甘肃省静宁县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题 含解析

甘肃省静宁县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题 含解析

静宁一中2018-2019学年度第二学期高二级期末试题（卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．‎ ‎【详解】（1+i）（2﹣i）=2﹣i+2i﹣i2=3+i．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎2.设集合，1，2，3，，，2，，，3，，则（ ）‎ A. ， B. ， C. ，1， D. ，2，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到，再计算，得到答案 ‎【详解】集合，1，2，3，，，2，，，3，，‎ 则，，‎ ‎，1，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算与补集运算，属于简单题.‎ ‎3.已知平面向量，的夹角为，，，则（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 0 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，，的夹角为，先得到的值，再计算，得到结果.‎ ‎【详解】向量，的夹角为，，，‎ ‎ ，‎ 则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的基本运算，属于简单题.‎ ‎4.已知函数，则（ ）‎ A. 的最小正周期是，最大值是1‎ B. 的最小正周期是，最大值是 C. 的最小正周期是，最大值是 D. 的最小正周期是，最大值是1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行化简，得到解析式，再求出其最小正周期和最大值.‎ ‎【详解】函数，‎ 故函数的周期为，‎ 当，‎ 即：时，‎ 函数取最大值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查二倍角正弦的逆用，三角函数求周期和最值，属于简单题.‎ ‎5.若，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】对于选项A, 不一定成立，如a=1＞b=-2,但是，所以该选项是错误的；‎ 对于选项B, 所以该选项是错误的；‎ 对于选项C,ab符号不确定，所以不一定成立，所以该选项是错误的；‎ 对于选项D, 因为a>b,所以，所以该选项是正确的.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）‎ A. 55 B. ‎45 ‎C. 66 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程度框图的要求，按输入值进行循环，根据判断语句，计算循环停止时的值，得到答案.‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值 ‎ 由于．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查根据流程框图求输入值，属于简单题.‎ ‎7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.‎ ‎【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.‎ ‎8.函数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.‎ ‎【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.‎ ‎9.在中，，，，则的面积为（ ）‎ A. 15 B. C. 40 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，属于基础题.‎ ‎10.函数在上的最小值为（ ）‎ A. -2 B. ‎0 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，得到函数在区间上的单调性，即可求解函数的最小值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ 所以函数在区间上的最小值为，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性，进而求解函数的最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11.法国机械学家莱洛（1829-1905）发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算出封闭曲线的面积，在算出正三角形的面积，由几何概型的计算公式得到答案.‎ ‎【详解】设正三角形的边长为，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为 ‎，‎ 由几何概型中的面积型可得：‎ 此点取自正三角形之内（如图阴影部分）‎ 概率是，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型求概率，属于简单题.‎ ‎12.定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】构造函数，根据可知，得到在上单调递减；根据，可将所求不等式转化为，根据函数单调性可得到解集.‎ ‎【解答】令，则 在上单调递减 ‎ ‎ 则不等式可化为 等价于，即 ‎ 即所求不等式解集为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，关键是能够构造函数，将所求不等式转变为函数值的比较，从而利用其单调性得到自变量的关系．‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知是第四象限角，，则_______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎：由同角三角关系求解 详解】：，设，由同角三角关系可得。‎ ‎【点睛】：三角正余弦值的定义为，。‎ ‎14.在正方体中，，分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连接，，找到异面直线与所成角，再求出其余弦值 ‎【详解】取的中点，连接，，‎ 因为，‎ 所以（或其补角）为异面直线与所成角，‎ 易得：，‎ 即，‎ 所以，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查两条异面直线所成的角，属于简单题.‎ ‎15.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，且，则___．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，分和进行讨论，得到的值，再求的值 ‎【详解】函数，且 当时，，解得，不成立，‎ 当时，，解得．‎ ‎．‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】本题考查由函数的值求自变量的值，属于简单题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.已知等差数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．‎ ‎【答案】(I)；(Ⅱ)，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。‎ ‎（Ⅱ）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得.‎ ‎【详解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，‎ 解得，， ∴．‎ ‎(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，‎ ‎∴，或．‎ ‎【点睛】本题考查数列的基本公式。等差数列的通项公式 , ‎ 等比数列的前n项和公式 .‎ ‎18.为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：，经统计，其高度均在区间，内，将其按，，，，，，，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为及以上的树苗为优质树苗．‎ ‎（1）求图中的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：‎ 试验区 试验区 合计 优质树苗 ‎20‎ 非优质树苗 ‎60‎ 合计 将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中．‎ ‎【答案】（1），；（2）列联表见解析，没有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过直方图中频率之和为1，解出，再计算树苗的平均高度.‎ ‎（2）根据题意补充好列联表，然后把相应的数据代入求的公式，求出，再做出判断.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得，‎ 计算，‎ 估计这批树苗的平均高度为；‎ ‎（2）优质树苗有，根据题意填写列联表，‎ 试验区 试验区 合计 优质树苗 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 非优质树苗 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 合计 ‎70‎ ‎50‎ ‎120‎ 计算观测值，‎ 没有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的相关性质，填写列联表，计算和利用进行相关判断.属于简单题.‎ ‎19.在三棱柱 中， 平面 ，其垂足 落在直线 上. ‎ ‎（1）求证： ； ‎ ‎（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析 ‎（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A‎1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A‎1A∩AD=A，根据线面垂直判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证；（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A‎1A⊥面BPC，求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B‎1C1为直三棱柱，‎ ‎∴A‎1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，‎ ‎∴A‎1A⊥BC ‎ ‎∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，‎ ‎∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，‎ AD⊂平面A1AB，A‎1A∩AD=A，‎ ‎∴BC⊥平面A1AB，‎ 又A1B⊂平面A1BC，‎ ‎∴BC⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，A‎1A⊥AB．‎ ‎∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，‎ ‎∴AD⊥A1B．‎ 在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，‎ ‎= ，∠ABD=60°，‎ 在Rt∠△ABA1中，AA=AB tan60=2 ‎ 由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，‎ 从而BC⊥AB，=AB BC= 22=2．‎ ‎∵P为AC的中点，=S =1‎ ‎= =.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，利用等体积转化思想，也考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程；‎ ‎（2）令，证明其导函数在上恒为正，即在上恒增，而要满足在上恒成立，从而得到的取值范围 ‎【详解】（1），，‎ ‎（1），又（1），即切线的斜率，切点为，‎ 曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）令，，则，‎ 令，则．‎ 当时，，函数在上为增函数，故（1）；‎ 从而，当时，（1）．‎ 即函数在上为增函数，故（1）．‎ 因此，在上恒成立，必须满足．‎ 实数的取值范围为，．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.‎ ‎21.已知椭圆：的离心率为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设直线的方程为，代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点在以为直径的圆内得，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得，‎ ‎，解得或，‎ 设，，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎∵坐标原点在以为直径的圆内，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ 解得或.‎ 故直线斜率的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接利用极化直的公式化简得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再根据求出直线的斜率.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由，，，得 即所求曲线的直角坐标方程为： ‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得 由是的中点知，‎ 即 所以直线的斜率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查极直互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）由得.解含两个绝对值号的不等式，应讨论去掉绝对值号，。分三种情况解不等式即可。当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.三种情况取并集即得不等式的解集为. （Ⅱ），不等式恒成立，只需，不等式 。因为，所以根据基本不等式可得。对，。由函数解析式可得对，，进而可求，根据三角不等式可得，进而可得，解不等式可得所求范围。‎ 详解：（Ⅰ）‎ 当时，由，解得；‎ 当时，不成立；‎ 当时，由，解得.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以.‎ 由题意知对，，‎ 即，‎ 因为，‎ 所以，解得.‎ 点睛：⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法。‎ ‎⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法。若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也是求最值。一般有：‎ ‎① 为参数）恒成立 ‎ ‎②为参数）恒成立 。‎