上海市闵行区高考数学一模试卷理科含解析答案

上海市闵行区高考数学一模试卷理科含解析答案

‎2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．‎ ‎1．（4分）（2015•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁UA=　[﹣1，4]　．‎ ‎2．（4分）（2015•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=　﹣1+i　．‎ ‎3．（4分）（2015•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=　﹣　．‎ ‎4．（4分）（2015•闵行区一模）计算 =　　．‎ ‎5．（4分）（2015•闵行区一模）设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=　1　．‎ ‎6．（4分）（2015•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=　　．‎ ‎7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为　　．‎ ‎8．（4分）（2015•闵行区一模）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是　　．‎ ‎9．（4分）（2015•闵行区一模）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为　　．‎ ‎【解析】： 解：如图，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×=，‎ 则 当且同向时，则取得最大值．‎ 所以3||cos∠BAM=3（+OM）=；‎ 故答案为：．‎ ‎10．（4分）（2015•闵行区一模）函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是　　．‎ ‎【解析】： 解：y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．‎ 当x≥1时，f（x）=1+2log2x≥1，当且仅当x=1时取等号；‎ 当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x=时取等号；‎ 当时，f（x）=1，因此时等号成立．‎ 综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎11．（4分）（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为　5　．‎ ‎【解析】： 解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，‎ 记函数h（x）=，‎ ‎∴可知h（x）关于直线y=x对称．‎ ‎∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）‎ ‎∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，‎ x1+x2=2×=5‎ ‎∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．‎ 设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．‎ 故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．‎ 故答案为：5．‎ ‎12．（4分）（2015•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为　　．‎ ‎【解析】： 解：设|PF1|=s，|PF2|=t，‎ 由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），‎ 即有c=2，‎ 在三角形PF‎1F2中，‎ 由余弦定理可得‎4c2=s2+t2﹣2stcos60°‎ 即s2+t2﹣st=16，‎ 由椭圆的定义可得s+t=‎2m（m＞0），‎ 由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），‎ 解得s=m+n，t=m﹣n．‎ 即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，‎ 即有mn≤．‎ 当且仅当m=n，取得最大值．‎ 故答案为：．‎ ‎13．（4分）（2015•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜（•）sinB，则下列结论中：‎ ‎①a2＜b2+c2； ②c2＞a2+b2；‎ ‎③cosBcosC＞sinBsinC； ④△ABC是钝角三角形．‎ 其中正确结论的序号是　①②④　．‎ ‎14．（4分）（2015•闵行区一模）已知数列f（2x）=af（x）+b满足：对任意n∈N*均有an+1=pan+3p﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为　{﹣1，﹣3，﹣29}　．‎ ‎【解析】： 解：（1）取a2=﹣19，a3=﹣7时，‎ ‎﹣7=﹣19p+3p﹣3，解得p=，‎ ‎=﹣4，不成立；‎ ‎（2）取a2=﹣19，a3=﹣3时，‎ ‎﹣3=﹣19p+3p﹣3，解得p=0，‎ a4=﹣3，此时a1=﹣3；‎ ‎（3）取a2=﹣19，a3=5时，‎ ‎5=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，‎ a4=5×=﹣7，‎ a5=﹣7×=﹣1，不成立；‎ ‎（4）取a2=﹣19，a3=10时，‎ ‎10=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，‎ a4=10×=﹣，不成立；‎ ‎（5）取a2=﹣19，a3=29时，‎ ‎29=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣2，‎ a4=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；‎ ‎（6）取a2=﹣7，a3=﹣3时，‎ ‎﹣3=﹣7p+3p﹣3，解得p=0，‎ a4=﹣3，此时a1=﹣3；‎ ‎（7）取a2=﹣7，a3=5，‎ 得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，‎ ‎∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，‎ a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，‎ ‎∴﹣7=﹣‎2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1；‎ ‎（8）取a2=﹣7，a3=10时，‎ ‎10=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣，‎ ‎=，不成立；‎ ‎（9）取a2=﹣7，a3=29时，‎ ‎29=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣8，‎ a4=29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3=﹣259，不成立；‎ ‎（10）取a2=﹣7，a3=﹣19时，‎ ‎﹣19=﹣7p+3p﹣3，解得p=4，‎ a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67，不成立；‎ ‎（11）取a2=﹣3，a3=﹣19时，‎ ‎﹣19=﹣3p+3p﹣3，不成立；‎ ‎（12）取a2=﹣3，a3=﹣7时，‎ ‎﹣7=﹣3p+3p﹣3，不成立；‎ ‎（13）取a2=﹣3，a3=5时，‎ ‎5=﹣3p+3p﹣3，不成立；‎ ‎（14）取a2=﹣3，a3=10时，‎ ‎10=﹣3p+3p﹣3，不成立；‎ ‎（15）取a2=﹣5，a3=29时，‎ ‎29=﹣3p+3p﹣3，不成立；‎ ‎（16）取a2=5，a3=﹣19时，‎ ‎﹣19=5p+3p﹣3，解得p=﹣2，‎ a4=﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=29，‎ a5=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；‎ ‎（17）取a2=5，a3=﹣7时，‎ ‎﹣7=5p+3p﹣3，解得p=﹣，‎ ‎=﹣1，不成立；‎ ‎（18）取a2=5，a3=﹣3时，‎ ‎﹣3=5p+3p﹣3，解得p=0，‎ a4=﹣3，此时a1=﹣3；‎ ‎（19）取a2=5，a3=10时，‎ ‎10=5p+3p﹣3，解得p=，‎ ‎=，不成立；‎ ‎（20）取a2=5，a3=29时，‎ ‎29=5p+3p﹣3，解得p=4，‎ a4=29×4+3×4﹣3=125，不成立；‎ ‎（21）取a2=10，a3=﹣19时，‎ ‎﹣19=10p+3p﹣3，解得p=﹣，‎ ‎=﹣，不成立；‎ ‎（22）取a2=10，a3=﹣7时，‎ ‎﹣7=10p+3p﹣3，解得p=﹣，‎ a4=﹣7×=﹣，不成立；‎ ‎（23）取a2=10，a3=﹣3时，‎ ‎﹣3=10p+3p﹣3，解得p=0，‎ a4=﹣3，此时a1=﹣3；‎ ‎（24）取a2=10，a3=5时，‎ ‎5=10p+3p﹣3，解得p=，‎ a4=5×﹣3=，不成立；‎ ‎（25）取a2=10，a3=29时，‎ ‎29=10p+3p﹣3，解得p=，‎ a4=29×+3×=，不成立；‎ ‎（26）取a2=29，a3=﹣19时，‎ ‎﹣19=29p+3p﹣3，解得p=﹣，‎ ‎=5，‎ ‎，‎ ‎29=﹣﹣3×，解得a1=﹣67；‎ ‎（27）取a2=29，a3=﹣7时，‎ ‎﹣7=29p+3p﹣3，解得p=﹣，‎ a4=﹣7×﹣3=﹣，不成立；‎ ‎（28）取a2=29，a3=5时，‎ ‎5=29p+3p﹣3，解得p=，‎ a4==1，不成立；‎ ‎（29）取a2=29，a3=10时，‎ ‎10=29p+3p﹣3，解得p=，‎ a4=10×=，不成立；‎ ‎（30）取a2=29，a3=﹣3时，‎ ‎﹣3=29p+3p﹣3，解得p=0，‎ a4=﹣3，此时a1=﹣3．‎ 综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．‎ 故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．‎ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．‎ ‎15．（5分）（2015•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O与直线l相切的（　　）‎ ‎　 A． 充要条件 B． 充分不必要条件 ‎　 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎16．（5分）（2015•闵行区一模）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（　　）‎ ‎　 A． ﹣1 B． ‎1 C． 256 D． ﹣256‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2015•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（　　）‎ ‎　 A． 若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0‎ ‎　 B． 若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点 ‎　 C． 若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点 ‎　 D． 如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点 ‎18．（5分）（2015•闵行区一模）数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k=．则（　　）‎ ‎　 A． k=4． B． k=2．‎ ‎　 C． k=1． D． k的值与公差d的大小有关．‎ ‎【解析】： 解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为=a1008，‎ 所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．‎ 数据，，，…，的平均数为a1+d，‎ 所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2015﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．‎ 所以k==2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（12分）（2015•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直线A1B与平面BB‎1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．‎ ‎【解析】： 解法一：∵A‎1C1⊥B‎1C1，A‎1C1⊥CC1，B‎1C1∩C‎1C=C1，‎ ‎∴A‎1C1⊥平面BB‎1C1C，‎ ‎∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB‎1C1C所成的角．‎ 设CC1=y，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y． 得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．‎ ‎ 则，‎ 平面BB‎1C1C的法向量为．‎ 设直线A1B与平面BB‎1C1C所成的角为θ，‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2015•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）‎ ‎（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；‎ ‎（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．‎ ‎【解析】： 解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．‎ ‎（2）4360﹣﹣16x≥2760，‎ 所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），‎ 所以（x﹣50）2≤0，‎ 所以x=50．‎ ‎21．（14分）（2015•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•=0．‎ ‎（1）求椭圆Γ的方程；‎ ‎（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．‎ ‎【解析】： 解：（1）由于椭圆Γ过点，‎ 即有，解得a2=2，‎ 又•=0，‎ 则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，‎ 又，‎ 得，，‎ 即有，‎ 而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣‎2c+1=0得c=1，‎ 故椭圆Γ的方程是． ‎ ‎（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），‎ 则，且x1+x2=2，y1+y2=1，‎ 由，‎ 得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ 即，‎ 所以CD所在直线的方程为，‎ 将，代入x2+2y2=2得，‎ 即有x1+x2=2，x1x2=．‎ ‎．‎ 法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），‎ 则，‎ 两等式相减得，‎ 将，代入x2+2y2=2得，‎ 则有．　‎ ‎22．（16分）（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣‎2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，请说明理由．‎ ‎【解析】： 解：（1）‎ ‎=，‎ 函数f（x）的最小正周期T=π，‎ ‎（2）当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 存在，‎ 满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．‎ ‎（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）=1成立．‎ 当时，，，‎ 设，则a∈[﹣1，1]，由，‎ 得．‎ 所以x2的集合为，‎ ‎∵，‎ ‎∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）=1成立．‎ ‎23．（18分）（2015•闵行区一模）已知数列{an}为等差数列，a1=2，其前n和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣bq=2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．‎ ‎（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】： 解（1）法1：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q．‎ ‎∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）•2n+2+4，‎ 令n=1，2，3分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，‎ 又a1=2，‎ ‎∴，即，‎ 解得：或．‎ 经检验d=2，q=2符合题意，不合题意，舍去．‎ ‎∴．‎ 法2：∵ ①‎ 则（n≥2）②‎ ‎①﹣②得，，‎ 又a1b1=4，也符合上式，‎ ‎∴，‎ 由于{an}为等差数列，令an=kn+b，则，‎ ‎∵{bn}为等比数列，则（为常数），‎ 即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，‎ ‎∴q=2，b=0，‎ 又a1=2，∴k=2，‎ 故；‎ ‎（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q=2020，‎ 化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2，‎ 由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，‎ ‎∴2q﹣2为奇数，故q=2．‎ 得4p2+8p﹣501=1，即2p2+4p﹣251=0，‎ 故，这与p∈N*矛盾，‎ ‎∴不存在满足题设的正整数p，q；‎ ‎（3）由an=2n，得，‎ 设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜bn.，‎ ‎∵bn＞0，‎ ‎∴bn+1＞bn，数列{bn}单调递增．‎ 假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，则 ‎①当n为奇数时，得； ‎ ‎②当n为偶数时，得，即．‎ 综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．‎