福建省厦门市2013届高三3月质量检查理科数学试题

福建省厦门市2013届高三3月质量检查理科数学试题

厦门市2013届高三质量检查 数学（理科）试卷 注意事项：‎ ‎1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；‎ ‎2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）‎ 一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.‎ ‎1．已知全集，集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ）‎ A．20辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆 ‎4. “”是”的( )‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.函数（ ）‎ ‎ A.是偶函数且为减函数 B. 是偶函数且为增函数 ‎ C.是奇函数且为减函数 D. 是奇函数且为增函数 开始 i = 0‎ 输入正整数n n为奇数?‎ n = 3n+1‎ n = n/2‎ i = i + 1‎ n = 1?‎ 输出i 结束 ‎6. 若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，‎ 现随机向区域内投掷一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为（ ）‎ A． B． C． D. ‎ ‎7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎8. 在右侧程序框图中，输入，按程序运行后输出的结果是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D.6‎ ‎9．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 中，，为锐角，点O是外接圆的圆心，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。‎ ‎11．若为纯虚数（为虚数单位），则实数= .‎ ‎12．已知则＝ .‎ ‎13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图 是半圆。现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为________．‎ ‎14．在含有3件次品的10件产品中，取出件产品，‎ 记表示取出的次品数，算得如下一组期望值：‎ ‎ 当n=1时， ;‎ ‎ 当n=2时， ;‎ ‎ 当n=3时， ;‎ ‎……‎ 观察以上结果，可以推测：若在含有件次品的件产品中，取出件产品，记表示取出的次品数，则= ．‎ ‎15．某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，则表示（如图），下列关于函数的描述正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）‎ ‎①的图象是中心对称图形； ②的图象是轴对称图形；‎ ‎③函数的值域为； ④方程有两个解.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 已知函数（）的周期为4。‎ ‎（Ⅰ）求 的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，‎ ‎、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小。‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 如图，PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O ‎（Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD;‎ ‎（Ⅱ）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增亿元。已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%。为加大医疗改革力度，要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增元，求的值。‎ ‎（参考数据：）‎ ‎19. （本小题满分13分）‎ 已知函数在处的切线与直线垂直，函数．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最大值．‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 已知椭圆.‎ ‎（Ⅰ）我们知道圆具有性质：若为圆O：的弦AB的中点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆的类似性质，并加以证明；‎ ‎（Ⅱ）如图（1），点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；‎ ‎（Ⅲ）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 图（1） 图（2）‎ ‎21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵 ，.‎ ‎（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；‎ ‎（Ⅱ）求直线在矩阵对应的线性变换作用下所得曲线的方程.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）将C的方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）以为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线C的极坐标方程是， ‎ 求曲线C与C交点的极坐标. ‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知正数，，满足．‎ ‎（Ⅰ）求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对满足条件的，，恒成立，求实数 的取值范围．‎ 厦门市2013届高三质量检查 数学（理科）评分标准 一．选择题； ‎ ‎10.分析1：BC=2，，所以，如图建系，‎ ‎，求得圆O：，设，则 分析2：…‎ 分析3：‎ 又，‎ 所以=‎ 二．填空题： 11. 12. 13. (或) 14. 15．②③‎ ‎15.分析：如图设，当P，Q关于对称时，即 ‎ ,所以f(x)关于对称.‎ ‎ ④设，则，观察出，则，由③知无解.‎ 三．解答题：‎ ‎16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力．满分13分．‎ 解：（1）‎ ‎ ----------------------------------------------------------------1分 ‎-------------------------------------3分 ‎ -------------------------------------5分 ‎ -------------------------------------6分 ‎（2）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数---------------------------7分 因为、分别为该图像的最高点和最低点，‎ 所以--------------------------------------------------------------------------9分 所以----------------------------------------------------------------------------10分 ‎--------------------------------------------------12分 所以---------------------------------------------------------------------------------------13分 法2：‎ 法3：利用数量积公式 ，‎ ‎17． 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法，‎ 考查空间想象、计算、推理论证等能力．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）连接OQ，由题知PA∥QC,∴P、A、Q、C共面 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A，‎ ‎∴BD⊥平面PACQ, ∴BD⊥OP. ------------------------------------------------------1分 由题中数据得PA=2，AO=OC=,OP=,QC=1，OQ=‎ ‎∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC,‎ 又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ ‎（或计算PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，OP⊥OQ）------------------3分 ‎∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD--------------------------4分 ‎（Ⅱ）如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系，‎ ‎∴各点坐标分别为A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C（2,2,0），D（0,2,0）,P（0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5分 ‎∴=(-2,0,2), =（0,2,1）,设平面PBQ的法向量 ‎∴，得，‎ 不妨设，∴--------------------------------------------------------------------------------------------------6分 由（Ⅰ）知平面BDQ的法向量，---------------------------------------------------------------------------7分 ‎，>=，‎ ‎∴二面角P-BQ-D平面角的余弦值为.--------------------------------------9分 ‎（Ⅲ）设,∴,‎ ‎，--------------------------------------------------11分 ‎∵CE∥平面PBQ,∴与平面PBQ的法向量垂直。‎ ‎,---------------------------------------------------12分 ‎∴. ∴--------------------------------------------------13分 ‎（方法二）在平面PAD中，分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M，‎ 连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E，----------------------------11分 由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N ‎∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12分 ‎∵CQ=1，MD=PA=2，∴‎ ‎∵NE∥PQ, ------------------------------------------------------------13分 ‎18．本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考查数学建模及其应用与计算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力．满分13分.‎ 解：（Ⅰ）依题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列， ‎ 到2012年，，该城市的人口数为万人， --------------------------------2分 故2012年医疗费用投入为元，即为30亿元，‎ 由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，--------------------------------------------------4分 所以，解得，----------------------5分 ‎（Ⅱ）依题意，从2013年起（记2013年为第一年），‎ 该城市的人口数组成一个等比数列，‎ 其中，公比，-----------6分 医疗费用人均投入组成一个等差数列，‎ 其中，公差为，；------------------7分 于是，从2013年起，将来10医疗费用总投入为：‎ ‎，----------------------------------------8分 ‎，‎ ‎，‎ 相减得：，‎ ‎，‎ 所以（万元），----------------12分 由题设，，解得。---------------13分 ‎19. 本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分13分.‎ 解：（Ⅰ）∵，∴.----------------------------1分 ‎ ∵与直线垂直，∴，∴.---------------------------------3分 ‎ （Ⅱ）∵，∴.---------------------------4分 由题知在上有解，∵,----------------------------------------------------------------5分 设，则 ∴只须------------------------------7分 ‎，故的取值范围为.-------------------------------------------------8分 ‎（Ⅲ）∵，∴令，得：‎ ‎ ∴， ‎ ‎ 法1：∵‎ ‎ ‎ ‎----------------------------10分 ‎ ∵，∴设，令-------------------------11分 则，∴在上单调递减．-----------------------------------------12分 又∵，∴，即 ‎∵，∴，∴，，故所求最小值为--13分 ‎ 法2：同上得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎--------------------------------------------10分 令，则----------------------------------------11分 ‎≥0----------------------------------------------------------12分 在上为增函数.当时, 故所求最小值为 ‎---------------------13分 ‎20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分14分.‎ 解：（Ⅰ）若A，B为椭圆上相异的两点，为A，B中点，当直线AB ‎ 的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;----- -------------1分 ‎ 证1：设，则 ‎ （2）-（1）得：，-----------2分 ‎ 仅考虑斜率存在的情况：----------------------------------------4分 ‎ 证2：设AB：与椭圆联立得：‎ ‎ ，-----------------------------------------------------------------------------------------------------2分 ‎ 所以----------4分 ‎ （Ⅱ）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率，‎ ‎ 即，‎ 所以点B处的切线QB：----------------6分 令，，令，所以-----------------8分 又点B在椭圆的第一象限上，所以 ‎，当且仅当 所以当时，三角形OCD的面积的最小值为-------10分（没写等号成立扣1分）‎ ‎（ⅱ）设，由（ⅰ）知点处的切线为：‎ 又过点，所以，又可理解为点在直线上 同理点在直线上，所以直线MN的方程为：　--------------------------12分 所以原点O到直线MN的距离，----------13分 所以直线MN始终与圆相切. 　------------------------14分 ‎21. （1）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识，考查书写表达能力、运算求解能力。满分7分K^S*5U.C#O%‎ 解：（Ⅰ），矩阵A可逆． ---------------------------------------------------------------------1分 且 -------------------------------------------------------------------------------------------3分 ‎（Ⅱ）== ---------------------------------------------------------------------------4分 ‎ 设直线上任意一点在矩阵对应的线性变换作用下得到，‎ 则= ----------------------------------------------------------------------------------------------------5分 即：，从而 ------------------------------------------------------------------------------6分 代入得 即为所求的曲线方程。-------------------------------------7分 ‎（2）选修4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想。满分7分 解：（Ⅰ）C的普通方程为：---------------------------------------------------------------------------3分 ‎（Ⅱ）法一：如图,设圆心为A，原点O在圆上，‎ 设 C与C相交于O、B，取线段OB中点C，‎ ‎ 直线OB倾斜角为，OA=2，-----------------------------------------------4分 OC=1 从而OB=2，-------------------------------------------------------------5分 O、B的极坐标分别为------------------------------------7分 法二：C的直角坐标方程为：--------------------------------------4分 ‎ 代入圆的普通方程后，得,即：，得： ‎ ‎ O、B的直角坐标分别为---------------------------------------------------------------------5分 从而O、B的极坐标分别为---------------------------------------------------------------------7分 ‎（3）选修4-5：不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，分类讨论思想。满分7分 解：（Ⅰ）由柯西不等式， ----------------------------------------------1分 ‎ 即有，‎ ‎ 又、、是正数，即的最大值为6，-------------------------------------2分 ‎ 当且仅当，即当时取得最大值。-------------------------------------------------3分 ‎（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得， ------------------------------------------------------4分 即： ---------------------------------------------------------------------6分 解得：无解 或 综上，实数的取值范围为 ------------------------------------------7分