【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(8)
(六十五)
1．双曲线－＝1(0
0，解得－m20，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 根据双曲线的渐近线与直线l平行得到渐近线的斜率，由双曲线的一个焦点在直线l上求出c，然后解方程组即可求出a，b的值．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.
又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以－2c＋10＝0，所以c＝5.
由得
故双曲线的方程为－＝1.
7．(2019·广东七校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D．2
答案 C
解析 易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则点F(c，0)到渐近线的距离为＝＝b，即圆F的半径为b.令x＝c，则y＝±b ＝±，由题意，得b＝，即a＝b，所以双曲线的离心率e＝ ＝，故选C.
8．(2019·贵州综合测试二)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，
则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±3x D．y＝±x
答案 B
解析 由题可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，圆心为(2，0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d＝＝1，故4b2＝a2＋b2，即3b2＝a2，则＝，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x.选B.
9．(2017·课标全国Ⅲ，理)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝ ①，又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9 ②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.
10．(2019·黑龙江海林模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为( )
A. B.
C．2 D．2
答案 C
解析 因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)．因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，由于x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2，故选C.
11．(2019·贵阳市高三监测)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是
( )
A．(1，) B．(，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
答案 B
解析 依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是不等式组所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1<，即>，因此题中的双曲线的离心率e＝∈(，＋∞)，选B.
12．(2019·安徽黄山一诊)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以cos∠AF2F1＝＝＝，故选C.
13．已知曲线方程－＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．
答案 λ<－2或λ>－1
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.
14．(2019·山东聊城期中)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2.由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8.则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
15．(2019·湖南长沙模拟)P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为________．
答案 2＋1
解析 设右焦点为F2，∵|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝|PF2|＋2，∴|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋2＋|PQ|.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离．
由题意得l的方程为y＝±x，F2(，0)，F2到l的距离d＝1，∴|PQ|＋|PF1|的最小值为2＋1.
16．(2019·江南十校3月综合素质测试)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程为y＝±x，离心率分别为e1，e2.则e1＋e2的最小值为________．
答案 2
解析 由题意得双曲线C1的方程为－y2＝1(a>0)，双曲线C2的方程为y2－＝1(a>0)，所以e1＋e2＝＋≥2 ＝2 ≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．
17. 如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝1，
∴F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵S△PF1F2＝2，∴|PF1|·|PF2|·sin＝2.
∴|PF1|·|PF2|＝8.
∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵e＝＝2，∴a2＝.
∴所求双曲线方程为－＝1.
18．(2019·上海崇明一模)已知点F1，F2为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值．
答案 (1)x2－＝1 (2)
解析 (1)设F2，M的坐标分别为(，0)，(，y0)(y0>0)，
因为点M在双曲线C上，所以1＋b2－＝1，则y0＝b2，所以|MF2|＝b2.
在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2.
由双曲线的定义可知：|MF1|－|MF2|＝b2＝2，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由条件可知：两条渐近线分别为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0.
设双曲线C上的点P(x0，y0)两条渐近线的夹角为θ，由题意知cosθ＝.则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝，|PP2|＝.
因为P(x0，y0)在双曲线C：x2－＝1上，所以2x02－y02＝2.
所以·＝·cosθ＝·＝.
