2020高考数学二轮复习练习：第一部分 第3讲 复数与平面向量

2020高考数学二轮复习练习：第一部分 第3讲 复数与平面向量

第 3 讲　复数与平面向量 复　数 [考法全练] 1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若 z(1＋i)＝2i，则 z＝(　　) A．－1－i　　　　　 B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选 D.由 z(1＋i)＝2i，得 z＝ 2i 1＋i＝ 2i（1－i） （1＋i）（1－i）＝2i（1－i） 2 ＝i(1－i)＝1＋i. 故选 D. 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设 z＝i(2＋i)，则 z＝(　　) A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i 解析：选 D.因为 z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以 z＝－1－2i，故选 D. 3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设 z＝1－i 1＋i＋2i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 2 C．1 D． 2 解析：选 C.法一：因为 z＝1－i 1＋i＋2i＝ （1－i）2 （1＋i）（1－i）＋2i＝＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1， 故选 C. 法二：因为 z＝1－i 1＋i＋2i＝1－i＋2i（1＋i） 1＋i ＝ －1＋i 1＋i ， 所以|z|＝| －1＋i 1＋i |＝|－1＋i| |1＋i| ＝ 2 2 ＝1.故选 C. 4．(2019·漳州模拟)已知 i 是虚数单位，且 z＝ 2＋4i （1＋i）2，则 z 的共轭复数在复平面内对 应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 A.z＝ 2＋4i （1＋i）2＝2＋4i 2i ＝1＋2i i ＝ －i（1＋2i） －i2 ＝2－i，则 z＝2＋i，所以 z 对 应的点在第一象限．故选 A. 5．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 解析：选 C.由已知条件，可得 z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－i|＝1，所以|x＋yi－i|＝1，所 以 x2＋(y－1)2＝1. 故选 C. 6．(2019·高考江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的 值是________． 解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部是 0，故 a＝2. 答案：2 复数代数形式的 2 种运算方法 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类项， 不含 i 的看作另一类项，分别合并同类项即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i 的幂写 成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实 数化”． [提醒]　(1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化． (2)对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i＝i，1－i 1＋i＝－i 等要熟记． (3)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的前提条件．　 平面向量的线性运算 [考法全练] 1．(一题多解)(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，BD → ＝1 3BC → ，若AB → ＝a，AC → ＝b， 则AD → ＝(　　) A．2 3a＋1 3b　　　　 B．1 3a＋2 3b C．1 3a－2 3b D．2 3a－1 3b 解析：选 A.通解：如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB， AC 于点 E，F，则四边形 AEDF 为平行四边形，所以AD → ＝AE → ＋AF → .因 为BD → ＝1 3BC → ，所以AE → ＝2 3AB → ，AF → ＝1 3AC → ，所以AD → ＝2 3AB → ＋1 3AC → ＝2 3a＋1 3 b，故选 A. 优解一：AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋1 3BC → ＝AB → ＋1 3(AC → －AB → )＝2 3AB → ＋1 3AC → ＝2 3a＋1 3b，故选 A. 优解二：由BD → ＝1 3BC → ，得AD → －AB → ＝1 3(AC → －AB → )，所以AD → ＝AB → ＋1 3(AC → －AB → )＝2 3AB → ＋1 3AC → ＝ 2 3a＋1 3b，故选 A. 2．(一题多解)(2019·广东六校第一次联考)如图，在△ABC 中， AN → ＝2 3NC → ，P 是 BN 上一 点，若AP → ＝tAB → ＋1 3AC → ，则实数 t 的值为(　　) A．2 3 B．2 5 C．1 6 D．3 4 解析：选 C.通解：因为AN → ＝2 3NC → ，所以AN → ＝2 5AC → .设NP → ＝λNB → ，则AP → ＝AN → ＋NP → ＝2 5AC → ＋λ NB → ＝2 5AC → ＋λ(NA → ＋AB → )＝2 5AC → ＋λ(－2 5AC → ＋AB → )＝λAB → ＋2 5(1－λ)AC → ，又AP → ＝tAB → ＋1 3AC → ，所以 tAB → ＋1 3AC → ＝λAB → ＋2 5(1－λ)AC → ，得{t＝λ 2 5（1－λ）＝1 3 ，解得 t＝λ＝1 6，故选 C. 优解：因为AN → ＝2 3NC → ，所以AC → ＝5 2AN → ，所以AP → ＝tAB → ＋1 3AC → ＝tAB → ＋5 6AN → .因为 B，P，N 三 点共线，所以 t＋5 6＝1，所以 t＝1 6，故选 C. 3．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，AB → ＋PB → ＋PC → ＝0， |AB → |＝|PB → |＝|PC → |＝2，则△ABC 的面积等于(　　) A． 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3 解析：选 B.由|PB → |＝|PC → |得，△PBC 是等腰三角形，取 BC 的中点为 D，则 PD⊥BC，又AB → ＋PB → ＋PC → ＝ 0 ， 所 以AB → ＝ － (PB → ＋PC → ) ＝ － 2PD → ， 所 以 PD ＝1 2AB ＝ 1 ， 且 PD∥AB ， 故 AB⊥BC，即△ABC 是直角三角形，由|PB → |＝2，|PD → |＝1 可得|BD → |＝ 3，则|BC → |＝2 3，所以△ABC 的面积为1 2×2×2 3＝2 3，故选 B. 4．已知向量 a＝(1，2)，b＝(m，－1)，若 a∥(a＋b)，则实数 m 的值为________． 解析：a＋b＝(1＋m，1)，因为 a∥(a＋b)，所以 2(1＋m)＝1，解得 m＝－1 2. 答案：－1 2 5．(2019·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，BC 的中点，连接 CE，DF 交于点 G.若CG → ＝λCD → ＋μCB → (λ，μ∈R)，则λ μ＝________． 解析：由题图可设CG → ＝xCE → (x>0)，则CG → ＝x(CB → ＋BE → )＝x(CB → ＋1 2CD → )＝x 2CD → ＋xCB → .因为CG → ＝λCD → ＋μCB → ，CD → 与CB → 不共线，所以 λ＝x 2，μ＝x，所以λ μ＝1 2. 答案：1 2 平面向量线性运算的 2 种技巧 (1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三 角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算． (2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量 不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b≠0 时，a∥b⇔存在唯一实数 λ，使得 a＝λb) 来判断． [提醒]　向量线性运算问题的 2 个关注点 (1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基 本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2)注意结论的使用：O 为直线 AB 外一点，若点 P 在直线 AB 上，则有OP → ＝αOA → ＋βOB → (α ＋β＝1)；若点 P 满足AP → ＝n mPB → ，则有OP → ＝ m m＋nOA → ＋ n m＋nOB → .　 　平面向量的数量积 [考法全练] 1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB → ＝(2，3)，AC → ＝(3，t)，|BC → |＝1，则AB → ·BC → ＝(　　) A．－3　　　　　　　 B．－2 C．2 D．3 解析：选 C.因为BC → ＝AC → －AB → ＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，|BC → |＝1，所以 12＋（t－3）2 ＝1，所以 t＝3，所以BC → ＝(1，0)，所以AB → ·BC → ＝2×1＋3×0＝2. 故选 C. 2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量 a，b 满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则 a 与 b 的夹角 为(　　) A．π 6　　 B．π 3　　　　 C．2π 3 　　　　 D．5π 6 解析：选 B.由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，所以 a·b＝b 2. 因为|a|＝2|b|，所以 cos〈a，b〉＝ a·b |a|·|b|＝ b2 2b2＝1 2. 因为 0≤〈a，b〉≤π，所以 a 与 b 的夹角为π 3. 故选 B. 3．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120 °，点 D 为 BC 边上一点，且BD → ＝2DC → ，则AB → ·AD → ＝(　　) A．1 3 B．2 3 C．1 D．2 解析：选 C.法一：因为BD → ＝2DC → ，所以AD → －AB → ＝2(AC → －AD → )，所以AD → ＝2 3AC → ＋1 3AB → ，则 AB → ·AD → ＝AB → ·(2 3AC → ＋1 3AB → )＝2 3AB → ·AC → ＋1 3AB → 2＝2 3×3×2×(－1 2 )＋1 3×32＝1，故选 C. 法二：以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则 A(0， 0)，B(3，0)，C(－1，3)，因为BD → ＝2DC → ，所以BD → ＝2 3BC → ＝2 3(－4， 3)＝(－8 3， 2 3 3 )，则 D(1 3， 2 3 3 )， 所以AB → ＝(3，0)，AD → ＝(1 3， 2 3 3 )，则AB → ·AD → ＝3×1 3＋0＝1，故选 C. 4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知 a，b 为单位向量，且 a·b＝0，若 c＝2a－ 5b，则 cos〈a， c〉＝________． 解析：由题意，得 cos〈a，c〉＝a·（2a－ 5b） |a|·|2a－ 5b| ＝ 2a2－ 5a·b |a|· |2a－ 5b|2 ＝ 2 1 × 4＋5 ＝2 3. 答案：2 3 5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是 ________． 解析：已知|a|＝1，|b|＝2，则(|a＋b|＋|a－b|) 2 ＝2(a 2 ＋b 2)＋2|a＋b||a－b|＝10＋2 a2＋b2＋2a·b· a2＋b2－2a·b＝10＋2 25－4（a·b）2.由|a|＝1，|b|＝2，得－2≤a·b≤2，则(a·b)2 ∈[0，4]，所以(|a＋b|＋|a－b|)2∈[16，20]，所以|a＋b|＋|a－b|∈[4，2 5]，所以|a＋b|＋|a－b| 的最小值是 4，最大值是 2 5. 答案：4　2 5 6．已知平面内三个不共线向量 a，b，c 两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c| ＝________． 解析：由平面内三个不共线向量 a，b，c 两两夹角相等，可得夹角均为2π 3 ，所以|a＋b＋c|2 ＝ a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ 2a·b ＋ 2b·c ＋ 2a · c ＝ 1 ＋ 1 ＋ 9 ＋ 2×1×1×cos 2π 3 ＋ 2×1×3×cos 2π 3 ＋ 2×1×3×cos 2π 3 ＝4，所以|a＋b＋c|＝2. 答案：2 平面向量数量积问题的难点突破 (1)借“底”数字化，要先选取一组合适的基底，这是把平面向量“数化”的基础． (2)借“系”坐标化，数形结合，建立合适的平面直角坐标系，将向量的数量积运算转化 为坐标运算．　 　平面向量在几何中的应用 [考法全练] 1．(一题多解)(2019·郑州市第二次质量预测)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝ 4，P 在边 AC 的中线 BD 上，则CP → ·BP → 的最小值为(　　) A．－1 2　　　　　　　　　 B．0 C．4 D．－1 解析：选 A.通解：因为 BC＝2，AC＝4，∠C＝90°，所以 AC 的中线 BD＝22，且∠CBD ＝45°.因为点 P 在边 AC 的中线 BD 上，所以设BP → ＝λBD → (0≤λ≤1)，如图所示，所以CP → ·BP → ＝ (CB → ＋BP → )·BP → ＝(CB → ＋λBD → )·λBD → ＝λCB → ·BD → ＋λ2·BD → 2＝λ|CB → |·|BD → |cos 135°＋λ 2×(2 2)2＝8λ2 －4λ＝8(λ－1 4 )2 －1 2，当 λ＝1 4时，CP → ·BP → 取得最小值－1 2，故选 A. 优解：依题意，以 C 为坐标原点，分别以 AC，BC 所在的直线为 x，y 轴，建立如图所示 的平面直角坐标系，则 B(0，2)，D(2，0)，所以直线 BD 的方程为 y＝－x＋2， 因为点 P 在边 AC 的中线 BD 上，所以可设 P(t，2－t)，(0≤t≤2)，所以CP → ＝(t，2－t)，BP → ＝(t，－t)，所以CP → ·BP → ＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2(t－1 2 )2 －1 2，当 t＝1 2时，CP → ·BP → 取得最小值－ 1 2，故选 A. 2．(一题多解)(2019·长春市质量监测(二))如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 边的 中点，F 为 CD 边上一点，若AF → ·AE → ＝|AE → |2，则|AF → |＝(　　) A．3 B．5 C．3 2 D．5 2 解析：选 D.法一：以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在 直线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 A(0，0)，E(2，1)．设|DF → |＝x，则 F(x，2)，故AF → ＝(x，2)，AE → ＝(2，1)．因为AF → ·AE → ＝|AE → |2，所以(x，2)·(2，1)＝2x＋2＝5， 解得 x＝3 2，所以|AF → |＝ (3 2 )2 ＋22＝5 2，故选 D. 法二：连接 EF，因为AF → ·AE → ＝|AF → ||AE → |cos∠EAF＝|AE → |2，所以|AF → |cos∠EAF＝|AE → |，所以 EF⊥AE.因为 E 是 BC 的中点，所以 BE＝CE＝1.设 DF＝x，则 CF＝2－x.在 Rt△AEF 中，AE2 ＋EF2＝AF2，即 22＋12＋(2－x)2＋12＝22＋x2，解得 x＝3 2，所以 AF＝ AD2＋DF2＝5 2.故选 D. 3．(2019·江苏南通基地学校联考改编)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A( 3，1)在以 原点 O 为圆心的圆上．已知圆 O 与 y 轴正半轴的交点为 P，延长 AP 至点 B，使得∠AOB＝90 °，则BP → ·OA → ＝________，|BP → ＋OA → |＝________．　 解析：由题可得圆 O 的半径 r＝ 3＋1＝2，所以 P(0，2)，则 AP 所在直线方程为 y－2＝ 2－1 0－ 3(x－0)，即 y＝－ 3 3 x＋2. 设 B(x，－ 3 3 x＋2)，则OA → ＝( 3，1)，OB → ＝(x，－ 3 3 x＋2). 由∠AOB＝90°可得OA → ·OB → ＝0，所以 3x－ 3 3 x＋2＝2 3 3 x＋2＝0， 解得 x＝－ 3，所以 B(－ 3，3)，所以BP → ＝( 3，－1)， 所以BP → ·OA → ＝ 3× 3＋1×(－1)＝2， |BP → ＋OA → |＝|(2 3，0)|＝2 3. 答案：2　2 3 用向量解决平面几何问题的 3 个步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [提醒]　关注 2 个常用结论的应用 (1)△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，则AD → ＝1 2(AB → ＋AC → )． (2)△ABC 中，O 是△ABC 内一点，若OA → ＋OB → ＋OC → ＝0，则 O 是△ABC 的重心．　 一、选择题 1．若 i 是虚数单位，则复数2＋3i 1＋i 的实部与虚部之积为(　　) A．－5 4　　　　　　　 B．5 4 C．5 4i D．－5 4i 解析：选 B.因为2＋3i 1＋i ＝ （2＋3i）（1－i） （1＋i）（1－i） ＝5 2＋1 2i，所以其实部为5 2，虚部为1 2，实部与 虚部之积为5 4.故选 B. 2．(2019·武昌区调研考试)已知向量 a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－ b)，则 x＝(　　) A．－1 2 B．1 2 C．1 或－1 2 D．1 或1 2 解析：选 A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为 向量 a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以 5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得 x＝1 或 x＝－1 2，因为向量 a， b 不平行，所以 x≠1，所以 x＝－1 2，故选 A. 3．(2019·广州市综合检测(一))a，b 为平面向量，已知 a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则 a， b 夹角的余弦值等于(　　) A．－4 5 B．－3 5 C．3 5 D．4 5 解析：选 B.设 b＝(x，y)，则有 a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以 {2－2x＝0 4－2y＝8，解得{x＝1 y＝－2，故 b＝(1，－2)，|b|＝ 5，|a|＝2 5，cos〈a，b〉＝ a·b |a||b|＝ 2－8 5 × 2 5 ＝－3 5，故选 B. 4．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，D 为 AB 的中点，点 E 满足EB → ＝4EC → ，则ED → ＝(　　) A．5 6AB → －4 3AC → B．4 3AB → －5 6AC → C．5 6AB → ＋4 3AC → D．4 3AB → ＋5 6AC → 解析：选 A.因为 D 为 AB 的中点，点 E 满足EB → ＝4EC → ，所以BD → ＝1 2BA → ，EB → ＝4 3CB → ，所以ED → ＝EB → ＋BD → ＝4 3CB → ＋1 2BA → ＝4 3(CA → ＋AB → )－1 2AB → ＝5 6AB → －4 3AC → ，故选 A. 5．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b| ＝(　　) A． 6 B． 5 C．2 D． 3 解析：选 A.由题意知，a·(a－2b)＝a 2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以 2a·b＝1，所以|a＋b|＝ a2＋2a·b＋b2＝ 1＋1＋4＝ 6.故选 A. 6．已知(1＋i)·z＝ 3i(i 是虚数单位)，则复数 z 在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 A.因为(1＋i)·z＝ 3i，所以 z＝ 3i 1＋i＝ 3i（1－i） （1＋i）（1－i）＝ 3＋ 3i 2 ，则复数 z 在 复平面内对应的点的坐标为( 3 2 ， 3 2 )，所以复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选 A. 7．已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝|b|＝2，则 a 在 a－b 方向上的投影为(　　) A．1 B． 3 C． 6－ 2 2 D． 6＋ 2 2 解析：选 B.由向量的数量积公式可得 a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以 a 在 a－b 方向上的投影|a|·cos〈a，a－b〉＝ a·（a－b） |a－b| ＝ |a|2－a·b |a|2＋|b|2－2a·b.又 a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝ 2×2×cos 120°＝－2，所以|a|·cos〈a，a－b〉＝ 4－（－2） 4＋4－2 × （－2）＝ 3，故选 B. 8．在如图所示的矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为线段 BC 上的点，则AE → ·DE → 的最小 值为(　　) A．12 B．15 C．17 D．16 解析：选 B.以 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，BA 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，4)，D(2，4)，设 E(x， 0)(0≤x≤2)，所以AE → ·DE → ＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x 2－2x＋16＝(x－1) 2＋ 15，于是当 x＝1，即 E 为 BC 的中点时，AE → ·DE → 取得最小值 15，故选 B. 9．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB＝4，CD ＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E 是 BC 的中点，则AB → ·(AC → ＋AE → )＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 解析：选 D.法一：设AB → ＝a，AD → ＝b，则 a·b＝0，a2＝16，AC → ＝AD → ＋DC → ＝b＋1 2a，AE → ＝1 2 (AC → ＋AB → )＝1 2(b＋1 2a＋a)＝3 4a＋1 2b，所以AB → ·(AC → ＋AE → )＝a·(b＋1 2a＋3 4a＋1 2b)＝a·(5 4a＋3 2b)＝5 4a2 ＋3 2a·b＝5 4a2＝20，故选 D. 法二：以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设 AD＝t(t>0)，则 B(4，0)， C(2，t)，E(3， 1 2t)，所以AB → ·(AC → ＋AE → )＝(4，0)·[（2，t）＋(3， 1 2t)]＝(4，0)·(5， 3 2t)＝20，故 选 D. 10．(一题多解)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为π 3， 向量 b 满足 b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　) A． 3－1 B． 3＋1 C．2 D．2－ 3 解析：选 A. 法一：设 O 为坐标原点，a＝OA → ，b＝OB → ＝(x，y)，e＝(1，0)，由 b2－4e·b＋3＝0 得 x2＋ y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点 B 的轨迹是以 C(2，0)为圆心，1 为半径的圆．因为 a 与 e 的夹角为π 3，所以不妨令点 A 在射线 y＝ 3x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA → |－ |CB → |＝ 3－1.故选 A. 法二：由 b2－4e·b＋3＝0 得 b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0. 设 b＝OB → ，e＝OE → ，3e＝OF → ，所以 b－e＝EB → ，b－3e＝FB → ，所以EB → ·FB → ＝0，取 EF 的中 点为 C，则 B 在以 C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设 a＝OA → ，作射线 OA，使得∠AOE＝ π 3，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|CA → |－|BC → |≥ 3－1.故选 A. 11．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若复数 z1，z2 的模相等，则 z1，z2 是共轭复数 B．z1，z2 都是复数，若 z1＋z2 是虚数，则 z1 不是 z2 的共轭复数 C．复数 z 是实数的充要条件是 z＝z(z 是 z 的共轭复数) D．已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为 A， B，C，O 为坐标原点，若OC → ＝xOA → ＋yOB → (x，y∈R)，则 x＋y＝1 解析：选 BC.对于 A，z1 和 z2 可能是相等的复数，故 A 错误；对于 B，若 z1 和 z2 是共轭 复数，则相加为实数，不会为虚数，故 B 正确；对于 C，由 a＋bi＝a－bi 得 b＝0，故 C 正确； 对于 D，由题可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y，2x－y)， 即{－x＋y＝3 2x－y＝－2，解得 {x＝1， y＝4，x＋y＝5，故 D 错误．故选 BC. 12．(多选)已知等边三角形 ABC 内接于⊙O，D 为线段 OA 的中点，则BD → ＝(　　) A．2 3BA → ＋1 6BC → B．4 3BA → －1 6BC → C．BA → ＋1 3AE → D．2 3BA → ＋1 3AE → 解析：选 AC.如图所示，设 BC 中点为 E，则BD → ＝BA → ＋AD → ＝BA → ＋1 3AE → ＝BA → ＋1 3(AB → ＋BE → )＝ BA → －1 3BA → ＋1 3·1 2BC → ＝2 3BA → ＋1 6BC → .故选 AC. 13．(多选)已知 P 为△ABC 所在平面内一点，AB → ＋PB → ＋PC → ＝0，|AB → |＝|PB → |＝|PC → |＝2，则 (　　) A．△ABC 是直角三角形 B．△ABC 是等腰三角形 C．△ABC 的面积为 2 3 D．△ABC 的面积为 3 解析：选 AC.由|PB → |＝|PC → |得，△PBC 是等腰三角形，取 BC 的中点 D，连接 PD，则 PD⊥BC， 又AB → ＋PB → ＋PC → ＝0，所以 AB → ＝－(PB → ＋PC → )＝－2PD → ，所以 PD＝1 2AB＝1，且 PD∥AB，故 AB⊥BC，即△ABC 是直角三角形，由|PB → |＝2，|PD → |＝1 可得|BD → |＝ 3，则|BC → |＝2 3，所以△ABC 的面积为1 2×2×2 3＝2 3. 二、填空题 14．已知复数 z 满足 z(1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 解析：因为 z＝－1＋i 2i ＝ －1＋i 2 ，所以|z|＝ 2 2 . 答案： 2 2 15．(2019·山东师大附中二模改编)已知向量 a，b，其中|a|＝ 3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则 向量 a 和 b 的夹角是________，a·(a＋b)＝________． 解析：由题意，设向量 a，b 的夹角为 θ.因为|a|＝ 3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a ＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2 3·cos θ＝0，解得 cos θ＝ 3 2 .又因为 0≤θ≤π，所以 θ＝π 6.则 a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2 3× 3 2 ＝6. 答案：π 6　6 16．(2019·济南市学习质量评估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝1 2(a＋b)，|d－c|＝ 2，则|d|的 取值范围是________． 解析：不妨令 a＝(2，0)，b＝(0，2)，则 c＝(1，1)．设 d＝(x，y)，则(x－1) 2＋(y－1)2＝ 2，点(x，y)在以点(1，1)为圆心、 2为半径的圆上，|d|表示点(x，y)到坐标原点的距离，故|d| 的取值范围为[0，2 2]． 答案：[0，2 2] 17．在△ABC 中，(AB → －3AC → )⊥CB → ，则角 A 的最大值为________．　 解析：因为(AB → －3AC → )⊥CB → ，所以(AB → －3AC → )·CB → ＝0，(AB → －3AC → )·(AB → －AC → )＝0，AB → 2－ 4AC → ·AB → ＋3AC → 2＝0，即 cos A＝ |AB → |2＋3|AC → |2 4|AC→ |·|AB→ | ＝ |AB → | 4|AC → | ＋ 3|AC → | 4|AB → | ≥2 3 16＝ 3 2 ，当且仅当|AB → |＝ 3|AC → |时等号成立．因为 0＜A＜π，所以 0＜A≤π 6，即角 A 的最大值为π 6. 答案：π 6