2018年安徽省淮南市高考一模数学文

2018年安徽省淮南市高考一模数学文

2018 年安徽省淮南市高考一模数学文 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 2 aibi i (a，b∈R)，其中 i 是虚数单位，则 a+b=( ) A.-1 B.3 C.2 D.1 解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件计算得答案. ∵   2 22 2        i a iai ai b i ii ， ∴a=1，b=2. ∴a+b=3. 答案：B 2.已知集合 A={x|y= 23 xx}，B={y|y=2x，x＞1}，则 A∩B 为( ) A.[0，3] B.[3，+∞) C.[1，3] D.(2，3] 解析：求定义域和值域得出集合 A、B，根据交集的定义写出 A∩B. 集合 A={x|y= }={x|3x-x2≥0}={x|0≤x≤3}=[0，3]， B={y|y=2x，x＞1}={y|y＞2}=(2，+∞)； 则 A∩B=(2，3]. 答案：D 3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可 中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) A. B. C. D. 解析：根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则对应的面积最大即可. 要使中奖率增加，则对应的面积最大即可， 则根据几何概型的概率公式可得， A、概率 3 8 P ； B、概率 1 4 2 8 P ； C、概率 1 3 2 6 P ； D、概率 1 3 P ； 则概率最大的为 3 8 . 答案：A 4.已知函数 f(x)=sin(2x- 3 2  )(x∈R)，下列说法错误的是( ) A.函数 f(x)最小正周期是π B.函数 f(x)是偶函数 C.函数 f(x)在[0， 2  ]上是增函数 D.函数 f(x)图象关于( 4  ，0)对称 解析：根据正弦函数的性质依次判断各选项即可. 由函数 f(x)=sin(2x- )=cos2x(x∈R)，∴B 对； 其周期 T= 2 2  =π ，∴A 对； 令-π +2kπ ≤2x≤2kπ ，可得 kπ - 2  ≤x≤kπ ，k∈Z. ∴f(x)在[0， 2  ]上不是增函数；∴C 不对； 令 x= 4  ，则 f( 4  )=cos =0，∴函数 f(x)图象关于( ，0)对称，∴D 对. 答案：C 5.若实数 x，y 满足 10 0 2        ＞ xy x y ，则 1y x 的取值范围是( ) A.(0，3) B.[0，3] C.(3，+∞) D.[3，+∞) 解析：由约束条件 作出可行域如图， 联立 2 10      y xy ，解得 A(1，2)， 的几何意义为可行域内动点与定点 P(0，-1)连线的斜率， ∵ 12 3 01  PAk ， ∴ 的取值范围是[3，+∞). 答案：D 6.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度 h 随时间 t 变化 的可能图象是( ) A. B. C. D. 解析：由三视图，可知几何体是下部是已改圆台，上部是与下部相同倒放的圆台， 因为圆台下面粗，上面细，水面高度开始增加的慢，后来增加的快， 然后上面先快后慢.函数的图象是 C. 答案：C 7.执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模 拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 第一次执行循环体后，S= 1 2 ，m= 1 4 ，n=1，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= 1 4 ，m= 1 8 ，n=2，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= 1 8 ，m= 1 16 ，n=3，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= 1 16 ，m= 1 32 ，n=4，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= 1 32 ，m= 1 64 ，n=5，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= 1 64 ，m= 1 128 ，n=6，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= 1 128 ，m= 1 256 ，n=7，满足退出循环的条件； 故输出的 n 值为 7. 答案：C 8.函数 ln  xx y x 的图象是( ) A. B. C. D. 解析：利用函数的奇偶性排除选项，特殊点的位置判断即可. 函数 是奇函数，排除 A，C； 当 x= 1 2 时，y=ln 1 2 ＜0，对应点在第四象限，排除 D. 答案：B 9.△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b=c，a2=2b2(1-sinA)，则 A=( ) A. 3 4  B. 3  C. 4  D. 6  解析：利用余弦定理，建立方程关系得到 1-cosA=1-sinA，即 sinA=cosA，进行求解即可. ∵b=c， ∴a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA=2b2(1-cosA)， ∵a2=2b2(1-sinA)， ∴1-cosA=1-sinA， 则 sinA=cosA，即 tanA=1， 即 A= 4  . 答案：C 10.设 F 为抛物线 C：y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐 标原点，则△OAB 的面积为( ) A. 33 4 B. 93 8 C. 63 32 D. 9 4 解析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过 A，B 两点的直线方 程，和抛物线方程联立后化为关于 y 的一元二次方程，由根与系数关系得到 A，B 两点纵坐 标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形 AOF 与 BOF 的面积和得答案. 由 y2=2px，得 2p=3，p= 3 2 ， 则 F( 3 4 ，0). ∴过 A，B 的直线方程为 33 34   xy ， 即 33 4 xy. 联立 2 33 3 4      xy yx ，得 4y2-12 3 y-9=0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1+y2=3 3 ，y1y2= 9 4  . ∴     22 1 2 1 2 1 2 1 3 3 3 9 2 4 8 8 4 4 3 3 9           V V VO AB O AF O FBS S S y y y y y y . 答案：D 11.已知 G 是△ABC 的重心，过点 G 作直线 MN 与 AB，AC 交于点 M，N，且  uuur uuur AM x AB ，  uuur uuur AN y AC ，(x，y＞0)，则 3x+y 的最小值是( ) A. 8 3 B. 7 2 C. 5 2 D. 4 3 2 3 3  解析：设 BC 的中点为 D，则 2 1 1 1 3 3 3 3 1 3      uuur uuur uuur uuur uuur uuur AG AD AB AC AM AN xy ， ∵M，G，N 三点共线，故 1 3 1 3 1  xy . ∴   1 4 4 43 3 2 3 3 3 1 1 2 3 33333             yxx y x y x y x y . 当且仅当 3 yx xy 时，即 13 39  x 时取等号. 答案：D 12.已知函数    3o11 2 lg     x f x x 有两个零点 x1，x2，则( ) A.x1·x2＜x1+x2 B.x1·x2＜1 C.x1·x2=x1+x2 D.x1·x2＞x1+x2 解析：如图所示： 由对数函数的定义知所给函数的定义域是(1，+∞)，因为 f( 3 2 )＞0，f(2)＜0，f(4)＞0， 由零点存在性定理知在区间( 3 2 ，2)，(2，4)分别存在零点，记为 x1，x2，不妨设 x1＜x2， 可以得到 1＜x1＜2＜x2， 又由     1 1 3 1log 110 2       x f x x ，     2 2 3 2log 110 2       x f x x ， 得   1 31 1 2 log 1    x x ，   2 32 1 2 log 1    x x ， 两式相减得     21 3 2 3 1log 1 log 1 22 101              ＜ xx xx ， 即：log3(x2-1)-log3(x1-1)＜0， 故(x2-1)(x1-1)＜1，解得 x1·x2＜x1+x2. 答案：A 二、填空题(本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分) 13.若 A={x|ax2-ax+1≤0，x∈R}=∅，则 a 的取值范围是 . 解析：∵A={x|ax2-ax+1≤0，x∈R}=∅， ∴a=0 或   2 0 40     V ＞ ＜ a aa ， 解得 0≤a＜4. ∴a 的取值范围是[0，4). 答案：[0，4) 14.《九章算术》“竹九节”问题：现有 1 根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第五节的容积为 . 解析：设第九节容积为 a1， ∵自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升， ∴ 1 2 3 4 1 9 8 7 1 4 6 3 3 21 4             a a a a a d a a a a d ， 解得 1 13 22 a ， 7 66 d ， ∴第五节的容积为 51 13 7 6744 22 66 66     a a d . 答案： 67 66 15.已知函数   1 2 1 1   xf x e x ，则使得 f(x)＞f(2x-1)成立的 x 的取值范围是 . 解析：首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去 f 符号计算自变量的取值范围即可. 由函数的解析式可得函数为偶函数，且当 x≥0 时：   1 2 1 1   xf x e x ，     1 22 2 0 1     ＞x xf x e x ， 即函数 f(x)是在区间[0，+∞)上单调递增的偶函数， 不等式 f(x)＞f(2x-1)成立，则：|x|＞|2x-1|，即：x2＞(2x-1)2， 求解二次不等式可得 x 的取值范围是( 1 3 ，1). 答案：( 1 3 ，1) 16.过动点 P 作圆：(x-3)2+(y-4)2=1 的切线 PQ，其中 Q 为切点，若|PQ|=|PO|(O 为坐标原点)， 则|PQ|的最小值是 . 解析：根据题意，设 P 的坐标为(m，n)，圆(x-3)2+(y-4)2=1 的圆心为 N，由圆的切线的性质 可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1 ， 结 合 题 意 可 得 |PN|2=|PO|2+1 ， 代 入 点 的 坐 标 可 得 (m-3)2+(n-4)2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，可得 P 的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点 O 到直线 6x+8y=24 的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案. 根据题意，设 P 的坐标为(m，n)，圆(x-3)2+(y-4)2=1 的圆心为 N，则 N(3，4)， PQ 为圆(x-3)2+(y-4)2=1 的切线，则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1， 又由|PQ|=|PO|， 则有|PN|2=|PO|2+1， 即(m-3)2+(n-4)2=m2+n2+1， 变形可得：6m+8n=24， 即 P 在直线 6x+8y=24 上， 则|PQ|的最小值即点 O 到直线 6x+8y=24 的距离， 且 22 6 0 8 0 24 12 568       d ； 即|PQ|的最小值是12 5 . 答案：12 5 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，第 17~21 题为必考题，每小题 12 分，第 22、23 题为选考题，有 10 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列{an}为等差数列，且 a3=5，a5=9，数列{bn}的前 n 项和为 21 33 nnSb. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式. 解析：(1)利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出 an=1+(n-1)×2=2n-1.由数列 {an}的前 n 项和为 ，求出{bn}是首项为 1，公比为-2 的等比数列，由此能求出 bn=(-2)n-1. 答案：(1)∵数列{an}为等差数列，且 a3=5，a5=9， ∴ 5395 2 5 3 2     aad ， ∴a1=a3-2d=5-4=1， ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. ∵数列{bn}的前 n 项和为 . ∴n=1 时， 11 21 33 Sb，由 S1=b1，解得 b1=1， 当 n≥2 时， 11 22 33   n n n n nb S S b b ， ∴bn=-2bn-1， ∴{bn}是首项为 1，公比为-2 的等比数列， ∴bn=(-2)n-1. (2)设 cn=an|bn|，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解析：(2)由 cn=an|bn|=(2n-1)·2n-1，利用错位相减法能求出数列{cn}的前 n 项和. 答案：(2)cn=an|bn|=(2n-1)·2n-1， ∴数列{cn}的前 n 项和： Tn=1×1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1， 2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n， 两式相减，得： -Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n =1+2× 22 12   n -(2n-1)·2n =1+2n+1-4-(2n-1)·2n =-3+(3-2n)·2n， ∴Tn=(2n-3)·2n+3. 18.如图所示，正四棱椎 P-ABCD 中，底面 ABCD 的边长为 2，侧棱长为 2 2 ，E 为 PD 的中点. (1)求证：PB∥平面 AEC. 解析：(1)设 BD 交 AC 于 O，连接 OE，由三角形中位线定理可得 OE∥PB，再由线面平行的判 定可得 PB∥平面 AEC. 答案：(1)证明：设 BD 交 AC 于 O，连接 OE，则 在三角形 BDP 中，O、E 分别为 BD、PD 的中点， ∴OE∥PB， 又 OE  平面 AEC，PB 平面 AEC， ∴PB∥平面 AEC. (2)若 F 为 PA 上的一点，且 3PF FA ，求三棱椎 A-BDF 的体积. 解析：(2)求出 PO，结合已知可得 F 到平面 ABD 的距离为 1 4 PO，然后利用等积法求三棱椎 A-BDF 的体积. 答案：(2)由已知可得， 226  PO PD O D . 又 PO⊥平面 ABCD，且 3PF FA ， ∴F 到平面 ABD 的距离为 PO. ∴ 1 1 1 1 1 3 4 3 6 64 22 2 6              VA BDF F ABD ABDV V S PO . 19.某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生的 课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)将学 生日均课外体育运动时间在[40，60)上的学生评价为“课外体育达标”. (1)请根据上述表格中的统计数据填写下面 2×2 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的 概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 解 析 ： (1) 根 据 题 意 ， 由 由 频 率 分 布 表 可 得 2 × 2 列 联 表 ， 计 算 K2 可得  2 2 200 60 20 30 90 6.061 6.635 150 50 90 110       ＜K ，由独立性检验的意义分析可得答案. 答案：(1)根据题意，由频率分布表可得： 则   2 2 200 60 20 30 90 6.061 6.635 150 50 90 110       ＜K ， 顾在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关. (2)从上述 200 名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取 4 人得 到一个样本，再从这个样本中抽取 2 人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率. 参考公式：           2 2       n ad bc K a b c d a c b d ，其中 n=a+b+c+d. 参考数据： 解析：(2)根据题意，样本中“课外体育不达标”有 3 人，分别记为 a、b、c，“课外体育达 标”的有 1 人，记为 1；列举从 4 名学生中任意选出 2 人以及恰好抽到一名“课外体育不达 标”学生的情况，由古典概型的计算公式计算可得答案. 答案：(2)根据题意，样本中“课外体育不达标”有 3 人，分别记为 a、b、c，“课外体育达 标”的有 1 人，记为 1； 从 4 名学生中任意选出 2 人，有 ab、ac、a1、bc、b1、c1，共 6 种情况， 其中恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的情况有：a1、b1、c1，共 3 种情况， 则恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率 1 2 3 6 P . 20.椭圆 C： 22 221xy ab (a＞b＞0)的左顶点为 A，右焦点为 F，上顶点为 B，下顶点为 C， 若直线 AB 与直线 CF 的交点为(3a，16). (1)求椭圆 C 的标准方程. 解析：(1)推导出直线 AB 的方程为 y= b a x+b，直线 CF 的方程为 y= b c x-b.把点(3a，16)分别 代入直线的方程 16 3 16 3 b ab a b ab c          ，b=4，且 3a=5c，由此能求出椭圆的标准方程. 答案：(1)由椭圆 C 的左顶点 A(-a，0)，上下顶点坐标为 B(0，b)，C(0，-b)， 右焦点为 F(c，0)，则直线 AB 的方程为 y= x+b， 直线 CF 的方程为 y= b c x-b. 又∵直线 AB 与直线 CF 的交点为(3a，16)， 把点(3a，16)分别代入直线的方程 16 3 16 3 b ab a b ab c          ， 解得 b=4，且 3a=5c， 又∵a2=b2+c2，解得 a=5， ∴椭圆的标准方程为 22 1 25 16 xy. (2)点 P(m，0)为椭圆 C 的长轴上的一个动点，过点 P 且斜率为 4 5 的直线 l 交椭圆 C 于 S，T 两点，证明：|PS|2+|PT|2 为定值. 解析：(2)设直线的方程为 x= 5 4 y+m，代入 ，得：25y2+20my+8(m2-25)=0，由此 利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能证明 PS|2+|PT|2 是定值. 答案：(2)设直线的方程为 x= y+m，代入 ， 并整理得：25y2+20my+8(m2-25)=0， 设 S(x1，y1)，T(x2，y2)，则 y1+y2= 4 5  m，y1y2=  28 25 25 m  ， 又∵|PS|2=(x1-m)2+y1 2= 41 16 y1 2， 同理，|PT|2= y2 2， 则      22 22 222 1 2 1 2 1 2 16 2541 41 41 42 41 16 16 16 5 25 mmPS PT y y y y y y              ， ∴|PS|2+|PT|2 是定值. 21.已知函数 f(x)=x2-lnx. (1)求函数 f(x)在点(1，f(1))处的切线方程. 解析：(1)首先求得切点坐标，然后求解切线的斜率即可求得切线方程. 答案：(1)由题意可得：f(1)=1，且：f′(x)=2x- 1 x ，f′(1)=2-1=1， 则所求切线方程为 y-1=1×(x-1)，即 y=x. (2)在函数 f(x)=x2-lnx 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切 点的横坐标都在区间[ 1 2 ，1]上.若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由. 解析：(2)由题意结合导函数研究函数的切线，结合导函数的单调性和值域即可求得最终结 果. 答案：(2)设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，x1，x2∈[ 1 2 ，1]，不妨设 x1＜x2， 结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得： 12 12 112 2 1xx xx                 ， 函数 f(x)=2x- 在区间[ ，1]上单调递增，函数的值域为[-1，1]，故： 12 12 111 2 2 1xx xx     ＜ ，据此有： 1 1 2 2 121 121 x x x x         ， 解得： 1 2 1 1 2 x x      或 1 2 1 1 2 x x       (舍去)， 故存在两点( 1 2 ，ln2+ 1 4 )，(1，1)即为所求. 选做题：请在 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所 做的第一个题目计分. [选修 4-4：坐标系与参数方程选讲] 22.已知曲线 C1 的参数方程为 4 5 cos 5 5 sin xt yt    (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2sinθ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程. 解析：(1)曲线 C1 的参数方程消去参数 t，得到普通方程，再由 cos sin x y      ，能求出 C1 的 极坐标方程. 答案：(1)将 4 5 cos 5 5 sin xt yt    ，消去参数 t，化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25， 即 C1：x2+y2-8x-10y+16=0， 将 代入 x2+y2-8x-10y+16=0， 得ρ 2-8ρ cosθ -10ρ sinθ +16=0. ∴C1 的极坐标方程为ρ 2-8ρ cosθ -10ρ sinθ +16=0. (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0，0≤θ ＜2π ). 解析：(2)曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程，与 C1 的普通方程联立，求出 C1 与 C2 交 点的直角坐标，由此能求出 C1 与 C2 交点的极坐标. 答案：(2)∵曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2sinθ . ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0， 联立 22 22 8 10 16 0 20 x y x y x y y           ， 解得 1 1 x y    或 0 2 x y    ， ∴C1 与 C2 交点的极坐标为( 2 ， 4  )和(2， 2  ). [选修 4-5：不等式选讲] 23.设函数 f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数 y=f(x)的图象. 解析：(1)取得绝对值符号，得到分段函数，然后画出函数的图象. 答案：(1)由于   2 5 2 2 3 2 xx fx xx     ， ＜ ， ，则 y=f(x)的图象如图所示： (2)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围. 解析：(2)利用函数的图象，转化求解 a 的范围即可. 答案：(2)由函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象可知，当且仅当 a≥ 1 2 或 a＜-2 时， 函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象有交点， 故不等式 f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取值范围是(-∞，-2)∪[ 1 2 ，+∞).