2020届数学(理)二轮复习第2部分专题4解密高考④　立体几何问题重在“建”——建模、建系学案

2020届数学(理)二轮复习第2部分专题4解密高考④　立体几何问题重在“建”——建模、建系学案

解密高考④　立体几何问题重在“建”——建模、建系 ‎————[思维导图]————‎ ‎————[技法指津]————‎ 立体几何解答题建模、建系策略 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系．‎ ‎(1)建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距离等的计算模型；‎ ‎(2)建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．‎ 母题示例：2019年全国卷Ⅲ，本小题满分12分 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.‎ 图1　　　　图2‎ ‎(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；‎ ‎(2)求图2中的二面角BCGA的大小.‎ 本题考查：线线平行的性质，面面垂直的判定、二面角的求法等知识，转化化归及推理论证等能力，直观形象、数学运算、逻辑推理等核心素养.‎ ‎[审题指导·发掘条件]‎ 看到图形的折叠，想到折叠前后的不变量；看到证明四点共面，想到直线的平行或相交；看到证明面面垂直，想到先证明线面垂直；看到求二面角，想到法向量；缺相应点的坐标，借助(1)的结论及边长、角度等信息补建坐标系及相应点的坐标．‎ ‎[构建模板·五步解法]　立体几何类问题的求解策略 第一步 找垂直 第二步 写坐标 第三步 求向量 第四步 求夹角 第五步 得结论 找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线 建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标 求直线的方向向量或平面的法向量 计算向量的夹角 得到所求两个平面所成的角或直线与平面所成的角 母题突破：2019年大连模拟，本小题满分12分 ‎1.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，‎ EF∥AC，EF＝1，∠ABC＝60°，CE⊥平面ABCD，CE＝，CD＝2，G是DE的中点．‎ ‎(1)求证：平面ACG∥平面BEF；‎ ‎(2)求直线AD与平面ABF所成的角的正弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：连接BD交AC于O，则O是BD的中点，连接OG，∵G是DE的中点，故OG∥BE，又BE平面BEF，OG平面BEF，‎ 所以OG∥平面BEF. 2分 又EF∥AC，AC平面BEF，EF平面BEF，所以AC∥平面BEF，又AC∩OG＝O，AC，OG平面ACG，所以平面ACG∥平面BEF. 4分 ‎(2)连接OF，由题意可得OC＝1，即OC＝EF，‎ 又EF∥AC，所以四边形OCEF为平行四边形，‎ 所以OF∥EC，OF＝EC＝，‎ 所以OF⊥平面ABCD，所以OF，OC，OD两两垂直. 6分 如图，以O为坐标原点，分别以OC，OD，OF所在直线为x，y，‎ z轴建立空间直角坐标系，则A(－1,0,0)，B(0，－，0)，D(0，，0)，F(0,0，)，＝(1，，0)，＝(1，－，0)，＝(1,0，). 7分 设平面ABF的法向量为m＝(a，b，c)，依题意有 即 9分 令a＝，则b＝1，c＝－1，m＝(，1，－1)，‎ ‎|cos〈，m〉|＝＝＝， 11分 所以直线AD与平面ABF所成的角的正弦值是. 12分 ‎2.(2019·太原模拟)在三棱柱ABCA′B′C′中，AB＝BC＝CA＝AA′，侧面ACC′A′⊥底面ABC，D是棱BB ‎′的中点．‎ ‎(1)求证：平面DA′C⊥平面ACC′A′；‎ ‎(2)若∠A′AC＝60°，求二面角ABCB′的余弦值．‎ ‎[解](1)取AC，A′C′的中点O，F，连接OF与A′C交于点E，连接DE，OB，B′F.‎ 则E为OF的中点，因为三棱柱ABCA′B′C′， 所以OF∥AA′∥BB′，且OF＝AA′＝BB′，‎ 所以四边形BB′FO是平行四边形. 2分 又D是棱BB′的中点，所以DE∥OB.‎ 因为侧面AA′C′C⊥底面ABC，且OB⊥AC，‎ 所以OB⊥平面ACC′A′，‎ 所以DE⊥平面ACC′A′，‎ 又DE平面DA′C，‎ 所以平面DA′C⊥平面ACC′A′. 5分 ‎(2)连接A′O，因为∠A′AC＝60°，所以△A′AC是等边三角形，故A′O⊥底面ABC.6分 设AB＝BC＝CA＝AA′＝2，可得A′O＝OB＝，‎ 分别以OB，OC，OA′分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，‎ 则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A′(0,0，)，‎ ＝(－，1,0)，＝＝(0,1，). 8分 设平面BCC′B′的一个法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则m·＝0，m·＝0，‎ 所以取x＝1，y＝，z＝－1，‎ 所以m＝(1，，－1).10分 又平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)，故cos〈m，n〉＝＝－， 11分 因为二面角ABCB′为钝角，所以其余弦值为－. 12分