2012福建质检理数试卷

2012福建质检理数试卷

‎2012年福建省普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学 ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎ 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎ 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎ 4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　　　　V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在复平面上，复数的对应点所在象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．平面向量，，若与共线，则的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．4‎ ‎3．双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．5‎ ‎4．若集合，， 则“”的充要条件是 A． B． C． D．‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是 A．2 B． C． D．3 ‎ ‎6．已知是公差为的等差数列，且成等比数列，则数列的前9项和等于 ‎．0 ．8 ．144 ．162‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是 A．或 B．或 C．或 D．或 ‎8．设，若关于的不等式在恒成立， 则 的最小值为 A． 16 B． ‎9 C． 4 D． 2 ‎ ‎9．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是 ‎． ． ． ．‎ ‎10．定义在R上的函数及其导函数 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数，有．现给出如下结论：‎ ‎①；②；‎ ‎③；④.‎ 其中结论正确的个数是 A． 1 B． ‎2 C． 3 D． 4‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎11． .‎ ‎12．展开式的常数项是　　　　　．‎ ‎13．圆C过坐标原点，圆心在轴的正半轴上．若圆C被直线截得的弦长为,则圆C的方程是__________．‎ ‎14．在平面直角坐标系中，不等式组（）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，则m的最大值是 .‎ ‎15．对于非空实数集，记．设非空实数集合，若时，则． 现给出以下命题：‎ ‎①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；‎ ‎②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；‎ ‎③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有； ‎ ‎④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数，使得对任意的，恒有，‎ 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (本小题满分13分)‎ 阅读下面材料：‎ ‎ 根据两角和与差的正弦公式，有 ‎------①‎ ‎ ------②‎ 由①+② 得------③‎ 令 有 代入③得 .‎ ‎ (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:‎ ‎;‎ ‎ (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.‎ ‎(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)‎ ‎17. (本小题满分13分)‎ 在直角梯形ABCD中，AD//BC，,,如图（1）．把沿 翻折，使得平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若点为线段中点，求点到平面的距离；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点N，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎18. (本小题满分13分)‎ ‎2012年3月2日‎，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：‎ 组别 PM2.5（微克/立方米）‎ 频数（天）‎ 频率 第一组 ‎(0,15]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第二组 ‎(15,30]‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 第三组 ‎(30,45]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第四组 ‎(45,60]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第三组 ‎(60,75]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第四组 ‎(75,90)‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；‎ ‎（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望（）．‎ ‎19. (本小题满分13分)‎ 已知为平面内的两个定点，动点满足,记点的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点为坐标原点，点，，是曲线上的不同三点，且．‎ ‎（ⅰ）试探究：直线与的斜率之积是否为定值？证明你的结论；‎ ‎（ⅱ）当直线过点时，求直线、与轴所围成的三角形的面积．‎ ‎20．(本小题满分14分)‎ 设函数的图象是由函数的图象经下列两个步骤变换得到：‎ ‎（1）将函数的图象向右平移个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；‎ ‎（2）将函数的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．‎ ‎（Ⅰ）求的表达式； ‎ ‎（Ⅱ）判断方程的实根的个数，证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）设数列满足，试探究数列的单调性，并加以证明．‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． ‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知向量在矩阵变换下得到的向量是．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求曲线在矩阵对应的线性变换作用下得到的曲线方程．‎ ‎（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点的极坐标为，曲线的参数方程为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求点到曲线上的点的距离的最小值．‎ ‎（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 设实数满足．‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的最大值． ‎ ‎2012年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎ 1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．A； 7．D； 8．C； 9．B； 10．B ‎ ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．‎ ‎ 11．4 ； 12．10； 13．； 14．； 15．①④．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．‎ 解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①‎ ‎ ，------②……………………………………………2分 ‎①-② 得.------③………………………………3分 令有，‎ 代入③得.………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由二倍角公式,可化为 ‎ ,……………………………………………9分 ‎ 所以.……………………………………………10分 设的三个内角A,B,C所对的边分别为，‎ 由正弦定理可得.…………………………………………12分 根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.……………………………………………13分 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为 ‎ ，……………………………………………8分 ‎ 因为A,B,C为的内角，所以，‎ 所以.‎ 又因为，所以,‎ 所以.‎ 从而.……………………………………………10分 又,所以，故.……………………………………………12分 所以为直角三角形. ……………………………………………13分 ‎17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．‎ 解法一：（Ⅰ）由已知条件可得．………………………………2分 ‎∵平面，．‎ ‎∴．……………………………………3分 又∵，∴．……………………………………4分 ‎（Ⅱ）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得．‎ ‎∴．………………6分 设平面的法向量为，‎ 则∴‎ 令，得平面的一个法向量为，‎ ‎∴点M到平面的距离．……………………………………………8分 ‎（Ⅲ）假设在线段上存在点N，使得与平面所成角为．……………………9分 设，则，‎ ‎∴，‎ 又∵平面的法向量且直线与平面所成角为，‎ ‎∴，……………………………………………11分 可得，‎ ‎∴（舍去）．‎ 综上，在线段上存在点N，使与平面所成角为，此时．…………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）由已知条件可得，，∴．‎ 由（Ⅰ）知，即CD为三棱锥C-ABD的高，又CD=2，‎ ‎∴，‎ 又∵点为线段中点，‎ ‎∴ 点M到平面的距离等于点Ｂ到平面的距离的，…………………………6分 ‎∴，‎ ‎∵，AD=,CD=2，∴，‎ 设点M到平面的距离为，则，即 解得=，∴设点M到平面的距离等于.…………………………………8分 ‎（Ⅲ）同解法一．‎ 解法三：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）∵点为线段中点，‎ ‎∴ 点M到平面的距离等于点Ｂ到平面的距离的，………………………………6分 由已知条件可得，由（Ⅰ）知，‎ 又，∴ ，‎ ‎∴点Ｂ到平面的距离等于线段的长．‎ ‎∵，∴设点M到平面的距离等于……………………………………………8分 ‎（Ⅲ）同解法一．‎ ‎18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．‎ 解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．……………………………………4分 ‎（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为 ‎（微克/立方米）．…………………6分 因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，‎ 故该居民区的环境需要改进．……………………………………………8分 ‎（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.………………9分 随机变量的可能取值为0,1,2.且.‎ 所以，…………………………………………11分 所以变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…………………………………………12分 ‎（天）,或（天）. ……………………13分 ‎19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、‎ 运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．‎ 解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点到两定点的距离之和为定值，‎ 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆．…………………………………………2分 又，，所以，‎ 故所求方程为．…………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设，，．‎ 由，得，．…………………………5分 ‎（ⅰ）可设直线的方程为，‎ 代入并整理得，，‎ 依题意，，则 ，，‎ 从而可得点的坐标为，．‎ 因为，所以直线与的斜率之积为定值．……………………………8分 ‎（ⅱ）若轴时，,由，‎ 得点，所以点不在椭圆上，不合题意．‎ 因此直线的斜率存在．……………………………9分 由（ⅰ）可知，当直线过点时, 有，点的坐标为．‎ ‎ 代入得，，即，‎ 所以． ……………………………11分 ‎（1）当时，由（ⅰ）知，，从而．‎ 故、及轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为，且底边上的高 ‎，所求等腰三角形的面积．‎ ‎（2）当时，又由（ⅰ）知，，从而，‎ 同理可求直线、与轴所围成的三角形的面积为．‎ ‎ 综合（1）（2），直线、与轴所围成的三角形的面积为．…………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎ （Ⅱ）设，，．‎ 由得：，．………………………5分 ‎（ⅰ）因为点，在椭圆上，所以有：，，‎ 两式相减，得，‎ 从而有．‎ 又，，‎ 所以，即直线与的斜率之积为定值．………………………………8分 ‎（ⅱ）同解法一．‎ ‎20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分.‎ 解:(Ⅰ) …………………2分 ‎…………………………3分 ‎,…………………………4分 ‎.…………………………5分 ‎(Ⅱ)方程有且只有一个实根. …………………………6分 理由如下：‎ 由(Ⅰ)知，令,‎ 因为,又因为,所以.‎ 所以在至少有一个根. …………………………7分 又因为,‎ 所以函数在R上单调递减,‎ 所以函数在R上有且只有一个零点，‎ 即方程有且只有一个实根. …………………………9分 ‎(Ⅲ)因为 又，因为，所以，所以．‎ 由此猜测,即数列是单调递增数列. …………………………11分 以下用数学归纳法证明:且时,成立.‎ ‎(1)当时,,显然有成立.‎ ‎(2)假设时,命题成立，即．…………………………12分 则时,，‎ 因为，所以．‎ 又在上单调递增，，‎ 所以，所以，‎ 即，‎ 即时,命题成立. …………………………13分 综合(1) ,(2)，且时, 成立. ‎ 故数列为单调递增数列. …………………………14分 ‎21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分．‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，即=1．…………………………………………3分 ‎（Ⅱ）因为，所以．…………………………………4分 设曲线上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像是.‎ 由， ……………………………………………5分 所以得代入曲线得．………………………6分 由的任意性可知, ‎ 曲线在矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程为. ………………7分 ‎（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）由点的极坐标为得点的直角坐标为，‎ 所以直线的直角坐标方程为．…………………………………………3分 ‎（Ⅱ）由曲线的参数方程 化为普通方程为，……………………………5分 圆心为，半径为．‎ 由于点M在曲线C外，故点到曲线上的点的距离最小值为．…………7分 ‎（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲 本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）由得，即．‎ 所以可化为，即，解得．‎ 所以的取值范围．…………………………………………4分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，…………………………………6分 当且仅当时，等号成立．‎ 故的最大值为27．…………………………………………7分