中考数学一轮复习 图形的性质二 直线与圆的位置关系

中考数学一轮复习 图形的性质二 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系 第二十四讲 第五章　图形的性质 ( 二 ) 知识盘点 1 、直线与圆的位置关系与判定 2 、切线的判定与性质 3 、切线长定理及运用 4 、三角形的内切圆与圆的内接四边形的性质 1 ． 证直线为圆的切线的两种方法 (1) 若知道直 线 和 圆 有公共点 时 ， 常 连 接公共点和 圆 心 ， 证 明直 线 垂直半径； (2) 不知道直 线 和 圆 有公 共点 时 ， 常 过圆 心向直 线 作垂 线 ， 证 明垂 线 段的 长 等于 圆 的半径． 难点与易错点 2 ． 常见的辅助线 (1) 当已知条件中有切 线时 ， 常作 过 切点的半径 ， 利用切 线 的性 质 定理来解 题 ； (2) 遇到两条相交的切 线时 ( 切 线长 ) ， 常常 连 接切点和 圆 心、 连 接 圆 心和 圆 外的一点、 连 接两切点． C B 1 ． ( 2015 · 张家界 ) 如图 ， ∠ O ＝ 30° ， C 为 OB 上一点 ， 且 OC ＝ 6 ， 以点 C 为圆心 ， 半径为 3 的圆与 OA 的位置关系是 ( ) A ． 相离 B ．相交 C ． 相切 D ．以上三种情况均有可能 2 ． ( 2015 · 枣庄 ) 如图 ， 一个边长为 4 cm 的等边三角形 ABC 的高与⊙ O 的直径相等．⊙ O 与 BC 相切于点 C ， 与 AC 相交于点 E ， 则 CE 的长为 ( ) A ． 4 cm B ． 3 cm C ． 2 cm D ． 1.5 cm 夯实基础 B 3 ． ( 2015 · 黔西南州 ) 如图 ， 点 P 在⊙ O 外 ， PA ， PB 分别与⊙ O 相切于 A ， B 两点 ， ∠ P ＝ 50° ， 则∠ AOB 等于 ( ) A ． 150° B ． 130° C ． 155° D ． 135° C 4 ． ( 2015 · 厦门 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 是边 BC 的中点 ， 一个圆过点 A ， 交边 AB 于点 E ， 且与 BC 相切于点 D ， 则该圆的圆心是 ( ) A ． 线段 AE 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 B ． 线段 AB 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 C ． 线段 AE 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 D ． 线段 AB 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 5 ． ( 2015 · 重庆 ) 如图 ， AC 是⊙ O 的切线 ， 切点为 C ， BC 是⊙ O 的直径 ， AB 交⊙ O 于点 D ， 连接 O D . 若∠ BAC ＝ 55° ， 则∠ COD 的大小为 ( ) A ． 70° B ． 60° C ． 55° D ． 35° A 考点一：判断直线与圆的位置关系 【 例 1 】 　 (1) 如图 ， ⊙ O 的半径为 4 cm ， OA ⊥ OB ， OC ⊥ AB 于点 C ， OB ＝ 4 cm ， OA ＝ 2 cm ， 试说明 AB 是 ⊙ O 的切线． 典例探究 (2) 如图 ， 已知在△ OAB 中 ， OA ＝ OB ＝ 13 ， AB ＝ 24 ， ⊙ O 的半径长为 r ＝ 5. 判断直线 AB 与⊙ O 的位置关系 ， 并说明理由． 【 点评 】 　在判定直 线 与 圆 相切 时 ， 若直 线 与 圆 的公共点 已知 ，证题 方法是 “ 连 半径 ，证 垂直 ” ；若直 线 与 圆 的公共点未知 ，证题 方法是 “ 作垂 线 ，证 半径 ” ． 这 两种情况可概括 为 一句 话 ： “ 有交点 连 半径 ， 无交点作垂 线 ” ． [ 对应训练 ] 1 ． (1) ( 2015 · 齐齐哈尔 ) 如图 ， 两个同心圆 ， 大圆的半径为 5 ， 小圆的半径为 3 ， 若大圆的弦 AB 与小圆有公共点 ， 则弦 AB 的取值范围是 ( ) A ． 8≤ AB ≤10 B ． 8 ＜ AB ≤10 C ． 4≤ AB ≤5 D ． 4 ＜ AB ≤5 (2) ( 2014 · 西宁 ) ⊙O 的半径为 R ， 点 O 到直线 l 的距离为 d ， R ， d 是方程 x 2 － 4x ＋ m ＝ 0 的两根 ， 当直线 l 与⊙ O 相切时 ， m 的值为 ____ ． A 4 【 例 2 】 　 ( 2015 · 陕西 ) 如图 ， AB 是 ⊙ O 的直径 ， AC 是 ⊙ O 的弦 ， 过点 B 作 ⊙ O 的切线 DE ， 与 AC 的延长线交于点 D ， 作 AE ⊥ AC 交 DE 于点 E. (1) 求证： ∠ BAD ＝ ∠ E ； (2) 若 ⊙ O 的半径为 5 ， AC ＝ 8 ， 求 BE 的长． 考点二：圆的切线的性质 解： ( 1 ) 证明： ∵ AB 是 ⊙ O 的直径 ， AC 是 ⊙ O 的弦 ， 过点 B 作 ⊙ O 的切线 DE ， ∴∠ ABE ＝ 90 ° ， ∴∠ BAE ＋ ∠ E ＝ 90 ° ， ∵∠ DAE ＝ 90 ° ， ∴∠ BAD ＋ ∠ BAE ＝ 90 ° ， ∴∠ BAD ＝ ∠ E 　 【 点评 】 　本 题 主要考 查 了切 线 的性 质 和 应 用 ， 要熟 练 掌握切 线 的性 质 ： ① 圆 的切 线 垂直于 经过 切点的半径． ② 经过圆 心且垂直于切 线 的直 线 必 经过 切点． ③ 经过 切点且垂直于切 线 的直 线 必 经过圆 心． 【 例 3 】 　 ( 2015 · 湖州 ) 如图 ， 已知 BC 是⊙ O 的直径 ， AC 切⊙ O 于点 C ， AB 交⊙ O 于点 D ， E 为 AC 的中点 ， 连接 DE. (1) 若 AD ＝ DB ， OC ＝ 5 ， 求切线 AC 的长； (2) 求证： ED 是⊙ O 的切线． 解： ( 1 ) 解：连接 CD ， ∵ BC 是 ⊙ O 的直径 ， ∴∠ BDC ＝ 90 ° ， 即 CD⊥AB ， ∵ AD ＝ DB ， OC ＝ 5 ， ∴ CD 是 AB 的垂直平分线 ， ∴ AC ＝ BC ＝ 2OC ＝ 10 【 点评 】 　本 题 考 查 了切 线 的判定与性 质 ， 解 题 的关 键 是：熟 记 切 线 的判定定理与性 质 定理 ， 经过 半径的外端 ， 并且垂直于 这 条半径的直 线 是 圆 的切 线 ； 圆 的切 线 垂直于 过 切点的直 径． [ 对应训练 ] 3 ． ( 2015 · 巴中 ) 如图 ， AB 是 ⊙ O 的直径 ， OD ⊥ BC 于点 F ， 交 ⊙ O 于点 E ， 连接 CE ， AE ， CD ， 若 ∠ AEC ＝ ∠ ODC. (1) 求证：直线 CD 为 ⊙ O 的切线； (2) 若 AB ＝ 5 ， BC ＝ 4 ， 求线段 CD 的长． 审题视角 (1) 直 线 PC 与 ⊙ O 交于点 C ， 可以初步判定直 线 与 圆 相切或相交； (2) PA 切 ⊙ O 于点 A ， 根据切 线 的性 质 ， 可知 ∠ PAO ＝ 90° ， 连 接 CO ， 能 证 得 ∠ PCO ＝ ∠ PAO ＝ 90° ， PC 与 ⊙ O 相切；而后由 PC 是切 线 解得 PC 长． 考点四：与圆有关的综合问题 规范解题 解： (1) 直线 PC 与 ⊙ O 相切． 证明：连接 OC ， ∵ BC ∥ OP ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∠ 3 ＝ ∠ 4. ∵ OB ＝ OC ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 3 ， ∴∠ 2 ＝ ∠ 4. 又 ∵ OC ＝ OA ， OP ＝ OP ， ∴△ POC ≌△ POA ， ∴∠ PCO ＝ ∠ PAO . ∵ PA 切 ⊙ O 于点 A ， ∴∠ PAO ＝ 90° ， ∴∠ PCO ＝ 90° ， ∴ PC 与 ⊙ O 相切． 答题思路 第一步：探索可能的 结论 ， 假 设 符合要求的 结论 存在； 第二步：从条件出 发 ( 即假 设 ) 求解； 第三步：确定符合要求的 结论 存在或不存在； 第四步： 给 出明确 结 果； 第五步：反思回 顾 ， 查 看关 键 点 ， 易 错 点及答 题规 范． 试题 　在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， 若以 C 为圆心 ， R 为半径的圆与斜边 AB 只有一个公共点 ， 求 R 的值． 注意： 剖析 　当 ⊙ C 与 AB 相切 时 ， 只有一个交点 ， 同 时 要注意 AB 是 线 段 ， 当 圆 的半径 R 在一定范 围 内 时 ， 斜 边 AB 与 ⊙ C 相交且只有一个公共点．