【物理】2019届一轮复习人教版 运动图象 追及、相遇问题学案

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【物理】2019届一轮复习人教版 运动图象 追及、相遇问题学案

题型探究课 运动图象 追及、相遇问题 ‎ 运动图象问题的应用[学生用书P8]‎ ‎【题型解读】‎ 运动学图象主要有x-t、v-t、a-t图象,应用图象解题时主要看图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素:‎ 一般意义 x-t图象 v-t图象 a-t图象 轴 图象描述哪两个物理量之间的关系 纵轴—位移 横轴—时间 纵轴—速度 横轴—时间 纵轴—加速度 横轴—时间 线 表示物理量y随物理量x的变化过程和规律 运动物体的位移与时间的关系 运动物体的速度与时间的关系 运动物体的加速度与时间的关系 斜率 k=,定性表示y随x变化的快慢 某点的斜率表示该点的瞬时速度 某点的斜率表示该点的加速度 某点的斜率表示该点加速度的变化率 点 两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等 两线交点表示两物体相遇 两线交点表示两物体该时刻速度相同 两线交点表示两物体该时刻加速度相同 面积 图线和时间轴所围的面积,也往往代表一个物理量,这要看两物理量的乘积有无意义 无意义 图线和时间轴所围的面积,表示物体运动的位移 图线和时间轴所围的面积,表示物体的速度变化量 截距 图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况 在纵轴上的截距表示t=0时的位移 在纵轴上的截距表示t=0时的速度 在纵轴上的截距表示t=0时的加速度 ‎【典题例析】‎ ‎ ‎ ‎(多选)(2016·高考全国卷Ⅰ)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图象如图所示.已知两车在t=3 s时并排行驶,则( )‎ A.在t=1 s时,甲车在乙车后 B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m ‎[审题指导] 由图象中的斜率、面积分别可得甲、乙两车运动时的加速度、位移等运动信息,再根据3 s时并排寻找两车间的相对运动情况,从而解决问题.‎ ‎[解析] 根据题述,两车在t=3 s时并排行驶,由图线与横轴所围面积表示位移可知,在t=1 s时,甲车和乙车并排行驶,选项A、C错误.由图象可知,在t=1 s时甲车速度为10 m/s,乙车速度为15 m/s,0~1 s时间内,甲车行驶位移为x1=5 m,乙车行驶位移为x2=12.5 m,所以在t=0时,甲车在乙车前7.5 m,选项B正确.从t=1 s到t=3 s,甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为x=×(10+30)×2 m=40 m,选项D正确.‎ ‎[答案] BD ‎【迁移题组】‎ ‎ 迁移1 x-t图象 ‎1.甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动,前1小时内的位移-时间图象如图所示.下列表述正确的是( )‎ A.0.2~0.5小时内,甲的加速度比乙的大 B.0.2~0.5小时内,甲的速度比乙的大 C.0.6~0.8小时内,甲的位移比乙的小 D.0.8小时内,甲、乙骑行的路程相等 解析:选B.在0.2~0.5小时内,位移-时间图象是倾斜的直线,则物体做匀速直线运动,所以在0.2~0.5小时内,甲、乙两人的加速度都为零,选项A 错误;位移-时间图象的斜率绝对值大小反映了物体运动速度的大小,斜率绝对值越大,速度越大,故0.2~0.5小时内甲的速度大于乙的速度,选项B正确;由位移-时间图象可知,0.6~0.8小时内甲的位移大于乙的位移,选项C错误;由位移-时间图象可知,0.8小时内甲、乙往返运动过程中,甲运动的路程大于乙运动的路程,选项D错误.‎ ‎ 迁移2 v-t图象 ‎2.(多选)如图所示为一个质点做直线运动的v-t图象,则下列说法中正确的是( )‎ A.质点在0~5 s内的位移为5 m B.质点在整个运动过程中,10~12 s内的加速度最大 C.质点在10 s末离出发点最远 D.质点在8~12 s内的平均速度为4 m/s 解析:选AB.根据速度图象中图线与时间轴所围的面积表示位移可知,质点在0~5 s内的位移x=×2×5 m=5 m,选项A正确;由v-t图象的斜率表示加速度可知,0~5 s内的加速度大小a1= m/s2,8~10 s内的加速度大小a2= m/s2=2 m/s2,10~12 s内的加速度大小a3=6 m/s2,所以质点在整个运动过程中,10~12 s内的加速度最大,选项B正确;质点在11 s末离出发点最远,选项C错误;质点在8~12 s内的位移x=8 m,平均速度为= m/s=2 m/s,选项D错误.‎ ‎ 迁移3 a-t图象 ‎3.一辆摩托车在t=0时刻由静止开始在平直的公路上行驶,其运动过程的a-t图象如图所示,根据已知信息,可知( )‎ A.摩托车的最大动能 B.摩托车在30 s末的速度大小 C.在0~30 s的时间内牵引力对摩托车做的功 D.10 s末摩托车开始反向运动 解析:选B.由图可知,摩托车在0~10 s内做匀加速运动,在10~30 s内做减速运动,故10 s末速度最大,动能最大,由v=at可求出最大速度,但摩托车的质量未知,‎ 故不能求最大动能,A错误;根据a-t图线与t轴所围的面积表示速度变化量,可求出30 s内速度的变化量,由于初速度为0,则可求摩托车在30 s末的速度大小,B正确;在10~30 s内牵引力是变力,由于不能求出位移,故不能求出牵引力对摩托车做的功,C错误;由图线与时间轴围成的面积表示速度变化量可知,30 s内速度变化量为零,所以摩托车一直沿同一方向运动,D错误.‎ ‎ 迁移4 非常规运动图象 ‎4.(多选)‎ 一个物体沿直线运动,从t=0时刻开始,物体的-t的图象如图所示,图线与纵横坐标轴的交点分别为0.5 m/s和-1 s,由此可知( )‎ A.物体做匀加速直线运动 B.物体做变加速直线运动 C.物体的初速度大小为0.5 m/s D.物体的初速度大小为1 m/s 解析:选AC.图线的斜率为0.5 m/s2、纵截距为0.5 m/s.由位移公式x=v0t+at2两边除以对应运动时间t为=v0+at,可得纵截距的物理意义为物体运动的初速度,斜率的物理意义为物体加速度的一半.所以物体做初速度为v0=0.5 m/s,加速度大小为a=1 m/s2的匀加速直线运动.‎ ‎(1)图象问题常见的是x-t和v-t图象,在处理特殊图象的相关问题时,可以把处理常见图象的思想以及方法加以迁移,通过物理情境遵循的规律,从图象中提取有用的信息,根据相应的物理规律或物理公式解答相关问题.处理图象问题可参考如下操作流程:‎ ‎(2)处理特殊图象的问题时,在必要时可将该图象所反映的物理过程转换为常见的x-t或v-t图象进行处理. ‎ ‎ 对追及、相遇问题的分析[学生用书P9]‎ ‎【题型解读】‎ ‎1.方法概述 ‎(1)临界法:寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.‎ ‎(2)函数法:设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇.‎ ‎(3)图象法:①若用位移图象求解,分别作出两物体的位移图象,如果两物体的位移图象相交,则说明两物体相遇.②若用速度图象求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.‎ ‎2.追及、相遇问题常见情景 ‎(1)速度小者追速度大者 追及类型 图象描述 相关结论 匀加速 追匀速 设x0为开始时两物体间的距离,则应有下面结论:‎ ‎①t=t0以前,后面物体与前面物体间的距离增大 ‎②t=t0时,两物体相距最远,为x0+Δx ‎③t=t0以后,后面物体与前面物体间的距离减小 ‎④一定能追上且只能相遇一次 匀速追 匀减速 匀加速追 匀减速 ‎(2)速度大者追速度小者 追及类型 图象描述 相关结论 匀减速 追匀速 设x0为开始时两物体间的距离,开始追及时,后面物体与前面物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻:‎ ‎①若Δx=x0,则恰能追上,‎ 两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件 ‎②若Δxx0,则相遇两次,设t1时刻两物体第一次相遇,则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇 匀速追 匀加速 匀减速追 匀加速 ‎【典题例析】‎ ‎ 在水平轨道上有两列火车A和B相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同.要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件.‎ ‎[审题指导] 两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等.‎ ‎[解析] 法一:临界条件法 设两车运动速度相等时,所用时间为t,‎ 由v0-(2a)t=at得,t= ①‎ A车位移:xA=v0t-(2a)t2‎ B车位移:xB=at2‎ 两车不相撞的条件:xB+x≥xA 即:at2+x≥v0t-at2 ②‎ 联立①②得:v0≤.‎ 法二:二次函数极值法 设两车运动了时间t,则 xA=v0t-at2‎ xB=at2‎ 两车不相撞需要满足 Δx=xB+x-xA=at2-v0t+x≥0‎ 则Δxmin=≥0‎ 解得v0≤.‎ 法三:图象法 利用速度-时间图象求解,先作A、B两车的速度-时间图象,其图象如图所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有vt=v0-2at,‎ 对B车有vt=at 以上两式联立解得t= 经时间t两车发生的位移之差,即为原来两车间的距离x,它可用图中的阴影面积来表示,由图象可知x=v0t=v0·=,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.‎ 法四:相对运动法 巧选参考系求解.以B车为参考系,A车的初速度为v0,加速度为a′=-2a-a=-3a.A车追上B车且刚好不相撞的条件是:v=0,这一过程A车相对于B车的位移为x,由运动学公式v2-v=2ax得:‎ ‎02-v=2·(-3a)·x 所以v0=.‎ 故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.‎ ‎[答案] v0≤ ‎【跟进题组】‎ ‎1.(2018·贵州凯里高三模拟)一辆卡车以vB=10 m/s的初速度沿直线方向做匀减速直线运动,加速度的大小为a=2 m/s2,在其后方一辆小汽车以vA=4 m/s 的速度向相同方向做匀速直线运动,小汽车在卡车后方相距x0=7 m 处,从此时开始计时,求:‎ ‎(1)小汽车追上卡车前,两车间的最大距离d是多大?‎ ‎(2)经过多长时间小汽车追上卡车?‎ 解析:(1)设两车速度相等经历的时间为t1有:‎ vA=vB-at1‎ 汽车与卡车的最远距离d,有:‎ v-v=2axB1‎ xA1=vAt1‎ 两者间的最大距离为:‎ d=x0+xB1-xA1‎ 代入数据解得:d=16 m.‎ ‎(2)卡车速度减为零的时间为t2,有:‎ ‎0=vB-at2得:t2=5 s 卡车速度减为零的位移为:2axB=v 得xB=25 m 此时汽车的位移为:‎ xA=vAt2=4×5 m=20 m,‎ 因为xA<xB+x0,可知卡车速度减为零时,汽车还未追上卡车.‎ 还需追及的时间:t3=,得t3=3 s 则有:t=t2+t3=5 s+3 s=8 s.‎ 答案:见解析 ‎2.A车在直线公路上以20 m/s的速度匀速行驶,因大雾天气能见度低,当司机发现正前方有一辆静止的B车时,两车距离仅有76 m,A车司机立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动,加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点).‎ ‎(1)通过计算判断A能否撞上B车?若能,求A车从刹车开始到撞上B车的时间(假设B车一直静止);‎ ‎(2)为了避免碰撞,A车在刹车的同时,如果向B车发出信号,B车收到信号经Δt=2 s的反应时间才开始匀加速向前行驶,问:B车加速度a2至少为多大才能避免事故.‎ 解析:(1)设A车从刹车到停止所用的时间为t0、位移为x 由速度时间公式v0=a1t0‎ 解得t0=10 s 由速度位移关系有0-v=-2a1x 代入数据解得x=100 m>76 m,所以A车能撞上B车 设撞上B车的时间为t1,有x0=v0t1-a1t,其中x0=76 m 解得t1=(10-2) s,t′1=(10+2) s,‎ ‎(10+2) s大于10 s,故舍去 故时间为(10-2) s.‎ ‎(2)假设A车恰能追上B车,设B车运动时间为t,则A车运动时间为t+Δt,此时两车速度相等,即v0-a1(t+Δt)=a2t 解得t= 由位移关系xA=x0+xB 可知v0(t+Δt)-a1(t+Δt)2=x0+a2t2‎ 整理得a2= 解得a2=1.2 m/s2‎ 因此欲使A、B两车不相撞,B车的最小加速度为a2=1.2 m/s2.‎ 答案:见解析 ‎1.分析追及、相遇问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”‎ ‎(1)一个临界条件:速度相等.它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点.‎ ‎(2)两个等量关系:时间关系和位移关系,通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.‎ ‎2.能否追上的判断方法 ‎(1)做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A:开始时,两个物体相距x0.若vA=vB时,xA+x0xB,则不能追上.‎ ‎(2)数学判别式法:设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次;若Δ=0,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,说明追不上或不能相遇.‎ ‎3.注意三类追及、相遇情况 ‎(1)若被追赶的物体做匀减速运动,一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上.‎ ‎(2)若追赶者先做加速运动后做匀速运动,一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上.‎ ‎(3)判断是否追尾,是比较后面减速运动的物体与前面物体速度相等时的位置关系,而不是比较减速到0时的位置关系. ‎ ‎ [学生用书P11]‎ ‎1.甲、乙、丙三辆汽车同时以相同的速度v0经过某一路标,此后甲一直做匀速直线运动,乙先加速后减速,丙先减速后加速,它们经过下一个路标时的速度仍为v0,则( )‎ A.甲车先经过下一个路标 B.乙车先经过下一个路标 C.丙车先经过下一个路标 D.无法判断谁先经过下一个路标 解析:‎ 选B.由题意画出v-t图象如图所示,由于甲、乙、丙在此过程中位移相同,故由图可得乙车所用时间最短.‎ ‎2.‎ ‎(高考全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t=0到t=t1的时间内,它们的v-t图象如图所示.在这段时间内( )‎ A.汽车甲的平均速度比乙的大 B.汽车乙的平均速度等于 C.甲、乙两汽车的位移相同 D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大 解析:选A.根据v-t图象下方的面积表示位移,可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙,选项C错误;根据=得,汽车甲的平均速度甲大于汽车乙的平均速度乙,选项A正确;汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x,即汽车乙的平均速度小于,选项B错误;根据v-t图象的斜率大小反映了加速度的大小,因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小,选项D错误.‎ ‎3.(2018·济南调研)某同学欲估算飞机着陆时的速度,他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动,飞机在跑道上滑行的距离为x,从着陆到停下来所用的时间为t,实际上,飞机的速度越大,所受的阻力越大,则飞机着陆时的速度应是( )‎ A.v= B.v= C.v> D.<v< 解析:‎ 选C.由题意知,当飞机的速度减小时,所受的阻力减小,因而它的加速度会逐渐变小,画出相应的v-t图象大致如图所示.根据图象的意义可知,实线与坐标轴包围的面积为x,虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为:t.应有:t>x,所以v>,所以选项C正确.‎ ‎4.(2016·高考江苏卷)小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动.取小球的落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向.下列速度v和位置x的关系图象中,能描述该过程的是( )‎ 解析:选A.小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后能回到原高度,重复原来的过程,以落地点为原点,速度为零时,位移最大,速度最大时位移为零,设高度为h,则速度大小与位移的关系满足v2=2g(h-x),A项正确.‎ ‎5.(多选)(2018·江西上高高三月考)平直公路上行驶的a车和b车,其位移时间图象分别为图中直线a和曲线b,已知b车的加速度恒定且a=-2 m/s2,t=3 s时,直线a和曲线b刚好相切,下列说法正确的是( )‎ A.a车的速度是2 m/s B.t=3 s时,a、b两车的速度相等,相距最远 C.b车的初速度是8 m/s D.t=0 s时a车和b车之间的距离为9 m 解析:选ACD.x-t图象的斜率等于速度,由题图可知,a车的速度不变,做匀速直线运动,速度为:va= m/s=2 m/s,故A正确;t=3 s时,直线a和曲线b刚好相切,‎ 位置坐标相同,两车相遇.斜率相等,此时两车的速度相等,则t=3 s,b车的速度为:vb=va=2 m/s,设b车的初速度为v0,对b车,由v0+at=vb,解得:v0=8 m/s,故B错误,C正确;t=3 s时,a车的位移为:xa=vat=6 m,b车的位移为:xb=t=×3 m=15 m,t=3 s时,a车和b车到达同一位置,所以t=0时两车相距x0=xb-xa=9 m,故D正确.‎ ‎6.(2018·湖北八校联考)春节放假期间,全国高速公路免费通行,小轿车可以不停车通过收费站,但要求小轿车通过收费站窗口前x0=9 m区间的速度不超过v0=6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲=20 m/s和v乙=34 m/s的速度匀速行驶,甲车在前,乙车在后.甲车司机发现正前方收费站,开始以大小为a甲=2 m/s2的加速度匀减速刹车.‎ ‎(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章.‎ ‎(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s,乙车司机在发现甲车刹车时经t0=0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙=4 m/s2的加速度匀减速刹车.为避免两车相撞,且乙车在收费站窗口前9 m区不超速,则在甲车司机开始刹车时,甲、乙两车至少相距多远?‎ 解析:(1)对甲车,速度由20 m/s减至6 m/s过程中的位移x1==91 m x2=x0+x1=100 m 即:甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车.‎ ‎(2)设甲刹车后经时间t,甲、乙两车速度相同,由运动学公式得:v乙-a乙(t-t0)=v甲-a甲t,‎ 解得t=8 s 相同速度v=v甲-a甲t=4 m/s<6 m/s,即v=6 m/s的共同速度为不相撞的临界条件 乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为 x3=v乙t0+=157 m 所以要满足条件甲、乙的距离至少为x=x3-x1=66 m.‎ 答案:(1)100 m (2)66 m
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