高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.2.1 几个常用函数的导数

高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.2.1 几个常用函数的导数

1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的 运算法则(一) [学习目标] 1．能根据定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1 x ，y＝ x的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． [知识链接] 在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用 导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数 在某点处导数的方法，如何用定义求函数 y＝f(x)的导数？ 答 (1)计算Δy Δx ，并化简； (2)观察当Δx 趋近于 0 时，Δy Δx 趋近于哪个定值； (3)Δy Δx 趋近于的定值就是函数 y＝f(x)的导数． [预习导引] 1．几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1 x f′(x)＝－1 x2 f(x)＝ x f′(x)＝ 1 2 x 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a>0，且 a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ 1 xln a(a>0，且 a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝1 x 要点一 利用导数定义求函数的导数 例 1 用导数的定义求函数 f(x)＝2 013x2 的导数． 解 f′(x)＝limΔx→0 2 013x＋Δx2－2 013x2 x＋Δx－x ＝limΔx→0 2 013[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2 013x2 Δx ＝limΔx→0 4 026x·Δx＋2 013Δx2 Δx ＝limΔx→0 (4 026x＋2 013Δx) ＝4 026x. 规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于 0 时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于 0. (3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练 1 用导数的定义求函数 y＝x2＋ax＋b(a，b 为常数)的导数． 解 y′＝limΔx→0 x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b Δx ＝limΔx→0 x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b Δx ＝limΔx→0 2x·Δx＋a·Δx＋Δx2 Δx ＝limΔx→0 (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. 要点二 利用导数公式求函数的导数 例 2 求下列函数的导数 (1)y＝sin π 3 ；(2)y＝5x；(3)y＝1 x3 ；(4)y＝4 x3；(5)y＝log3x. 解 (1)y′＝0； (2)y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y′＝(x－3)′＝－3x－4； (4)y′＝ 4 x3 ′＝ x3 4 ′＝3 4x－1 4 ＝ 3 44 x ； (5)y′＝(log3x)′＝ 1 xln 3. 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题 的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪演练 2 求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝ 1 2 x；(3)y＝x x；(4)y＝log1 3x. 解 (1)y′＝8x7； (2)y′＝ 1 2 xln 1 2 ＝－ 1 2 xln 2； (3)∵y＝x x＝x3 2 ，∴y′＝3 2x1 2 ； (4) y′＝ 1 xln 1 3 ＝－ 1 xln 3. 要点三 利用导数公式求曲线的切线方程 例 3 求过曲线 y＝sin x 上点 P π 6 ，1 2 且与过这点的切线垂直的直线方程． 解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x， 曲线在点 P π 6 ，1 2 处的切线斜率是： y′|x＝π 6 ＝cosπ 6 ＝ 3 2 . ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为－ 2 3 ， 故所求的直线方程为 y－1 2 ＝－ 2 3 x－π 6 ， 即 2x＋ 3y－ 3 2 －π 3 ＝0. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率 乘积等于－1 是解题的关键． 跟踪演练 3 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，求与直线 PQ 平 行的曲线 y＝x2 的切线方程． 解 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又∵PQ 的斜率为 k＝4－1 2＋1 ＝1，而切线平行于 PQ， ∴k＝2x0＝1，即 x0＝1 2 ，所以切点为 M 1 2 ，1 4 . ∴所求的切线方程为 y－1 4 ＝x－1 2 ，即 4x－4y－1＝0. 1．已知 f(x)＝x2，则 f′(3)＝( ) A．0 B．2x C．6 D．9 答案 C 解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6. 2．函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( ) A. 3 6 B．0 C． 1 2 x D． 3 2 答案 A 解析 ∵f′(x)＝( x)′＝ 1 2 x ，∴f′(3)＝ 1 2 3 ＝ 3 6 . 3．设正弦曲线 y＝sin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾 斜角的范围是( ) A. 0，π 4 ∪ 3π 4 ，π B．[0，π) C． π 4 ，3π 4 D．0，π 4 ∪ π 2 ，3π 4 答案 A 解析 ∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1， ∴αl∈ 0，π 4 ∪ 3π 4 ，π . 4．曲线 y＝ex 在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 1 2e2 解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为 y－e2＝e2(x－2)， 即 y＝e2x－e2.当 x＝0 时，y＝－e2，当 y＝0 时，x＝1. ∴S△＝1 2 ×1×|－e2|＝1 2e2. 1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和 运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导． 如求 y＝1－2sin2 x 2 的导数．因为 y＝1－2sin2x 2 ＝cos x， 所以 y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化. 一、基础达标 1．下列结论中正确的个数为( ) ①y＝ln 2，则 y′＝1 2 ；②y＝1 x2 ，则 y′|x＝3＝－ 2 27 ；③y＝2x，则 y′＝2xln 2；④ y＝log2x，则 y′＝ 1 xln 2. A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D 解析 ①y＝ln 2 为常数，所以 y′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线 y＝1 x 上一点 P 的切线的斜率为－4，则点 P 的坐标为( ) A. 1 2 ，2 B ． 1 2 ，2 或 －1 2 ，－2 C． －1 2 ，－2 D． 1 2 ，－2 答案 B 解析 y′＝ 1 x ′＝－1 x2 ＝－4，x＝±1 2 ，故选 B. 3．已知 f(x)＝xa，若 f′(－1)＝－4，则 a 的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案 A 解析 f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4. 4．函数 f(x)＝x3 的斜率等于 1 的切线有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．不确定 答案 B 解析 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则 3x20＝1，得 x0＝± 3 3 ，即在点 3 3 ， 3 9 和点 － 3 3 ，－ 3 9 处有斜率为 1 的切线． 5．曲线 y＝9 x 在点 M(3,3)处的切线方程是________． 答案 x＋y－6＝0 解析 ∵y′＝－9 x2 ，∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1 的切线方程为： y－3＝－(x－3)即 x＋y－6＝0. 6．若曲线 y＝x－1 2 在点 a，a－1 2 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a＝________. 答案 64 解析 ∵y＝x－1 2 ，∴y′＝－1 2x－3 2 ， ∴曲线在点 a，a－1 2 处的切线斜率 k＝－1 2a－3 2 ， ∴切线方程为 y－a－1 2 ＝－1 2a－3 2(x－a)． 令 x＝0 得 y＝3 2a－1 2 ；令 y＝0 得 x＝3a. ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝1 2·3a·3 2a－1 2 ＝9 4a1 2 ＝18，∴a＝64. 7．求下列函数的导数： (1) y＝5 x3；(2)y＝1 x4 ；(3)y＝－2sin x 2 1－2cos2x 4 ； (4)y＝log2x2－log2x. 解 (1)y′＝ 5 x3 ′＝ x3 5 ′＝3 5x3 5 －1＝3 5x－2 5 ＝ 3 55 x2 . (2)y′＝ 1 x4 ′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4 x5. (3)∵y＝－2sinx 2 1－2cos2x 4 ＝2sin x 2 2cos2x 4 －1 ＝2sin x 2cos x 2 ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝ 1 x·ln 2. 二、能力提升 8．已知直线 y＝kx 是曲线 y＝ex 的切线，则实数 k 的值为( ) A.1 e B．－1 e C．－e D．e 答案 D 解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 y0＝kx0 y0＝ex0 k＝ex0. ∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e. 9．曲线 y＝ln x 在 x＝a 处的切线倾斜角为π 4 ，则 a＝________. 答案 1 解析 y′＝1 x ，∴y′|x＝a＝1 a ＝1，∴a＝1. 10．点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，则点 P 到直线 y＝x 的最小距离为________． 答案 2 2 解析 根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为 与 y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，即 y′|x＝x0＝ 1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，得 y0＝1，即 P(0,1)．利用点到直线的距离公式 得距离为 2 2 . 11．已知 f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合 f′(x)＋g′(x)≤0 的 x 的值． 解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x， ∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由 f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即 sin x≥1，但 sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋π 2 ，k∈Z. 12．已知抛物线 y＝x2，直线 x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y＝x2 的切线，对应的切点到 直线 x－y－2＝0 的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则 y′|x＝x0＝2x0＝1， 所以 x0＝1 2 ，所以切点坐标为 1 2 ，1 4 ， 切点到直线 x－y－2＝0 的距离 d＝|1 2 －1 4 －2| 2 ＝7 2 8 ， 所以抛物线上的点到直线 x－y－2＝0 的最短距离为7 2 8 . 三、探究与创新 13．设 f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N， 试求 f2 014(x)． 解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为 4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x． 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) [学习目标] 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的 导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接] 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做 起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求 f(x)＝5 和 g(x)＝1.05x 等基 本初等函数的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则 法则 语言叙述 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或 差) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函 数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 fx gx ′＝f′xgx－fx·g′x [gx]2 (g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘 上分母的导数，再除以分母的平方 2．复合函数的求导法则 复合函数 的概念 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数， 那么称这个函数为 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)) 复合函数的求导法则 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1) y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x. 解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1. (3)函数 y＝3x－lg x 是函数 f(x)＝3x 与函数 g(x)＝lg x 的差．由导数公式表分别得 出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝ 1 xln 10 ，利用函数差的求导法则可得 (3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－ 1 xln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系 基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转 化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练 1 求下列函数的导数： (1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－1 x2. 解 (1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； (3)y′＝ex x ＋ex·ln x； (4)y′＝ 1 xln 10 ＋2 x3. 要点二 求复合函数的导数 例 2 求下列函数的导数： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝(1＋sin x)2； 解 (1)y＝ln u，u＝x＋2 ∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1 u·1＝ 1 x＋2. (2)y＝u2，u＝1＋sin x， ∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sin x)′ ＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)． 规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构． (2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体． (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练 2 (1)y＝e2x＋1； (2)y＝( x－2)2. 解 (1)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)法一 ∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4， ∴y′＝x′－(4 x)′＋4′ ＝1－4×1 2x－1 2 ＝1－ 2 x. 法二 令 u＝ x－2， 则 yx′＝yu′·ux′＝2( x－2)·( x－2)′＝ 2( x－2) 1 2· 1 x －0 ＝1－ 2 x. 要点三 导数的应用 例 3 求过点(1，－1)与曲线 f(x)＝x3－2x 相切的直线方程． 解 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x20－2 故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0) ① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0 ② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)． 解得 x0＝1 或 x0＝－1 2. 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－5 4(x－1)． 即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0. 规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该 点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练 3 已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)＝t－1 t2 ＋2t2(位移单位：m， 时间单位：s)，求 t＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s(t)＝t－1 t2 ＋2t2＝ t t2 －1 t2 ＋2t2＝1 t －1 t2 ＋2t2， ∴s′(t)＝－1 t2 ＋2·1 t3 ＋4t， ∴s′(3)＝－1 9 ＋ 2 27 ＋12＝323 27 ， 即物体在 t＝3 s 时的瞬时速度为323 27 m/s. 1．下列结论不正确的是( ) A．若 y＝3，则 y′＝0 B．若 f(x)＝3x＋1，则 f′(1)＝3 C．若 y＝－ x＋x，则 y′＝－ 1 2 x ＋1 D．若 y＝sin x＋cos x，则 y′＝cos x＋sin x 答案 D 解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 2．函数 y＝cos x 1－x 的导数是( ) A. －sin x＋xsin x 1－x2 B ． xsin x－sin x－cos x 1－x2 C ． cos x－sin x＋xsin x 1－x2 D ． cos x－sin x＋xsin x 1－x 答案 C 解析 y′＝ cos x 1－x ′＝－sin x1－x－cos x·－1 1－x2 ＝cos x－sin x＋xsin x 1－x2 . 3．曲线 y＝ x x＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案 A 解析 ∵y′＝x′x＋2－xx＋2′ x＋22 ＝ 2 x＋22 ， ∴k＝y′|x＝－1＝ 2 －1＋22 ＝2， ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1. 4．直线 y＝1 2x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数 b＝________. 答案 ln 2－1 解析 设切点为(x0，y0)， ∵ y′＝1 x ，∴1 2 ＝1 x0 ， ∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝1 2 ×2＋b，∴b＝ln 2－1. 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法 则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算 法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适 当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、 瞬时速度等问题. 一、基础达标 1．设 y＝－2exsin x，则 y′等于( ) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案 D 解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)． 2．当函数 y＝x2＋a2 x (a>0)在 x＝x0 处的导数为 0 时，那么 x0＝( ) A．a B．±a C．－a D．a2 答案 B 解析 y′＝ x2＋a2 x ′＝2x·x－x2＋a2 x2 ＝x2－a2 x2 ， 由 x20－a2＝0 得 x0＝±a. 3．设曲线 y＝x＋1 x－1 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a 等于( ) A．2 B．1 2 C．－1 2 D．－2 答案 D 解析 ∵y＝x＋1 x－1 ＝1＋ 2 x－1 ， ∴y′＝－ 2 x－12.∴y′|x＝3＝－1 2. ∴－a＝2，即 a＝－2. 4．已知曲线 y＝x3 在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k＝3 时的 P 点坐标为( ) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D． －1 2 ，－1 8 答案 B 解析 y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1， 则 P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1， 则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________． 答案 4 解析 依题意得 f′(x)＝g′(x)＋2x， f′(1)＝g′(1)＋2＝4. 6．已知 f(x)＝1 3x3＋3xf′(0)，则 f′(1)＝________. 答案 1 解析 由于 f′(0)是一常数，所以 f′(x)＝x2＋3f′(0)， 令 x＝0，则 f′(0)＝0， ∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝x－sin x 2cos x 2. 解 (1)法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3， ∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝x－sin x 2cos x 2 ＝x－1 2sin x， ∴y′＝x′－ 1 2sin x ′＝1－1 2cos x. 二、能力提升 8．曲线 y＝ sin x sin x＋cos x －1 2 在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为( ) A．－1 2 B．1 2 C．－ 2 2 D． 2 2 答案 B 解 析 y′ ＝ cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x sin x＋cos x2 ＝ 1 sin x＋cos x2 ， 故 y′| x＝π 4 ＝1 2 ， ∴曲线在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为1 2. 9．已知点 P 在曲线 y＝ 4 ex＋1 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值 范围是( ) A．[0，π 4) B．[π 4 ，π 2) C．(π 2 ，3π 4 ] D．[3π 4 ，π) 答案 D 解析 y′＝－ 4ex ex＋12 ＝－ 4ex e2x＋2ex＋1 ，设 t＝ex∈(0，＋∞)，则 y′＝－ 4t t2＋2t＋1 ＝－ 4 t＋1 t ＋2 ，∵t＋1 t ≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[3π 4 ，π)． 10．(2013·江西)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝________. 答案 2 解析 令 t＝ex，则 x＝ln t，所以函数为 f(t)＝ln t＋t，即 f(x)＝ln x＋x，所以 f′(x) ＝1 x ＋1，即 f′(1)＝1 1 ＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线 y＝x3 相切的直线方程． 解 点(2,0)不在曲线 y＝x3 上，可令切点坐标为(x0，x30)．由题意，所求直线方程 的斜率 k＝x30－0 x0－2 ＝y′|x＝x0＝3x20，即 x30 x0－2 ＝3x20，解得 x0＝0 或 x0＝3. 当 x0＝0 时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k＝0，则所求直线方程是 y＝0； 当 x0＝3 时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k＝27， 则所求直线方程是 y－27＝27(x－3)， 即 27x－y－54＝0. 综上，所求的直线方程为 y＝0 或 27x－y－54＝0. 12．已知曲线 f(x)＝x3－3x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x0，y0)， 则由导数定义得切线的斜率 k＝f′(x0)＝3x20－3， ∴切线方程为 y＝(3x20－3)x＋16， 又切点(x0，y0)在切线上， ∴y0＝3(x20－1)x0＋16， 即 x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16， 解得 x0＝－2， ∴切线方程为 9x－y＋16＝0. 三、探究与创新 13．设函数 f(x)＝ax－b x ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12 ＝0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形 的面积为定值，并求此定值． (1)解 由 7x－4y－12＝0 得 y＝7 4x－3. 当 x＝2 时，y＝1 2 ，∴f(2)＝1 2 ， ① 又 f′(x)＝a＋b x2 ， ∴f′(2)＝7 4 ， ② 由①，②得 2a－b 2 ＝1 2 a＋b 4 ＝7 4. 解之得 a＝1 b＝3 . 故 f(x)＝x－3 x. (2)证明 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋3 x2 知 曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝ 1＋3 x20 (x－x0)， 即 y－ x0－3 x0 ＝ 1＋3 x20 (x－x0)． 令 x＝0 得 y＝－6 x0 ，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 0，－6 x0 . 令 y＝x 得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为1 2 |－6 x0||2x0| ＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积为定 值，此定值为 6. 1．2 导数的计算 1．2.1 几个常用函数的导数 1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的 运算法则(一) [学习目标] 1．能根据定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1 x ，y＝ x的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． [知识链接] 在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用 导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数 在某点处导数的方法，如何用定义求函数 y＝f(x)的导数？ 答 (1)计算Δy Δx ，并化简； (2)观察当Δx 趋近于 0 时，Δy Δx 趋近于哪个定值； (3)Δy Δx 趋近于的定值就是函数 y＝f(x)的导数． [预习导引] 1．几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1 x f′(x)＝－1 x2 f(x)＝ x f′(x)＝ 1 2 x 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a>0，且 a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ 1 xln a(a>0，且 a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝1 x 要点一 利用导数定义求函数的导数 例 1 用导数的定义求函数 f(x)＝2 013x2 的导数． 解 f′(x)＝limΔx→0 2 013x＋Δx2－2 013x2 x＋Δx－x ＝limΔx→0 2 013[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2 013x2 Δx ＝limΔx→0 4 026x·Δx＋2 013Δx2 Δx ＝limΔx→0 (4 026x＋2 013Δx) ＝4 026x. 规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于 0 时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于 0. (3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练 1 用导数的定义求函数 y＝x2＋ax＋b(a，b 为常数)的导数． 解 y′＝limΔx→0 x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b Δx ＝limΔx→0 x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b Δx ＝limΔx→0 2x·Δx＋a·Δx＋Δx2 Δx ＝limΔx→0 (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. 要点二 利用导数公式求函数的导数 例 2 求下列函数的导数 (1)y＝sin π 3 ；(2)y＝5x；(3)y＝1 x3 ；(4)y＝4 x3；(5)y＝log3x. 解 (1)y′＝0； (2)y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y′＝(x－3)′＝－3x－4； (4)y′＝ 4 x3 ′＝ x3 4 ′＝3 4x－1 4 ＝ 3 44 x ； (5)y′＝(log3x)′＝ 1 xln 3. 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题 的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪演练 2 求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝ 1 2 x；(3)y＝x x；(4)y＝log1 3x. 解 (1)y′＝8x7； (2)y′＝ 1 2 xln 1 2 ＝－ 1 2 xln 2； (3)∵y＝x x＝x3 2 ，∴y′＝3 2x1 2 ； (4) y′＝ 1 xln 1 3 ＝－ 1 xln 3. 要点三 利用导数公式求曲线的切线方程 例 3 求过曲线 y＝sin x 上点 P π 6 ，1 2 且与过这点的切线垂直的直线方程． 解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x， 曲线在点 P π 6 ，1 2 处的切线斜率是： y′|x＝π 6 ＝cosπ 6 ＝ 3 2 . ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为－ 2 3 ， 故所求的直线方程为 y－1 2 ＝－ 2 3 x－π 6 ， 即 2x＋ 3y－ 3 2 －π 3 ＝0. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率 乘积等于－1 是解题的关键． 跟踪演练 3 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，求与直线 PQ 平 行的曲线 y＝x2 的切线方程． 解 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又∵PQ 的斜率为 k＝4－1 2＋1 ＝1，而切线平行于 PQ， ∴k＝2x0＝1，即 x0＝1 2 ，所以切点为 M 1 2 ，1 4 . ∴所求的切线方程为 y－1 4 ＝x－1 2 ，即 4x－4y－1＝0. 1．已知 f(x)＝x2，则 f′(3)＝( ) A．0 B．2x C．6 D．9 答案 C 解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6. 2．函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( ) A. 3 6 B．0 C． 1 2 x D． 3 2 答案 A 解析 ∵f′(x)＝( x)′＝ 1 2 x ，∴f′(3)＝ 1 2 3 ＝ 3 6 . 3．设正弦曲线 y＝sin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾 斜角的范围是( ) A. 0，π 4 ∪ 3π 4 ，π B．[0，π) C． π 4 ，3π 4 D．0，π 4 ∪ π 2 ，3π 4 答案 A 解析 ∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1， ∴αl∈ 0，π 4 ∪ 3π 4 ，π . 4．曲线 y＝ex 在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 1 2e2 解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为 y－e2＝e2(x－2)， 即 y＝e2x－e2.当 x＝0 时，y＝－e2，当 y＝0 时，x＝1. ∴S△＝1 2 ×1×|－e2|＝1 2e2. 1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和 运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导． 如求 y＝1－2sin2 x 2 的导数．因为 y＝1－2sin2x 2 ＝cos x， 所以 y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化. 一、基础达标 1．下列结论中正确的个数为( ) ①y＝ln 2，则 y′＝1 2 ；②y＝1 x2 ，则 y′|x＝3＝－ 2 27 ；③y＝2x，则 y′＝2xln 2；④ y＝log2x，则 y′＝ 1 xln 2. A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D 解析 ①y＝ln 2 为常数，所以 y′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线 y＝1 x 上一点 P 的切线的斜率为－4，则点 P 的坐标为( ) A. 1 2 ，2 B ． 1 2 ，2 或 －1 2 ，－2 C． －1 2 ，－2 D． 1 2 ，－2 答案 B 解析 y′＝ 1 x ′＝－1 x2 ＝－4，x＝±1 2 ，故选 B. 3．已知 f(x)＝xa，若 f′(－1)＝－4，则 a 的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案 A 解析 f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4. 4．函数 f(x)＝x3 的斜率等于 1 的切线有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．不确定 答案 B 解析 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则 3x20＝1，得 x0＝± 3 3 ，即在点 3 3 ， 3 9 和点 － 3 3 ，－ 3 9 处有斜率为 1 的切线． 5．曲线 y＝9 x 在点 M(3,3)处的切线方程是________． 答案 x＋y－6＝0 解析 ∵y′＝－9 x2 ，∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1 的切线方程为： y－3＝－(x－3)即 x＋y－6＝0. 6．若曲线 y＝x－1 2 在点 a，a－1 2 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a＝________. 答案 64 解析 ∵y＝x－1 2 ，∴y′＝－1 2x－3 2 ， ∴曲线在点 a，a－1 2 处的切线斜率 k＝－1 2a－3 2 ， ∴切线方程为 y－a－1 2 ＝－1 2a－3 2(x－a)． 令 x＝0 得 y＝3 2a－1 2 ；令 y＝0 得 x＝3a. ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝1 2·3a·3 2a－1 2 ＝9 4a1 2 ＝18，∴a＝64. 7．求下列函数的导数： (1) y＝5 x3；(2)y＝1 x4 ；(3)y＝－2sin x 2 1－2cos2x 4 ； (4)y＝log2x2－log2x. 解 (1)y′＝ 5 x3 ′＝ x3 5 ′＝3 5x3 5 －1＝3 5x－2 5 ＝ 3 55 x2 . (2)y′＝ 1 x4 ′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4 x5. (3)∵y＝－2sinx 2 1－2cos2x 4 ＝2sin x 2 2cos2x 4 －1 ＝2sin x 2cos x 2 ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝ 1 x·ln 2. 二、能力提升 8．已知直线 y＝kx 是曲线 y＝ex 的切线，则实数 k 的值为( ) A.1 e B．－1 e C．－e D．e 答案 D 解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 y0＝kx0 y0＝ex0 k＝ex0. ∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e. 9．曲线 y＝ln x 在 x＝a 处的切线倾斜角为π 4 ，则 a＝________. 答案 1 解析 y′＝1 x ，∴y′|x＝a＝1 a ＝1，∴a＝1. 10．点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，则点 P 到直线 y＝x 的最小距离为________． 答案 2 2 解析 根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为 与 y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，即 y′|x＝x0＝ 1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，得 y0＝1，即 P(0,1)．利用点到直线的距离公式 得距离为 2 2 . 11．已知 f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合 f′(x)＋g′(x)≤0 的 x 的值． 解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x， ∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由 f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即 sin x≥1，但 sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋π 2 ，k∈Z. 12．已知抛物线 y＝x2，直线 x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y＝x2 的切线，对应的切点到 直线 x－y－2＝0 的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则 y′|x＝x0＝2x0＝1， 所以 x0＝1 2 ，所以切点坐标为 1 2 ，1 4 ， 切点到直线 x－y－2＝0 的距离 d＝|1 2 －1 4 －2| 2 ＝7 2 8 ， 所以抛物线上的点到直线 x－y－2＝0 的最短距离为7 2 8 . 三、探究与创新 13．设 f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N， 试求 f2 014(x)． 解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为 4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x． 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) [学习目标] 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的 导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接] 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做 起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求 f(x)＝5 和 g(x)＝1.05x 等基 本初等函数的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则 法则 语言叙述 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或 差) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函 数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 fx gx ′＝f′xgx－fx·g′x [gx]2 (g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘 上分母的导数，再除以分母的平方 2．复合函数的求导法则 复合函数 的概念 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数， 那么称这个函数为 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)) 复合函数的求导法则 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1) y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x. 解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1. (3)函数 y＝3x－lg x 是函数 f(x)＝3x 与函数 g(x)＝lg x 的差．由导数公式表分别得 出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝ 1 xln 10 ，利用函数差的求导法则可得 (3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－ 1 xln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系 基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转 化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练 1 求下列函数的导数： (1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－1 x2. 解 (1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； (3)y′＝ex x ＋ex·ln x； (4)y′＝ 1 xln 10 ＋2 x3. 要点二 求复合函数的导数 例 2 求下列函数的导数： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝(1＋sin x)2； 解 (1)y＝ln u，u＝x＋2 ∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1 u·1＝ 1 x＋2. (2)y＝u2，u＝1＋sin x， ∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sin x)′ ＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)． 规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构． (2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体． (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练 2 (1)y＝e2x＋1； (2)y＝( x－2)2. 解 (1)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)法一 ∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4， ∴y′＝x′－(4 x)′＋4′ ＝1－4×1 2x－1 2 ＝1－ 2 x. 法二 令 u＝ x－2， 则 yx′＝yu′·ux′＝2( x－2)·( x－2)′＝ 2( x－2) 1 2· 1 x －0 ＝1－ 2 x. 要点三 导数的应用 例 3 求过点(1，－1)与曲线 f(x)＝x3－2x 相切的直线方程． 解 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x20－2 故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0) ① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0 ② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)． 解得 x0＝1 或 x0＝－1 2. 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－5 4(x－1)． 即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0. 规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该 点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练 3 已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)＝t－1 t2 ＋2t2(位移单位：m， 时间单位：s)，求 t＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s(t)＝t－1 t2 ＋2t2＝ t t2 －1 t2 ＋2t2＝1 t －1 t2 ＋2t2， ∴s′(t)＝－1 t2 ＋2·1 t3 ＋4t， ∴s′(3)＝－1 9 ＋ 2 27 ＋12＝323 27 ， 即物体在 t＝3 s 时的瞬时速度为323 27 m/s. 1．下列结论不正确的是( ) A．若 y＝3，则 y′＝0 B．若 f(x)＝3x＋1，则 f′(1)＝3 C．若 y＝－ x＋x，则 y′＝－ 1 2 x ＋1 D．若 y＝sin x＋cos x，则 y′＝cos x＋sin x 答案 D 解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 2．函数 y＝cos x 1－x 的导数是( ) A. －sin x＋xsin x 1－x2 B ． xsin x－sin x－cos x 1－x2 C ． cos x－sin x＋xsin x 1－x2 D ． cos x－sin x＋xsin x 1－x 答案 C 解析 y′＝ cos x 1－x ′＝－sin x1－x－cos x·－1 1－x2 ＝cos x－sin x＋xsin x 1－x2 . 3．曲线 y＝ x x＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案 A 解析 ∵y′＝x′x＋2－xx＋2′ x＋22 ＝ 2 x＋22 ， ∴k＝y′|x＝－1＝ 2 －1＋22 ＝2， ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1. 4．直线 y＝1 2x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数 b＝________. 答案 ln 2－1 解析 设切点为(x0，y0)， ∵ y′＝1 x ，∴1 2 ＝1 x0 ， ∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝1 2 ×2＋b，∴b＝ln 2－1. 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法 则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算 法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适 当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、 瞬时速度等问题. 一、基础达标 1．设 y＝－2exsin x，则 y′等于( ) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案 D 解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)． 2．当函数 y＝x2＋a2 x (a>0)在 x＝x0 处的导数为 0 时，那么 x0＝( ) A．a B．±a C．－a D．a2 答案 B 解析 y′＝ x2＋a2 x ′＝2x·x－x2＋a2 x2 ＝x2－a2 x2 ， 由 x20－a2＝0 得 x0＝±a. 3．设曲线 y＝x＋1 x－1 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a 等于( ) A．2 B．1 2 C．－1 2 D．－2 答案 D 解析 ∵y＝x＋1 x－1 ＝1＋ 2 x－1 ， ∴y′＝－ 2 x－12.∴y′|x＝3＝－1 2. ∴－a＝2，即 a＝－2. 4．已知曲线 y＝x3 在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k＝3 时的 P 点坐标为( ) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D． －1 2 ，－1 8 答案 B 解析 y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1， 则 P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1， 则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________． 答案 4 解析 依题意得 f′(x)＝g′(x)＋2x， f′(1)＝g′(1)＋2＝4. 6．已知 f(x)＝1 3x3＋3xf′(0)，则 f′(1)＝________. 答案 1 解析 由于 f′(0)是一常数，所以 f′(x)＝x2＋3f′(0)， 令 x＝0，则 f′(0)＝0， ∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝x－sin x 2cos x 2. 解 (1)法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3， ∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝x－sin x 2cos x 2 ＝x－1 2sin x， ∴y′＝x′－ 1 2sin x ′＝1－1 2cos x. 二、能力提升 8．曲线 y＝ sin x sin x＋cos x －1 2 在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为( ) A．－1 2 B．1 2 C．－ 2 2 D． 2 2 答案 B 解 析 y′ ＝ cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x sin x＋cos x2 ＝ 1 sin x＋cos x2 ， 故 y′| x＝π 4 ＝1 2 ， ∴曲线在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为1 2. 9．已知点 P 在曲线 y＝ 4 ex＋1 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值 范围是( ) A．[0，π 4) B．[π 4 ，π 2) C．(π 2 ，3π 4 ] D．[3π 4 ，π) 答案 D 解析 y′＝－ 4ex ex＋12 ＝－ 4ex e2x＋2ex＋1 ，设 t＝ex∈(0，＋∞)，则 y′＝－ 4t t2＋2t＋1 ＝－ 4 t＋1 t ＋2 ，∵t＋1 t ≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[3π 4 ，π)． 10．(2013·江西)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝________. 答案 2 解析 令 t＝ex，则 x＝ln t，所以函数为 f(t)＝ln t＋t，即 f(x)＝ln x＋x，所以 f′(x) ＝1 x ＋1，即 f′(1)＝1 1 ＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线 y＝x3 相切的直线方程． 解 点(2,0)不在曲线 y＝x3 上，可令切点坐标为(x0，x30)．由题意，所求直线方程 的斜率 k＝x30－0 x0－2 ＝y′|x＝x0＝3x20，即 x30 x0－2 ＝3x20，解得 x0＝0 或 x0＝3. 当 x0＝0 时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k＝0，则所求直线方程是 y＝0； 当 x0＝3 时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k＝27， 则所求直线方程是 y－27＝27(x－3)， 即 27x－y－54＝0. 综上，所求的直线方程为 y＝0 或 27x－y－54＝0. 12．已知曲线 f(x)＝x3－3x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x0，y0)， 则由导数定义得切线的斜率 k＝f′(x0)＝3x20－3， ∴切线方程为 y＝(3x20－3)x＋16， 又切点(x0，y0)在切线上， ∴y0＝3(x20－1)x0＋16， 即 x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16， 解得 x0＝－2， ∴切线方程为 9x－y＋16＝0. 三、探究与创新 13．设函数 f(x)＝ax－b x ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12 ＝0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形 的面积为定值，并求此定值． (1)解 由 7x－4y－12＝0 得 y＝7 4x－3. 当 x＝2 时，y＝1 2 ，∴f(2)＝1 2 ， ① 又 f′(x)＝a＋b x2 ， ∴f′(2)＝7 4 ， ② 由①，②得 2a－b 2 ＝1 2 a＋b 4 ＝7 4. 解之得 a＝1 b＝3 . 故 f(x)＝x－3 x. (2)证明 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋3 x2 知 曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝ 1＋3 x20 (x－x0)， 即 y－ x0－3 x0 ＝ 1＋3 x20 (x－x0)． 令 x＝0 得 y＝－6 x0 ，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 0，－6 x0 . 令 y＝x 得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为1 2 |－6 x0||2x0| ＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积为定 值，此定值为 6.