湘教版九年级数学上册第三章 图形的相似 精品教学课件

湘教版九年级数学上册第三章 图形的相似 精品教学课件

3.1 比例线段 第3章 图形的相似 3.1.1 比例的基本性质 湘教版九年级数学上册教学课件 1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点） 2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解 决一些实际问题.（难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是 由(1)缩小得到的. （1） （2） P Q P′ Q′ 在照片(1)中任意取四个点P，Q，A ， B在照片 (2)找出对应的两个点P′，Q′，A ′, B ′量出线段PQ， P′Q′，AB，  A′B′的长度.计算它们的长度的比值. A A´ B´B 讲授新课 比例的基本性质一 合作探究 问题1：如果四个数a , b, c, d成比例，即 那么 ad = bc吗？反过来如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成 比例吗？ 如果四个数a,b,c,d成比例，即 那么ad=bc吗？ 在等式两边同时乘以bd,得ad=bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad=bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 . 如果ad=bc,那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而 在分式中，分母不能为0. 典例精析 例1 已知四个数a，b，c，d成比例，即 . 下列各式成立吗？若成立，请说明理由. ① ② ④ ③ 由此得到 解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等， 因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立. 由①式得 ad=bc. 在上式两边同除以cd，得 在①式两边都加上1，得 例2：根据下列条件，求 a : b 的值： （1） 4a=5b ； （2） （2）∵                 ，∴8a=7b，∴ 解   （1）∵ 4a=5b，∴ 例3：已知                 ，求       的值. 解：解法1：由比例的基本性质， 得 2（a+3b）=7×2b. ∴a=4b，∴      = 4. 解法2：由                  ，得                   . ∴ , ，那么 、 各等于多少？2．已知 1．已知：　线段a、b、c满足关系式 且b＝4，那么ac＝______． ， 练一练 16 问题2：已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果                 （b+d+f≠0）,那么                        成立吗？为什么？        设 ,则          a = kb, c = kd , e= kf . 所以 等比性质（拓展）二 由此可得到比例的又一性质： 例3：在△ABC与△DEF中，已知                                   ， 且△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长. 解：∵ ∴ ∴4(AB + BC + CA)=3(DE + EF + FD). 即 AB+BC+CA = (DE+EF+FD) ， 又  △ABC的周长为18cm，            即   AB+BC+CA=18cm. ∴  △DEF的周长为24cm. 例4：若a，b，c都是不等于零的数，且                                           ，求k的值. 得                            ， 则k＝＝2； 当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c. 此时 综上所述，k的值是2或－1. 解：当a＋b＋c≠0时，由                                   ， 1.(1)已知 ，那么 = ， = . (3)如果 ，那么 . (2)如果 那么 . 当堂练习 2.2.已知四个数已知四个数aa，，bb，，cc，，dd成比例成比例.. （（11）若）若aa=-3=-3，，bb=9=9，，cc=2=2，求，求dd；； （（22）若）若aa=-3=-3，，bb=       =       ，，cc=2=2，求，求d.. 比例的性质 如果               那么 ad = bc 基本性质 等比性质 如果ad = bc（a , b, c, d）都不等于0，那么 课堂小结 3.1 比例线段 第3章 图形的相似 3.1.2 成比例线段 湘教版九年级数学上册教学课件 1.理解线段的比与成比例线段的关系； （重点、难点） 2.了解并掌握黄金分割问题．(重点、难点) 学习目标 两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？ 导入新课 线段的比和成比例线段 一     如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度 分别是m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 A B C D m n AB:CD= m : n 或        如果把        表示成比值k,那么    =k，或AB=k · CD,两条线段的比实际上就是两个数的比. 讲授新课 1.若线段AB＝6cm，CD＝4cm，则             . 2.若线段AB＝8cm，CD＝2dm，则             . 思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关 ？ 有 关？？ 无 关？？ 求两条线段的比时，所使用的长度单位 应该统一 在对长度单位进行统一时，无论采用哪一 种单位，比值都相同. 注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提 下进行，但比值却是一个不带单位的正数. 练一练 4.五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB ＝5cm，A'B'＝3cm，AB∶A'B'＝             . A B C D E A' B' C' D' E' 5∶3 3.已知线段AB＝8cm，A'B'＝2cm，AB∶A'B'的比为　　　         ，AB∶A'B'的比值为      ，AB＝　　A'B'.4∶1 4 4 练一练 做一做：设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形 EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD, EF, EH的长 度分别是多少？ A B C D G H E F 计算　　 　　　 的值，你发现了什么？ A B C D G H E F 四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即             ，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段，简称比 例线段. 归纳总结 AB，EF，AD，EH是成比例线段， AB，AD，EF，EH也是成比例线段. 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 如果 或 a：b=c：d， 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，  a、d  叫做比例外项， b、c  叫做比例内项， d  叫做 a、b、c的第四比例项. 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即 a:b=b:c，则b叫做a,c的比例中项. 相关概念 例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：　 （1）a＝0.8cm，b＝2cm，c＝5cm，d＝10cm； 解： （1）∵　 ∴　线段a、b、c、d 是成比例线段． ， ∴　 ， 典例精析 （2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝        ． （2）　∵　 ∴　 ∴　线段a、b、c、d是成比例线段．      注意:      1.若a:b=k , 说明a是b的 k 倍；      2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但 求比时两条线段的长度单位必须一致；        3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；       4.除了a=b外,a:b≠b:a,                互为倒数. 1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么 ？ 成比例线段 不成比例线段 2.下列各组线段中成比例线段的是　　（　　）C 练一练 解：根据题意可知,AB=am, AE= a m,AD=1m .           由                  ，得       即                开平方,得  例2：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中 所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出 的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 即                  ，那么a的值应当是多少？ D A F E C B 黄金分割的概念二 一个五角星如下图所示. 问题：度量C到点A、B的距离, 与 相等吗？ A C B A BC A BC        点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果                  , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄 金分割点,AC与AB的比称为黄金比. 概念学习 1.计算黄金比. 解：由                ，得AC2 = AB·BC.         设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x. ∴  x2 = 1 ×（1 - x）. 即      x2 + x – 1 = 0. 解方程得：x1=                 x2= 黄金比 做一做 2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图: 1.经过点B作BD⊥AB,使BD=    AB 2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. 思考：点C是线段AB的黄金分割点吗? A B D E C 巴台农神庙 （Parthenom Temple） F C A E B D 想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所 示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作 正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现               ，  点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的 比是黄金比吗？为什么? 点E是AB的黄金分割点 （即      ）是黄金比 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B CD E F 例3：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金 分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈 脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为 1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得     ，解得x = 0.96.         设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则                       解得   y≈0.075，而0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美. 1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的 一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长 为20 cm，则它的宽约为(        ) (A)12.36 cm              (B)13.6 cm   (C)32.36 cm              (D)7.64 cm 【解析】选A.  0.618×20=12.36(cm). A 练一练 2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似 于黄金分割，已知AB=10 cm，则AC的长约为 _____cm.（结果精确到0.1 cm） 【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意 知 ∴AC2=(10-AC)×10，解得AC≈6.2 cm. 6.2 3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端 点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点， 则AC=______cm，DC=_______cm. 【解析】由黄金分割定义可知， AC=BD=      ×AB=(40    -40)cm, AD=AB-BD=(120-40     ) cm, 所以DC=AC-AD=(80    -160) cm. 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北 纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在 安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起 许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的 黄山，庐山，九寨沟等等。 衔远山，吞长江的中国三大 淡水湖也恰好在这黄金分割 的纬度上。 大自然与黄金分割 图中主叶脉与叶柄和 主叶脉的长度之和比 约为0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的 宽与长之比也接近0.618; 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型， 有时还是医疗效果黄金点，许多民间 名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。 人体最感舒适的温度是23℃(体温)， 也 是 正 常 人 体 温 (37℃)的 黄 金 点 (23=37×0.618).这说明医学与0.618 有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体 还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金 点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在 膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与 下肢长度之比均近似0.618. 在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起 来就越美． B C A 设计与黄金分割     文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但 这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618. 东方明珠塔，塔高 468米.设计师在263米处 设计了一个球体，使平直 单调的塔身变得丰富多彩， 非常协调、美观. 人的俊美,体现在头部及躯 干是否符合黄金分割. 美神维纳斯，她身体的各个 部位都暗藏比例0.618，虽然 雕像残缺，却能仍让人叹服她 不可言喻的美． 黄金分割的魅力 Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6， 而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里 面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。 当堂练习 1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽 的比为（         ）    A.100:3       B.1:3             C.10:3               D.1000:3 2.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的 比例尺为（        ）   A.5:1            B. 1:5           C.1:500000        D.500000:1 A C 3.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设 以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩 形面积为S2，则S1与S2的关系是（      ） A．S1>S2   B．S1 BC > CA，在 △ DEF中，          DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF.  A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵                          ，                        ，                        ， ∴                            .  判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了 两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比 值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短 边对应. 归纳总结 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断 它们是否相似. (3) AB=12，  BC=15，   AC＝24， DE＝16，EF＝20，  DF＝30. (2) AB=4，    BC =8，    AC＝10 ， DE＝20，EF＝16，  DF＝8； (1) AB =3，    BC =4，    AC＝6 ， DE＝6，   EF＝8，    DF＝9 ； 是 否 否 练一练   例3:如图, 方格网的小方格是边长为1的正方形， △ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，△ ABC与   △A′B′C′相似吗?为什么? C B A A′ B′ C′ 解：△ ABC与△ A′B′C′的顶点 都在格点上，根据勾股定理，得 ∴ △ ABC与△ A′B′C′相似. ∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC    = ∠DAE －∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°.                                      ∴ △ABC ∽△ADE (三边 成   比例的两个三角形相似). 例4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，                           ∠BAD=20°，求∠CAE的度数. A B C D E 解：∵ 解：在 △ABC 和 △ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE，  ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E. ∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE. 故图中相等的角有∠BAC=∠DAE， ∠B=∠D，∠C=∠E， ∠BAD=∠CAE.         如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出 图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由. 练一练 A B C D E 当堂练习 1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为       (   ) A B C D E F A. 20          B. 27          C. 36          D. 45 C 2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三      角形的是                                                              (   ) ① ② ③ ④ A. ①和②                 B. ②和③  C. ①和③                 D. ②和④ C 3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论     正确的是                                                                (   )      A. △PAB∽△PCA         B. △PAB∽△PDA       C. △ABC∽△DBA        D. △ABC∽△DCA   A CBP D C                                                           ∵ AB : BC =  BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C. 解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°， ∴AB=      ，AC=     ，AD=       . 4. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似： AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm， A′B′=12cm ，B′C′=18cm ，A′C′=21cm. 答案：不相似. 5. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴  △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB， BC， CA的中点，∴ ∴ 6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，     已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，      DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你     的理由. A CB D28 14 21 42 31.5 解：公路 AB 与 CD 平行. ∴ ∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC， ∴AB∥DC. 三边成比例 的两个三角 形相似  利用三边判定两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用  3.4.2 相似三角形的性质 第3章 图形的相似 第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质 3.4 相似三角形的判定与性质 湘教版九年级数学上册教学课件 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题． （难点） 学习目标 A C B A1 C1 B1 问题1：   △ABC与△A1B1C1相似吗？ 导入新课 A C B A1 C1 B1 相似三角形对应角相等、对应边成比例. △ABC∽ △A1B1C1 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 量一量，猜一猜 D1A1 C1 B1 ∟A C BD ∟   ΔABC ∽ ΔA1B1C1,                    ,CD和C1D1分别是 它们的高, 你知道            等于多少吗？        如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们 对应高的比各是多少？ 讲授新课 A B C A' B' C' 合作探究 相似三角形对应高的比等于相似比一 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， 解：如图，分别作出 △ABC 和            △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．  则∠ADB =∠A' D' B'=90°.  ∴△ABD ∽△A' B' D' . A B C A' B' C'D' D 由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比． 　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的 高的比也等于相似比．  归纳总结 1. ΔABC∽ ΔA1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线， 2.   已知             ,B1D1 =4cm，则BD=             cm.6 2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分   线，已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ΔABC与   ΔA1B1C1的对应高之比为              .8:3 练一练 3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影 子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的 距离是3m，则P到AB的距离是               m.   P A D B C 2 4 1.5 例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上， 点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm， AD=40cm，四边形PQRS是正方形. (1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？ (2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ (3)求正方形PQRS的边长. S R QP E D CB A 典例精析 （1）AE是ΔASR的高吗？为什么 ？解： AE是ΔASR的高.       理由：  ∵AD是ΔABC的高  ∴ ∠ADC=90°  ∵四边形PQRS是正方形  ∴SR∥BC  ∴∠AER=∠ADC=90°  ∴ AE是ΔASR的高. BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. S R QP E D CB A BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？    解： ΔASR与ΔABC相似.   理由:      ∵ SR∥BC      ∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C      ∴ ΔASR与ΔABC相似. S R QP E D CB A （3）求正方形PQRS的边长. 是方程 思想哦！ 解：∵ ΔASR ∽ ΔABC     AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC     对应边上的高     ∴                  设正方形PQRS的边长为 x cm,     则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm     ∴                         解得：x=24     ∴正方形PQRS的边长为24cm. S R QP E D CB A 例2：如图，CD是RtΔABC斜边AB上的高，DE⊥AC， 垂足为点E，已知CD=2，AB=         ,AC=4，求DE的长. 解：在Rt△ABC与Rt△ACD中， ∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°， ∴△ABC∽△ACD. 又CD,DE分别为它们斜边上的高， ∴ 又CD=2，AB=        ，AC=4, ∴DE=      . C E D BA 变式： 如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R 在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm ，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形 的面积吗？ S R QP E D CB A 如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm. 设SP=xcm，则SR=2x cm   得到：                                 所以   x=2   2x=4   S矩形PQRS= 2×4=8cm2  S R QP E D CB A分析： 情况一：SR=2SP 设SR=xcm，则SP=2x cm 得到：                               所以   x=2.5   2x=5 S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2  原来是分 类思想呀！ S R QP E D CB A 分析： 情况二：SP=2SR 如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比 二 问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对 应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为 对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分 线，那么它们之间有什么关系呢？ A B CD E A' B' D' C' E' 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠B′= ∠B,                      ．         又AD,AD′分别为对应边的中线. ∴ △ABD∽△A′B′D′. A' B' D' C' E' A B CD E 验证猜想1 由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相 似比． 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角 形对应边上的角平分中线的比等于相似比． 归纳总结 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B′= ∠B, ∠B′A′C′= ∠BAC．         又AD,AD′分别为对应角的平方线             ∴ △ABD∽△A′B′D′. A' B' D' C' E' A B CD E 验证猜想2 相似三角形对应高的比、对应角平分线 的比、对应中线的比都等于相似比． 归纳总结 例3：两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线长为xcm， 则由相似性质有          . 解得x＝18. 较长的角平分线长为24cm. 故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm. 解：∵ △ABC∽△A′B′C′， 　 ∴∠B=∠B',∠BAC=∠B′A′C′ 又AT、A′T′分别为对应角∠BAC 和∠B′A′C′的角平分线， ∴△ABT∽△A′B′T′. A TB C A′ B′ C′T′ 例4：如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AT、A′T′分别为 对应角∠BAC和∠B′A′C′的角平分线，求证： 3．两个相似三角形对应中线的比为 ， 则对应高的比为______ . 当堂练习 2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角 平分线的比为______.2∶ 3 1．两个相似三角形的相似比为 , 则对应高 的比为_________, 则对应中线的比为 _________. 4.如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上， 点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当                时， 求DE的长.如果 呢？ 　 ∴△ASR∽△ABC  (两角分别相等的两个三角形相似). 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD， B A E R CD S∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C. (相似三角形对应高的比等于相似比) ， 当 时，得 解得 B A E R CD S 当 时，得 解得 选做题： 5. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m， 面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形 桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示， 请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加 工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留） F AB C D E （1） FG B A C ED （2） 相信自己 是最棒的！ S R QP E D CB A 7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中 小正方形的边长. A CB D (1) A CB D (5) D CB A (4) A CB D (3) D CB A (1) A CB D (2) 相似三 角形的 性质 相似三角形对应高的 比等于相似比 课堂小结 相似三角形对应角平 分线的比等于相似比 相似三角形对应中线 的比等于相似比 第2课时 相似三角形对应周长和面积的性质 3.4.2 相似三角形的性质 第3章 图形的相似 3.4 相似三角形的判定与性质 湘教版九年级数学上册教学课件 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面 积的比等于相似比的平方.（重点） 2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用 .（难点） 学习目标 导入新课 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应 高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于 相似比吗？面积之比呢？ A B C A1 B1 C1 问题引入 讲授新课 相似三角形周长比等于相似比一 问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边 三角形,它们都相似吗？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______， (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______. 1∶ 2 结论： 相似三角形的周 长比等于______．相似比 （都相似） 1∶ 3 1∶ 2 1∶ 3 有什么规律 吗？ 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k ， 求证：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A1 B1 C1 想一想：怎么证明这一结论呢？ 相似三角形周长的比等于相似比. 归纳总结 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的面积比=______ (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的面积比=______ 相似三角形的面积比等于相似比的平方二 1 2 3 1∶ 2 （1） （2） （3） 1∶ 4 1∶ 3 1∶ 9 问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边 三角形,回答以下问题： 结论： 相似三角形的面 积比等于__________．相似比的平方 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k, 如图，分别作出△ABC和 △A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角 三角形，并且∠B=∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′. A B C A′ B′ C′ D D′ 想一想：怎么证明这一结论呢？ ∵△ABC∽△A′B′C′. 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 归纳总结 1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对   应边上中线之比           ，面积之比为       .    2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，      周长的比为______ .    1:3 2:3 4:9 练一练 例1：将将△△ABCABC沿沿BCBC方向平移得到方向平移得到△△DEFDEF，，△△ABCABC与与 △△DEFDEF重叠部分的面积是重叠部分的面积是△△ABCABC的面积的一半的面积的一半..已知已知 BCBC=2=2，求，求△△ABCABC平移的距离平移的距离..                                                    　 解：根据题意，可知EG∥AB. ∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A. ∴△GEC∽△ABC  即，△ABC平移的距离为平移的距离为 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB=2DE，AC=2DF， 又 ∵∠D=∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2. A B C D E F ∴ 例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC =  2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面 积为          ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积. A B C D E F ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为          ， ∴△DEF 的边 EF 上的高为    ×6 = 3， 面积为                  如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较 大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上 的高为______.  练一练 例3 如图，如图，DD，，E E 分别是分别是 ACAC，，AB AB 上的点，已知上的点，已知 △△ABC ABC 的面积为的面积为100 cm100 cm22，且，且 ，求，求 四边形四边形 BCDE BCDE 的面积的面积.. 　 ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5， ∴ 面积比为 9 : 25. B C A D E 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2). B C A D E 例4 如图，在如图，在△△ABCABC中，中，EFEF∥∥BCBC，，                        ，， SS四边形四边形BCEF BCEF =8,=8,求求SS△△ABCABC.. 　 ∴ △AEF∽△ABC.  ∵ SS四边形四边形BCEF BCEF =8=8，∴SS△△AEF AEF =1=1 ∴SS△△ABCABC=9=9. B C A FE 解：∵ EFEF∥∥BCBC， 例5 已知已知△△ABCABC与与△△A'B'C'A'B'C'的相似比为的相似比为   ，， 且且SS△△ABCABC++SS△△A'B'CA'B'C=91=91,,求求△△A'B'C'A'B'C'的面积的面积.. 　 又∵SS△△ABCABC++SS△△A'B'CA'B'C=91=91,, 解：∵△△ABCABC与与△△A'B'C'A'B'C'的相似比为的相似比为     ∴S△△A'B'C'A'B'C'=63=63         如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、 BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB.  当 D 点为 AB 中点时， 求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 练一练 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，         ∴ △ADE ∽ △ABC ，         相似比为 1 : 2，         面积比为 1 : 4.  ∴ A B C D F E 又∵ EF∥AB， ∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1， S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2 ， ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = 1. 判断：     (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 (   )     (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 (   ) √ × 当堂练习 3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____. 1 : 2 1 : 4 2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，     ∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ 的值为 (   )      A．2         B．4          C．1           D. C 4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm ， 若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则 较小三角形的周长____cm，面积为____cm2. 14 5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照      射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2       米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，      则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位      小数)？ A DE F CB H 解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，         桌面的直径为 1.2 米，         ∴ AF = AH－FH = 2 (米)， DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).         ∵DF∥CH，         ∴△ADF ∽△ACH， A DE F CB H ∴                      即 解得  CH = 0.9米. ∴ 阴影部分的面积为： (平方米 ).答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米. 6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和     △EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面 积. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF， ∴△ADE ∽△EFC. 又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9， ∴ AE : EC=2:3， 则 AE : AC =2 : 5， ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25. 7. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于     点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC. 解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则 ∴                      又∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽△ABC. A B C D E ∴ 即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9. A B C D E 相似三角形 的性质2 相似三角形周长之比 等于相似比 课堂小结 相似三角形面积之比 等于相似比的平方 3.5 相似三角形的应用 第3章 图形的相似 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量     的物体的高度和宽度.  (重点) 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化     为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决     问题的能力.  (难点) 乐山大佛 导入新课 图片引入 世界上最高的树 —— 红杉 台湾最高的楼 ——台北101大楼 怎样测量这些非常高 大的物体的高度？ 世界上最宽的河 ——亚马逊河 怎样测量河宽 ？ 利用相似三角形可以解决一些不能直 接测量的物体的高度及两物之间的距 离问题. 问题: 如图，A, B 两点分别位于一个池塘的两端，小 张想测量出A, B 间的距离，但由于受条件限制无法直 接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 利用相似三角形测量宽度一 A B         如图，在池塘外取一点C，使它 可以直接看到A, B 两点，连接并延长 AC,BC,在AC的延长线上取一点D， 在BC的延长线上取一点E，使测量出 DE的长度后，就可以由相似三角形 的有关知识求出A, B 间的距离了. C D F 讲授新课 例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直 的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂 直 PS 的直线 b 的交点 R.  已知 测得QS = 45 m，ST = 90 m， QR = 60 m，请根据这些数据， 计算河宽 PQ. P RQ S b T a PQ×90 = (PQ+45)×60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P， ∴△PQR∽△PST. P RQ S b T a ∴                    ， 即                            ， 还有其他构造相似三角 形求河宽的方法吗？ 45m 90m 60m 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C， 使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线 确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米， 求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 60m 50m120m 解：∵ ∠ADB＝∠EDC，          ∠ABC＝∠ECD＝90°，         ∴   △ABD∽△ECD.         ∴                    ，即 ， 解得 AB = 100.                    因此，两岸间的大 致距离为 100 m. E A D C B 60m 50m120m 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度， 常构造相似三角形求解. 归纳： 利用相似三角形测量高度二 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利 用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根 木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量 金字塔的高度. 例3 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测 得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 怎样测出 OA 的长 ？ 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴                    ， ∴                     =134 (m). 因此金字塔的高度为 134 m. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在 同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳： 例4：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树 24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自 己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的 顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m， 求树的高度. 分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线， 过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得 △AEM∽△ACN. A E C DFB N A E C DFB N 解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标 杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°, ∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA. ∵∠EAM=∠CAN, ∴△AEM∽△ACN , ∴             . ∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m , ∴        , ∴CN=3.6（m）， ∴CD=3.6+1.6=5.2（m）. 故树的高度为5.2m. 例5：在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、 准星 （A）、靶心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由 于有轻微的抖动，致使准星A偏离到A'，如图所示.已知 OA=0.2m，OB=50m,AA'=0.0005m，求李明射击到的点B' 偏离靶心点B的长度BB'（近似地认为AA'∥BB′）.  ∵AA'∥BB′ ∴△AEM ∽△ACN ∵OA=0.2m,OB=50m，AA'=0.0005m， ∴BB'=0.125m. 答：李明射击到的点B'偏离靶心点B的 长度BB'为0.125m. 1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，     可在地面上竖一根竹竿 DE，     测量出 DE 的长以及 DE 和 AB      在同一时刻下地面上的影长即     可，则下面能用来求AB长的等     式是                                       (   )              A．                     B．                          C．                     D．  C 练一练 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学     数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚     阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆     顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC =       2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米．   8 AF E B O ┐┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以 用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.         如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的 示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出 发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处， 已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那 么该古城墙的高度是                                               (   ) A. 6米         B. 8米         C. 18米         D. 24米  B 试一试： 例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8  m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人 估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树 的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的 树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了?  利用相似解决有遮挡物问题三 分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画 出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K. 视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角.  类似 地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内.  再往 前走就根本看不到 C 点了.                            由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树 的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .  解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼          睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条          直线上．         ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.         ∴△AEH∽△CEK. ∴                    ， 即 解得  EH=8. 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得     教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高     度应为                                                                    (   )      A. 45米       B. 40米       C. 90米       D. 80米  当堂练习 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为      0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长     为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶         (   )      A. 0.5m       B. 0.55m        C. 0.6m        D . 2.2m A A 3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在     可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的  C、D 两点，使得 CD∥AB.  若测得 CD＝5 m，AD     ＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为        m. A B E DC 20 4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看     到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝     20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平     面镜的距离 SA 的长度为            .12 cm 5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬     纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调     整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边     DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，     EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，     到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. A B C D G E F A B C D G E F 解：由题意可得：△DEF∽△DCA， ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米， 则                     解得：AC = 10， 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗杆的高度为 11.5 m. ∴                     6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面     上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆      AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影     长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面     长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗     杆的高度． A B C D E 解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E， ∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED=1 : 1.2， ∴ AE = 8 m， ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， ∴ 学校旗杆的高度为 10 m.  A B C D 相似三角形的应用 举例 利用相似三角形测量高度 课堂小结 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题 3.6 位 似 湘教版九年级数学上册教学课件 第1课时 位似图形的概念及画法 1. 掌握位似图形的概念、性质和画法.  (重点) 2. 掌握位似与相似的联系与区别.  (难点) 学习目标 导入新课 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机 放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？ 图片引入 连 接图片上对应的点，你有什么发现？ 问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种 相似有什么特征？ 位似图形的概念一 观察与思考 讲授新课 问题2：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连， 观察发现连接的直线相交于点O. 有 什么关系？ A B C D E E' D' C' B' A' O         如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P̍ 所在 的直线都过同一点O,且OP ̍ =k· OP （k≠0）,那么这样 的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.其 中k为相似多边形的相似比. 概念学习 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去 考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位 置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 1. 画出下列图形的位似中心： 练一练 2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是           (   )      A. 两个三角形是位似图形        B. 点 A 是两个三角形的位似中心      C. B 与 D、C 与 E是对应位似点      D. AE : AD是相似比  D DE A B C 位似图形的性质二 合作探究 从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′， 则                                 ，AB∥A′B′.  右图呢？你得 到了什么？ A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似     图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比     相等．  2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距     离之比等于相似比．（位似图形的相似比也     叫做位似比） 3. 对应线段平行或者在一条直线上． 归纳：         如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射 下形成的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OB : O′B′＝ 1 : 2，则四边形 ABCD 的面积与四边形A′B′C′D′的面 积比为                                                                       (   )      A．4∶1          B．    ∶1       C．1∶          D．1∶4  D O 练一练 例1：如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF， 使其与△ABC位似，且位似比为2. 解：画射线OA,OB,OC;在射线 OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使 OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;顺序连接D,E,F,使△DEF 与△ABC位似,相似比为2. A B C F E D O 想一想：你还有其他的画法吗？ 位似多边形的画法二 A B C 画法二：△ABC与△DEF异侧 解：画射线OA,OB,OC;沿着射线 OA,OB,OC反方向上分别取点D,E,F, OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC; 顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似, 相似比为2. O E F D (3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B'        C' D' 就是所要求的图形． O D A B C A' B' C' D' 例2 把四边形 ABCD 缩小到原来的 1/2. (1) 在四边形外任选一点 O (如图)；(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B'  、 C' 、D' ，使得                                                 ；   利用位似，可 以将一个图形 放大或缩小 思考：         对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边 形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反 向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得                                                                      呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部 呢？分别画出这时得到的图形． O D A B C A' B' C' D' O D A B C A' B' C' D'         如图，△ABC.   根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C' ∽△ABC，且相似比为 1 : 5. (1) 位似中心在△ABC的一条边AB上；           练一练 A CB O ● A′ B′ C′ ● ● 假设位似中心点 O 为 AB 中点，点 O 位置如图所 示.      根据相似比可确定 A′ ，   B′，C′ 的位置. ● (2) 以点 C 为位似中心. C A B A′ B′ ( C′ )  ● ● ● ◑画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关      键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的      关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 归纳： ◑利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关 键点． ◑位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心 在连接两个对应点的线段上；外位似的位似 中心在连接两个对应点的线段之外. 当堂练习 A B C D 1. 选出下面不同于其他三组的图形                  (   )B 2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位 似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是                                                                                      (   )                     A. 2 DE = 3 MN      B. 3 DE = 2 MN          C. 3∠A = 2∠F     D. 2∠A = 3∠F  B A B E C D N F G H M 3. 下列说法：     ①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位 似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两 个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′ 位似，则其中 △ABC 与 △A′B′C′ 也是位似的，且位 似比相等.  其中正确的有          .      ①④ 4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为      2 : 3，已知 AB＝4，则 DE 的长为_____． 6 5.已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角 形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2. A B C 解：画射线OA,OB,OC;在 射线OA,OB,OC上分别取点 D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF;顺序连接 D,E,F,使△DEF与△ABC位 似,位似比为1：2. D E F 6. 如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且     AB∥CD∥EF，     (1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加           以证明； 答案：△DFE 与 △DBA，△BFE 与 △BDC， △AEB 与 △DEC 都是位似图形；证明略. (2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长.  解：∵ △BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC， AB=2，CD=3， ∴ ∴ 解得 位似的概念及画法 位似图形的概念 课堂小结 位似图形的性质 画位似图形 3.6 位 似 第3章 图形的相似 第2课时 平面直角坐标系中的位似 湘教版九年级数学上册教学课件 1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之     间的联系． 2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握     把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变     化的规律.  (重点、难点) 3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的     异同，并能在复杂图形中找出来这些变换. 学习目标 导入新课 复习引入 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相 交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ， 这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应      点到位似中心的距离之比等于                                   ，      对应线段                                            . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形? 位似图形 位似中心 相似比 (或位似比) 平行或者在一条直线上 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型：         我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前 后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些 平移、轴对称和旋转 (中心对称).  那么，位似是否 也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 平面直角坐标系中的位似变换一 讲授新课 1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．     以原点 O 为位似中心，相似比为    ，把线段 AB 缩     小，观察对应点之间坐标的变化. 合作探究 2 4 6 4 6B' －2 －4 －4 x y A B A' A" B" O 如图，把 AB 缩小 后 A，B 的对应点 为 A′ (   ， )， B' (   ， )； A" (       ，     )， B" (       ，  ). 2 1 2 0 －2 －1 －2 0 2. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1) ，     C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将      △ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化. 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2－6－8－10 －8 B' A' C' A" B" C" 如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为 A' (   ，  )，B' (   ，  )，C' (    ，  )； A" (       ，      )，B" (      ，      )，C" (        ，      ). 4 6 4 2 10 4 －4 －6 －4 －2 －10 －4 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一 个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对 应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作 位似图形与原图形在原点的异侧呢？  1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个     图形的位似图形可以作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的     比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的     坐标的比为－k． 3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1     时，图形缩小为原来的 k 倍．  归纳： 1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，     B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内     将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD，则     端点 D 的坐标为                                                  (   )      A. (2，2)          B. (2，1)          C. (3，2)          D. (3，1)  练一练 D x y A BC D 2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1) ，     以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三     个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2，   )，C′ (   ，      ) ，     则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是         .                                        1 : 3 典例精析 例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的 坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0).   以原 点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的 相似比为 3 : 2. 2 4 6 2－2－4 x y A B O 2 4 6 2－2－4 x y A B O 提示：画三角形关键 是确定它各顶点的坐 标.  根据前面的归纳 可知，点 A 的对应点  A′ 的坐标为                           ， 即(－3，6)，类似地， 可以确定其他顶点的 坐标. 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取 点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0). A′ B′                                                                         顺次连接 点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个 图形. 还有其他画法吗 ？自己试一试.         在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标 分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3).   以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图 形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3. 练一练 O C 解：画法一：将四边 形 OABC 各顶点的坐 标都乘      ；在平面直 角坐标系中描点O (0 ， 0)，A' (4，0)，B' (2， 4)，C′ (－2，2)，用 线段顺次连接O，A' ，B'，C'. 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' C' 画法二：将四边形  OABC 各顶点的坐 标都乘       ；在平面 直角坐标系中描点 O (0，0)，A″ (－4， 0)，B″ (－2，－4)， C″ (2，－2)，用线 段顺次连接O，A″， B″，C″. O C 2 4 6 4 6 B″ －2 －4 －4 x y A B A″ C″ 平面直角坐标系中的图形变换二           至此，我们已经学 习了四种变换：平移、 轴对称、旋转和位似， 你能说出它们之间的异 同吗？在右图所示的图 案中，你能找到这些变 换吗？ 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2－6－8－10 －8 例2  如图，在平面直角坐标系中，已知□OABC 的 顶点坐标分别为 O（0，0）A (3，0)，B (4，2)，C (1，2)，以坐标原点 O 为位似中心，将 □OABC 放 大为原图形的3倍. 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2－6－8－10 －8 B' A' C' A" B" C" 方法一，将□OABC的各点坐标分别乘3，得O(0,0),A'(9,0), B'(12,6),C'(3,6),依次连接点O,A',B',C',则四边形OA'B'C'即为所求， 如图. 方法二，将□OABC的各点坐标分别乘-3，得O(0,0),A''(-9,0), B''(-12,-6),C''(-3,-6),依次连接点O,A'',B'',C'',则四边形 OA''B''C''即为所求，如图.         将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图 形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． (1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； (2) 关于 x 轴对称； (3) 以 C 为位似中心，将       △ABC 放大2倍； (4) 以 C 为中心，将       △ABC 顺时针旋       转180°．  练一练 x y A B C 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下 变化，其中属于位似变换的是                           (  )      A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变           B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变      C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2             D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2  C 当堂练习 2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位     似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为                                                               (   )       A．(4，－3)         B．(4，－2)         C．(4，－4)         D．(4，－6)  A 3. 如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知 道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对 应大鱼上的点                          .(－2a，－2b)   4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A     (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积      是    ，则 △A′B′C′ 的面积是      .6 5. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和     点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正     方形的位似中心的坐标是___________________．(1，0) 或 (－5，－2) O x 6. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5) ，     C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放     大为原来的 2 倍． C 2 4 6 －4 x y A B 2－2 答案： A' (4，－4)， B' (8，   －10)， C' (10，－4)； B' A' C' A" B" C" A″ (－4，4)， B″ (－8，10)， C″ (－10，4). 7. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2).      x y A B C (1) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ABC的       位似图形        △A′B′C′；       M A′ B′ C′ 解：如图所示.      (2) 写出 △A′B′C′      的各顶点坐标. 答：△A′B′C′ 的 各顶点坐标分别 为 A′ (3，6)， B′ (5，2)， C′ (11，4). 8. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0， 0)，     点 B 的坐标为 (4，0). 4 x y A B 4 3 (1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移       1 个单位长度后得△A1O1B1，      则点 A1 的坐标为                 ，      △A1O1B1的面积为       ； (2，4) 8 (2) 将 △AOB 绕原点旋转 180°      后得 △A2O2B2，则点 A2 的      坐标为                     ；(－3，－4) (3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3  的       坐标为                ；(4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大       后得 △A4O4B4，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A4          的坐标为                       ，△A4O4B4的面积为        . 4 x y A B 4 3 (3，－4) (－6，－8) 32 平面直角坐标 系中的位似 平面直角坐标系 中的位似变换 课堂小结 平面直角坐标系 中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中 的位似图形的画法 小结与复习 第3章 图形的相似 湘教版九年级数学上册教学课件        如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的 长度分别为m ,n .那么两条线段的比  .        四条线段a , b , c , d中，如果a与b的比等于c与d的 比，那么这四条线段a , b , c , d叫做成比例线段，简称 比例线段. 要点梳理 1. 线段的比和成比例线段的定义 比例的基本性质比例的基本性质── 比例的比例的合比性质── 比例的比例的等比性质── 比例的更比性质— 2. 比例的性质 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 AA CC BB 那么称线段那么称线段ABAB被点被点CC 点C叫做线段AB的 AC与AB（或BC与AC）的比叫做 黄金比 ≈≈0.6180.618 黄金分割 黄金分割点 黄金比 3. 黄金分割 (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 4. 图形的相似 ①表象：大小不等， 形状相同. ②实质：各对应角相 等、各对应边成比例. ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 (三个角分别相等，三条边成比例) 5. 相似三角形的判定 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 6. 相似三角形的性质 (1) 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解. (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 7. 相似三角形的应用 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连       线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位       似图形，这个点叫做位似中心.  (这时的相似       比也称为位似比) 8. 位似 (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心       的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在        一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. A B GC ED F ●P B′ A′ C′ D′E′ F′ G′ A′ B′C′ D′ E′ F′ G′ A B GC ED F ●P (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的 坐标的比为－k. 例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC ＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形 零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分 别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ A B CD E F G H 解：设正方形 EFHG 为加工成的         正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、          AC上，△ABC 的高 AD 与边         EF 相交于点 M，设正方形的         边长为 x mm. M 考点讲练 考点一 相似三角形的判定和性质 ∵ EF//BC， ∴△AEF∽△ABC， 又∵ AM＝AD－MD＝80－x， 解得 x = 48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm.   A B CD E F G H M 则 ∴ 证明：∵△ABC是等边三角形，             ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，             ∠ACF＝120°．             ∵CE是外角平分线，             ∴∠ACE＝60°，             ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE，             ∴△ABD∽△CED． 例2 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线， 点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E. (1) 求证：△ABD ∽△CED； A B C D F E (2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长. 解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6，          ∴ AM＝CM＝3.          ∵ AD ＝ 2CD，          ∴CD＝2，AD＝4，          MD＝1. A B C D F EM 在 Rt△BDM 中， 由(1) △ABD ∽△CED得， 即 ∴ A B C D F EM 针对训练 1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判定       △ADC ∽△ACB． (1)                                                   ；    (2)                                                   ； (3)                                                   . ∠ACD =∠B ∠ACB =∠ADC B C A D 或 AC2 = AD · AB 2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的     △DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条     边长为                 ．36 和 39 3. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上     且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF =　　　　. B C A E 2 或 4.5 4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积     与 △DFA 的面积之比为         .　　　　　　1 : 9 考点二 相似的应用 例3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长  GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树 与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长． 2m 1.2m3.6m 2m 1.2m3.6m 解：如图，CD＝3.6m， ∵△BDC∽△FGE， ∴ BC＝6m. 在 Rt△ABC 中， ∵ ∠A＝30°， ∴ AB＝2BC＝12 m， 即树长 AB 是 12 m. 即∴ 例4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们 来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立 的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请 你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高 度 (画出示意图)，并说明理由． 解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜         子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑         顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、         BE的长，就可算出纪念碑 AB 的高．  根据                   ，即可算出 AB 的高． 你还有其他 方法吗？ 理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝ ∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.         如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的 高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设 球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ 针对训练 A B O C D2m 6m 1.8m 解：∵∠ABO=∠CDO=90°， ∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD. ∴ ∴ 解得 CD = 5.4m. 故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方． A B O C D2m 6m 1.8m 考点三 位似的性质及应用 针对训练 1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为  (   ) A. 1个           B. 2个           C. 3个           D. 4个 C 2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和      △A′B′C′ 不存在位似关系的是                             (    ) B' A(A') C' B C B' A(A') C' B C B' A(A')C' B C B' A C' B CA' A B C D B 3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与  △DEC 是以点     为位似中心的位似图形，其位似比为              ，面积比为          .  D A EB C C 4 : 3 16 : 9 4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6 ，      3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为     位似中心的位似图形.  若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则     点 B′ 的坐标为                . (4，－3) 5. 找出下列图形的位似中心. 6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1 ，     点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. A B C (1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和        △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 :  3. O A′ B′ C′ 解：如图所示. (2) 线段 AA′ 的长度是          . 7. 如图，△ABC 在方格纸中.     (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3) ，            C (6，2)，并求出 B 点坐标；解：如图所示，          B (2，1). x y O (2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限 内       将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′； x y O A′ B′ C′ 解：如图所示.         (3) 计算△A′B′C′的面积 S. x y O A′ B′ C′ 解： 课堂小结 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段 成比例 定义 定义、判定、性质