‎ ‎(1)求φ的值;‎ ‎(2)将函数y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在[0,]上的最大值和最小值.‎ ‎[解析] (1)∵a·b=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x),‎ b·c=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(φ-x),‎ ‎∴f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx ‎=cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx ‎=cos(φ-x-x)=cos(2x-φ),‎ 即f(x)=cos(2x-φ),‎ ‎∴f()=cos(-φ)=1,‎ 而0<φ<π,∴φ=.‎ ‎(2)由(1)得,f(x)=cos(2x-),‎ 于是g(x)=cos[2(x)-],‎ 即g(x)=cos(x-).‎ 当x∈[0,]时,-≤x-≤,‎ 所以≤cos(x-)≤1,‎ 即当x=0时,g(x)取得最小值,‎ 当x=时,g(x)取得最大值1.‎ ‎18.(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)等差数列{an}中,a3=3,前7项和S7=28.‎ ‎(1)求数列{an}的公差d;‎ ‎(2)等比数列{bn}中,b1=a2,b2=a4,求数列{bn}的前n项和Tn(n∈N*).‎ ‎[解析] (1)S7==‎7a4=28,‎ ‎∴a4=4,‎ 又∵a3=3,∴d=a4-a3=1.‎ ‎(2)由(1)知数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,‎ ‎∴an=1+(n-1)=n,‎ ‎∴b1=2,b2=4,‎ ‎∴数列{bn}的公比q==2,‎ ‎∴Tn===2n+1-2.‎ ‎(理)(2014·开滦二中期中)已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn,(c是不为0的常数,n∈N*),且a1,a2,a3成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析] (1)由已知a2=2+c,a3=2+‎3c,‎ 则(2+c)2=2(2+‎3c),∴c=2,∴an+1=an+2n,‎ n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)‎ ‎=2+2×1+2×2+…+2×(n-1)=n2-n+2,‎ n=1时,a1=2也适合上式,因此an=n2-n+2.‎ ‎(2)bn==,则Tn=b1+b2+…+bn=+++…++,‎ Tn=+++…++,用错位相减法可求得Tn=1-.‎ ‎19.(本小题满分12分)(文)(2014·泗阳县模拟)直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AC=BC=BB1=1,AB1=.‎ ‎(1)求证:平面AB‎1C⊥平面B1CB;‎ ‎(2)求三棱锥A1-AB‎1C的体积.‎ ‎[解析] (1)直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB,BB1⊥AC,‎ 又由于AC=BC=BB1=1,AB1=,∴AB=,‎ 则由AC2+BC2=AB2可知,AC⊥BC,‎ ‎∴AC⊥平面B1CB,‎ ‎∴平面AB‎1C⊥平面B1CB.‎ ‎(2)∵BC⊥AC,BC⊥CC1,∴BC⊥平面ACC‎1A1,‎ ‎∴B到平面ACC‎1A1的距离d=1,‎ ‎∵BB1∥平面ACC‎1A1,∴B1到平面A‎1AC的距离为1,‎ ‎∴三棱锥A1-AB‎1C的体积=×(×1×1)×1=.‎ ‎(理)(2014·海南省文昌市检测)如图,已知ABCD为平行四边形,∠A=60°,AF=2FB,AB=6,点E在CD上,EF∥BC,BD⊥AD,BD与EF相交于点N.现将四边形ADEF沿EF折起,使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上.‎ ‎(1)求证:BD⊥平面BCEF;‎ ‎(2)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值;‎ ‎(3)求三棱锥N-ABF的体积.‎ ‎[解析] (1)由条件知EF⊥DN,EF⊥BN,‎ ‎∴EF⊥平面BDN,‎ ‎∴平面BDN⊥平面BCEF,‎ ‎∵BN=平面BDN∩平面BCEF,‎ ‎∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上,‎ 又D在平面BCEF上的射影在直线BC上,‎ ‎∴D在平面BCEF上的射影即为点B,‎ 故BD⊥平面BCEF.‎ ‎(2)法一.如图,建立空间直角坐标系,‎ ‎∵在原平面图形中AB=6,∠DAB=60°,‎ ‎∴BD=3,∵EF∥AD,AF=2FB,∴DN=2BN,‎ ‎∴BN=,DN=2,∴折后立体图形中BD=3,BC=3,‎ ‎∴N(0,,0),D(0,0,3),C(3,0,0),==(-1,0,0),‎ ‎∴=+=(-1,,0),=(0,,-3),‎ ‎∴cos〈,〉==,‎ ‎∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为.‎ 法二:在线段BC上取点M,使BM=NF,则MN∥BF,‎ ‎∴∠DNM或其补角为DN与BF所成的角.‎ 又MN=BF=2,DM==,DN=2.‎ ‎∴cos∠DNM==,‎ ‎∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为.‎ ‎(3)∵AD∥EF,∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离,‎ ‎∴VN-ABF=VA-BNF=VD-BNF=S△BNF·BD=,‎ 即所求三棱锥的体积为.‎ ‎20.(本小题满分12分)(文)(2014·屯溪一中期中)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f ′(x)满足f ′(1)=‎2a,f ′(2)=-b,其中常数a、b∈R.‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)设g(x)=f ′(x)e-x,求函数g(x)的极值.‎ ‎[解析] ∵f(x)=x3+ax2+bx+1,∴f ′(x)=3x2+2ax+b,‎ ‎∵f ′(1)=‎2a,∴3+‎2a+b=‎2a,‎ ‎∵f ′(2)=-b,∴12+‎4a+b=-b,‎ ‎∴a=-,b=-3,‎ ‎∴f(x)=x3-x2-3x+1,f ′(x)=3x2-3x-3,‎ ‎∴f(1)=-,f ′(1)=-3,‎ ‎∴切线方程为y-(-)=-3(x-1),‎ 即6x+2y-1=0.‎ ‎(2)∵g(x)=(3x2-3x-3)e-x,∴g′(x)=(6x-3)e-x+(3x2-3x-3)·(-e-x),‎ ‎∴g′(x)=-3x(x-3)e-x,‎ ‎∴当00,当x>3时,g′(x)<0,当x<0时,g′(x)<0,‎ ‎∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,‎ 所以g极小(x)=g(0)=-3,g极大(x)=g(3)=15e-3.‎ ‎(理)(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足:y=f(x)=ax2+x-bln,a,b为常数.当x=10万元时,y=19.2万元;当x=30万元时,y=50.5万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6).‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入).‎ ‎[解析] (1)由条件可得 解得a=-,b=1,‎ 则f(x)=-+x-ln(x≥10).‎ ‎(2)T(x)=f(x)-x=-+x-ln(x≥10),‎ 则T′(x)=+-=-,‎ 令T′(x)=0,则x=1(舍)或x=50,‎ 当x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此T(x)在(10,50)上是增函数;‎ 当x∈(50,+∞)时,T′(x)<0,因此T(x)在(50,+∞)上是减函数,‎ ‎∴当x=50时,T(x)取最大值.‎ T(50)=-+×50-ln=24.4(万元).‎ 即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.‎ ‎21.(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析,按150进行分层抽样抽取了20名学生的成绩,分数用茎叶图记录如下:‎ 得到频率分布表如下:‎ 分数段 ‎(分)‎ ‎[50,‎ ‎70)‎ ‎[70,‎ ‎90)‎ ‎[90,‎ ‎110)‎ ‎[110,‎ ‎130)‎ ‎[130,‎ ‎150]‎ 总计 频数 b 频率 a ‎(1)求表中a,b的值,并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]范围内为及格);‎ ‎(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分,求2名学生的平均得分大于等于130分的概率.‎ ‎[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人,在[110,130)范围内的有3人,‎ ‎∴a==0.1,b=3‎ 从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有13人,‎ 所以估计全校数学成绩的及格率为=65%.‎ ‎(2)设A表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分,平均得分大于等于‎130”‎,由茎叶图可知大于等于110分有5人,记这5人分别为a,b,c,d,e,‎ 则选取学生的所有可能结果为:‎ ‎(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),基本事件数为10,‎ 事件“2名学生的平均得分大于等于‎130”‎,也就是“这两个学生的分数之和大于等于‎260”‎,所有可能结果为:(118,142),(128,136),(128,142),(136,142),共4种情况,基本事件数为4,‎ 所以P(A)==.‎ ‎(理)(2014·山西省太原五中月考)某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩,并用茎叶图记录分数如图所示,但部分数据不小心丢失,同时得到如下所示的频率分布表:‎ 分数段 ‎(分)‎ ‎[50,‎ ‎70)‎ ‎[70,‎ ‎90)‎ ‎[90,‎ ‎110)‎ ‎[110,‎ ‎130)‎ ‎[130,‎ ‎150]‎ 总计 频数 b 频率 a ‎0.25‎ ‎(1)求表中a,b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数,并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]内为及格);‎ ‎(2)从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人,设其中成绩在[100,110)内的人数为X,求X的分布列及数学期望.‎ ‎[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人,在[110,130)范围内的有3人,‎ ‎∴a==0.1,b=3;分数在[70,90)范围内的人数为20×0.25=5,结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2,所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4,故数学成绩及格的学生为13人,所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为×100%=65%.‎ ‎(2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人,分数在[100,110)范围内的有4人,则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为:P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==;P(X=4)==.‎ 随机变量X的分布列为:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)=1×+2×+3×+4×=.‎ ‎22.(本小题满分14分)(文)(2014·天津市六校联考)在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-)、(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A、B两点.‎ ‎(1)写出C的方程;‎ ‎(2)若⊥,求k的值.‎ ‎[解析] (1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴b==1,‎ 故曲线C的方程为x2+=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足消去y并整理得,(k2+4)x2+2kx-3=0,‎ 故x1+x2=-,x1x2=-.‎ ‎∵⊥,∴x1x2+y1y2=0.‎ ‎∵y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,‎ ‎∴x1x2+y1y2=---+1=0,‎ 化简得-4k2+1=0,∴k=±.‎ ‎(理)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)设过椭圆顶点B(0,b),斜率为k的直线交椭圆于另一点D,交x轴于点E,且|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,求k2的值.‎ ‎[解析] (1)由已知‎2c=2,=.‎ 解得a=2,c=,‎ ‎∴b2=a2-c2=1,‎ ‎∴椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由(1)得过B点的直线方程为y=kx+1,‎ 由消去y得(4k2+1)x2+8kx=0,‎ ‎∴xD=-,yD=,‎ 依题意k≠0,k≠±.‎ ‎∵|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,∴|BE|2=|BD||DE|,‎ ‎∴===,‎ ‎∵b=1,∴y-yD-1=0,解得yD=,‎ ‎∴=,解得k2=,‎ ‎∴当|BD|,|BE|,|DE|成等比数列时,k2=.‎
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