中考数学压轴题含答案

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中考数学压轴题含答案

‎2016中考压轴题突破 训练目标 1. 熟悉题型结构,辨识题目类型,调用解题方法;‎ 2. 书写框架明晰,踩点得分(完整、快速、简洁)。‎ 题型结构及解题方法 压轴题综合性强,知识高度融合,侧重考查学生对知识的综合运用能力,对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。‎ 考查要点 常考类型举例 题型特征 解题方法 问题背景研究 求坐标或函数解析式,求角度或线段长 已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息 研究坐标、解析式,研究边、角,特殊图形。‎ 模型套路调用 求面积、周长的函数关系式,并求最值 速度已知,所求关系式和运动时间相关 ① 分段:动点转折分段、图形碰撞分段;‎ ② 利用动点路程表达线段长;‎ ③ 设计方案表达关系式。‎ 坐标系下,所求关系式和坐标相关 ① 利用坐标及横平竖直线段长;‎ ② 分类:根据线段表达不同分类;‎ ③ 设计方案表达面积或周长。‎ 求线段和(差)的最值 有定点(线)、不变量或不变关系 利用几何模型、几何定理求解,如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。‎ 套路整合及分类讨论 点的存在性 点的存在满足某种关系,如满足面积比为9:10‎ ① 抓定量,找特征;‎ ② 确定分类;.‎ ③ 根据几何特征或函数特征建等式。‎ 图形的存在性 特殊三角形、特殊四边形的存在性 ① 分析动点、定点或不变关系(如平行);‎ ② 根据特殊图形的判定、性质,确定分类;‎ ③ 根据几何特征或函数特征建等式。‎ 三角形相似、全等的存在性 ① 找定点,分析目标三角形边角关系;‎ ② 根据判定、对应关系确定分类;‎ ③ 根据几何特征建等式求解。‎ 答题规范动作 1. 试卷上探索思路、在演草纸上演草。‎ 2. 合理规划答题卡的答题区域:两栏书写,先左后右。‎ 作答前根据思路,提前规划,确保在答题区域内写完答案;同时方便修改。‎ 3. 作答要求:框架明晰,结论突出,过程简洁。‎ ‎23题作答更加注重结论,不同类型的作答要点:‎ 几何推理环节,要突出几何特征及数量关系表达,简化证明过程;‎ 面积问题,要突出面积表达的方案和结论;‎ 几何最值问题,直接确定最值存在状态,再进行求解;‎ 存在性问题,要明确分类,突出总结。‎ 4. ‎20分钟内完成。‎ 实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中,对老师所讲的套路不熟悉或不知道,需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法,这些训练与真题演练阶段的训练互相补充,帮学生系统解决压轴题,以到中考考场时,不仅题目会做,而且能高效拿分。课程名称:‎ ‎2014中考数学难点突破 ‎1、图形运动产生的面积问题 ‎2、存在性问题 ‎3、二次函数综合(包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题)‎ ‎4、2014中考数学压轴题全面突破(包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练)‎ ‎ 一、图形运动产生的面积问题 一、 知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态:‎ ‎①由起点、终点确定t的范围;‎ ‎②对t分段,根据运动趋势画图,找边与定点,通常是状态转折点相交时的特殊位置.‎ 3. 分段画图,选择适当方法表达面积.‎ 二、精讲精练 1. 已知,等边三角形ABC的边长为‎4厘米,长为‎1厘米的线段MN在△ABC的边AB上,沿AB方向以‎1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点与点重合,点N到达点时运动终止),过点M、N分别作边的垂线,与△ABC的其他边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为秒.‎ ‎(1)线段MN在运动的过程中,为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积.‎ ‎(2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.‎ ‎ 1题图 2题图 2. 如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=, CD=,高CE=,对角线AC、BD交于点H.平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发,沿AC方向向点C匀速平移,分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G,当直线RQ到达点C时,两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为,被直线RQ扫过的面积为,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒.‎ ‎(1)填空:∠AHB=____________;AC=_____________;‎ ‎(2)若,求x.‎ 3. 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=‎8cm,BC=‎6cm,点P、Q同时从点C出发,以‎1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动.过点P作AC的垂线l交AB于点R,连接PQ、RQ,并作△PQR关于直线l对称的图形,得到△PQ'R.设点Q的运动时间为t(s),△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2).‎ ‎(1)t为何值时,点Q' 恰好落在AB上?‎ ‎(2)求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.‎ ‎(3)S能否为?若能,求出此时t的值;‎ 若不能,请说明理由.‎ ‎ ‎ 1. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=‎2cm,AC=‎4cm,动点P从点A出发,沿AB方向以‎1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以‎1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.以AP为边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形APDE和梯形BCFQ重叠部分的面积为Scm2.‎ ‎(1)当t=_____s时,点P与点Q重合;‎ ‎(2)当t=_____s时,点D在QF上;‎ ‎(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,‎ 求S与t之间的函数关系式.‎ 2. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、D(-2,0),作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD.‎ ‎(1)填空:点B的坐标为________,点C的坐标为_________.‎ ‎(2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移,直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动.在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为S,求S关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围.‎ O M A N B C y x 3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y=x与直线l2:y=-x+6相交于点M,直线l2与x轴相交于点N.‎ ‎(1)求M,N的坐标.‎ ‎(2)已知矩形ABCD中,AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时结束).求S与自变量t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围. ‎ 二、二次函数中的存在性问题 一、知识点睛 解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤:‎ ‎①画图分析.研究确定图形,先画图解决其中一种情形.‎ ‎②分类讨论.先验证①的结果是否合理,再找其他分类,类比第一种情形求解.‎ ‎③验证取舍.结合点的运动范围,画图或推理,对结果取舍.‎ 二、精讲精练 1. 如图,已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似,请求出所有符合条件的点P的坐标.‎ 2. 抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.点P在抛物线上,直线PQ//BC交x轴于点Q,连接BQ.‎ ‎(1)若含45°角的直角三角板如图所示放置,其中一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上,求直线BQ的函数解析式;‎ ‎(2)若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上(点D不与点Q重合),另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.‎ 3. 如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且OD=10,‎ OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合.‎ ‎(1)若抛物线经过A、B两点,求该抛物线的解析式:______________;‎ ‎(2)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点,‎ 作MN⊥x轴于点N.是否存在点M,使△AMN 与△ACD相似?若存在,求出点M的坐标;‎ 若不存在,说明理由.‎ 1. 已知抛物线经过A、B、C三点,点P(1,k)在直线BC:y=x3上,若点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 2. 抛物线与y轴交于点C,与直线y=x交于A(-2,-2)、B(2,2)两点.如图,线段MN在直线AB上移动,且,若点M的横坐标为m,过点M作x轴的垂线与x轴交于点P,过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q.以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.‎ 三、二次函数与几何综合 一、知识点睛 ‎“二次函数与几何综合”思考流程:‎ 关键点坐标 几何特征 转 线段长 ‎ 几何图形 函数表达式 整合信息时,下面两点可为我们提供便利:‎ ‎①研究函数表达式.二次函数关注四点一线,一次函数关注k、b; ‎ ‎②)关键点坐标转线段长.找特殊图形、特殊位置关系,寻求边和角度信息.‎ 二、精讲精练 1. ‎ 如图,抛物线y=ax2-5ax+4(a<0)经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC.‎ ‎(1)求抛物线的解析式.‎ ‎(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使|MA-MB|最大?‎ 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 1. ‎ 如图,已知抛物线y=ax2-2ax-b(a>0)与x轴交于A、B两点,点A在点B的右侧,且点B的坐标为(-1,0),与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.连接AC、CD,∠ACD=90°.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,‎ 且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标.‎ 2. ‎ 如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8. ‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.设△PDE的周长为l,‎ 点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值.‎ 3. ‎ 已知,抛物线经过A(-1,0),C(2,)两点,‎ 与x轴交于另一点B.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点 (不与点B重合),点Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设线段OP=x,MQ=,求y2与x的函数关系式,‎ 并直接写出自变量x的取值范围.‎ 4. ‎ 已知抛物线的对称轴为直线,且与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,-3).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A),‎ ‎①如图1,当△PBC的面积与△ABC的面积相等时,求点P的坐标;‎ ‎②如图2,当∠PCB =∠BCA时,求直线CP的解析式.‎ 图1 图2‎ 四、中考数学压轴题专项训练 ‎1.如图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1),B(3,1).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过点P作PQ⊥OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(00)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为P,交x轴负半轴于点M,交射线AB于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值.‎ 图1 图2‎ 附:参考答案 一、图形运动产生的面积问题 ‎1. (1)当t=时,四边形MNQP恰为矩形.此时,该矩形的面积为平方厘米.‎ ‎(2) 当0<t≤1时,;当1<t≤2时,;‎ 当2<t<3时, ‎ ‎2.(1)90°;4 (2)x=2. ‎ ‎3.(1)当t=时,点Q' 恰好落在AB上.‎ ‎(2)当0<t≤时,;当<t≤6时, ‎ ‎(3)由(2)问可得,当0<t≤时, ;‎ 当<t≤6时,;‎ 解得,或,此时. ‎ ‎4.(1)1 (2)(3)当1<t≤时,;‎ 当<t<2时,. ‎ ‎5.(1)(﹣1,3),(﹣3,2) (2)当0<t≤时,;当<t≤1时,;‎ 当1<t≤时,. ‎ ‎6.(1)M(4,2) N(6,0)(2)当0≤t≤1时,;‎ 当1<t≤4时,;‎ 当4<t≤5时,;‎ 当5<t≤6时,;‎ 当6<t≤7时, ‎ 二、二次函数中的存在性问题 ‎1.解:由题意,设OA=m,则OB=‎2m;当∠BAP=90°时,‎ ‎△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA;‎ ① 若△BAP∽△AOB,如图1,‎ 可知△PMA∽△AOB,相似比为2:1;则P1(‎5m,‎2m),‎ 代入,可知,‎ ② 若△BAP∽△BOA,如图2,‎ 可知△PMA∽△AOB,相似比为1:2;则P2(‎2m,),‎ 代入,可知,‎ 当∠ABP=90°时,△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA;‎ ③ 若△ABP∽△AOB,如图3,‎ 可知△PMB∽△BOA,相似比为2:1;则P3(‎4m,‎4m),‎ 代入,可知,‎ ④ 若△ABP∽△BOA,如图4,‎ 可知△PMB∽△BOA,相似比为1:2;则P4(m,),‎ 代入,可知,‎ ‎2.解:(1)由抛物线解析式可得B点坐标(1,3).‎ 要求直线BQ的函数解析式,只需求得点Q坐标即可,即求CQ长度.‎ 过点D作DG⊥x轴于点G,过点D作DF⊥QP于点F.‎ 则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF,∴矩形DGQF为正方形.‎ 则∠DQG=45°,则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3,此时,Q点坐标为(4,0)‎ 可得BQ解析式为y=-x+4.‎ ‎(2)要求P点坐标,只需求得点Q坐标,然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.‎ 而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°,所以分两种情况来讨论.‎ ① 当∠DCE=30°时,‎ a)过点D作DH⊥x轴于点H,过点D作DK⊥QP于点K.‎ 则可证△DCH∽△DEK.则,‎ 在矩形DHQK中,DK=HQ,则.‎ 在Rt△DHQ中,∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中,∴CQ=,此时,Q点坐标为(1+,0)‎ 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P(1+,).‎ b)又P、Q为动点,∴可能PQ在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称.‎ ‎ 由对称性可得此时点P坐标为(1-,)‎ ① 当∠DCE=60°时,‎ a) 过点D作DM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥QP于点N.‎ 则可证△DCM∽△DEN.则,‎ 在矩形DMQN中,DN=MQ,则.‎ 在Rt△DMQ中,∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中,‎ ‎∴CQ=BC=,此时,Q点坐标为(1+,0)‎ 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P(1+,).‎ b)又P、Q为动点,∴可能PQ在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称.‎ 由对称性可得此时点P坐标为(1-,)‎ 综上所述,P点坐标为(1+,),(1-,),(1+,)或(1-,).‎ ‎3.解:(1)∵AB=BC=10,OB=8 ∴在Rt△OAB中,OA=6 ∴ A(6,0)‎ 将A(6,0),B(0,-8)代入抛物线表达式,得,‎ ‎ (2)存在:‎ 如果△AMN与△ACD相似,则或 设M(00,∴a=1‎ ‎∴抛物线的解析式为:‎ ‎(2)当AB为平行四边形的边时,则BA∥EF,并且EF= BA =4 由于对称轴为直线x=1,∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3 将x=5代入得y=12,∴F(5,12).将x=-3代入得y=12,∴F(-3,12). 当AB为平行四边形的对角线时,点F即为点D, ∴F(1,4). 综上所述,点F的坐标为(5,12),(3,12)或(1,4).‎ ‎ ‎ ‎3、解:(1)对于,当y=0,x=2;当x=8时,y=.‎ ‎∴A点坐标为(2,0),B点坐标为 ‎ 由抛物线经过A、B两点,得 ‎ 解得 ‎ ‎(2)设直线与y轴交于点M 当x=0时,y=. ∴OM=.‎ ‎∵点A的坐标为(2,0),∴OA=2,∴AM= ‎ ‎∴OM:OA:AM=3:4:5.‎ 由题意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,∴△AOM ∽△PED.‎ ‎∴DE:PE:PD=3:4:5‎ ‎∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点,‎ ‎∴PD=‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 由题意知: ‎ ‎4、解:(1) ∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1,0),C(0,)两点,‎ ‎∴,∴,∴拋物线的解析式为y1= -x2+x+ ‎(2)解法一:过点M作MN⊥AB交AB于点N,连接AM 由y1= -x2+x+可知顶点M(1,2) ,A(-1,0),B(3,0),N(1,0)‎ ‎∴AB=4,MN=BN=AN=2,AM=MB=.‎ ‎∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形.‎ ‎∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°‎ ‎∴∠QPB=∠PMA 又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA ‎∴ 将AM=,AP=x+1,BP=3-x,BQ=代入,‎ 可得,即.‎ ‎∵点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)∴0£x<3 ‎ 则y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)‎ 解法二:‎ 过点M作MN⊥AB交AB于点N.‎ 由y1= -x2+x+易得M(1,2),N(1,0),A(-1,0),B(3,0),‎ ‎∴AB=4,MN=BN=2,MB=2,ÐMBN=45°.‎ 根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2. ∴…①,‎ 又ÐMPQ=45°=ÐMBP,∴△MPQ∽△MBP,∴=y2´2‎ 由j、k得y2=x2-x+.‎ ‎∵0£x<3,∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3) ‎ ‎5、解:(1)由题意,得,解得 ‎∴抛物线的解析式为.‎ ‎(2)①令,解得 ∴B(3, 0)‎ 则直线BC的解析式为 当点P在x轴上方时,如图1,‎ 过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P,∴设直线AP的解析式为,‎ ‎∵直线AP过点A(1,0),∴直线AP的解析式为,交y轴于点.‎ 解方程组,得 ∴点 当点P在x轴下方时,如图1,‎ 根据点,可知需把直线BC向下平移2个单位,此时交抛物线于点,‎ 得直线的解析式为,‎ 解方程组,得 ‎∴ ‎ 综上所述,点P的坐标为:‎ ‎,‎ ‎②过点B作AB的垂线,交CP于点F.如图2,∵‎ ‎∴OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45°‎ 又∵∠PCB=∠BCA,BC=BC ∴△ACB≌△FCB ‎∴BF=BA=2,则点F(3,-2)又∵CP过点F,点C ∴直线CP的解析式为.‎ 四、中考数学压轴题专项训练答案 ‎1.(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3)t=1或2.‎ ‎2.(1),;‎ ‎(2);‎ ‎(3)存在,点P的坐标为.‎ ‎3.(1),;‎ ‎(2);‎ ‎(3)15.‎ ‎4.(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3).‎ ‎5.(1);‎ ‎(2)①,当时,;‎ ‎②.‎ ‎6.(1);‎ ‎(2); (3).‎
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