2020-2021学年台湾台湾高一下数学期中试卷

2020-2021学年台湾台湾高一下数学期中试卷

‎2020-2021学年台湾台湾高一下数学期中试卷 一、选择题 ‎ ‎ ‎1. 若直线x+y+a=0‎平分圆x‎2‎‎+y‎2‎−2x+4y+1=0‎的面积，则a的值为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎1‎ B.‎−1‎ C.‎2‎ D.‎‎−2‎ ‎ ‎ ‎2. Sn是等差数列‎{an}‎的前n项和，如果S‎10‎‎=120‎，那么a‎1‎‎+‎a‎10‎的值是(        ) ‎ A.‎12‎ B.‎24‎ C.‎36‎ D.‎‎48‎ ‎ ‎ ‎3. 如下图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，‎∠ACB=‎‎45‎‎∘‎，‎∠CAB=‎‎105‎‎∘‎，则A，B两点的距离为(        ) ‎ A.‎50‎3‎m B.‎25‎3‎m C.‎25‎2‎m D.‎‎50‎2‎m 二、填空题 ‎ ‎ ‎ 过点‎3,1‎作圆x−1‎‎2‎‎+y‎2‎=‎r‎2‎的切线有且只有一条，则该切线的方程为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a，b为不同的直线，α，β为不重合的平面)，则此条件为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，A=‎‎60‎‎∘‎，且最大边长和最小边长是方程x‎2‎‎−7x+11=0‎的两个根，则第三边的长为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知从‎1‎开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为‎1‎，第二行为‎3‎，‎5‎，第三行为‎7‎，‎9‎，‎11‎，第四行为‎13‎，‎15‎，‎17‎，‎19‎，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai,j，比如a‎3,2‎‎=9‎，a‎4,2‎‎=15‎，a‎5,4‎‎=23‎，若ai,j‎=2017‎，则i+j=‎________. ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎ 已知圆C:x‎2‎+y‎2‎−8y+12=0‎，直线l:ax+y+2a=0‎． ‎ ‎(1)‎当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎当直线l与圆C相交于A，B两点，且‎|AB|=2‎‎2‎时，求直线l的方程．‎ ‎ ‎ ‎ 已知数列‎{an}‎是公差不为零的等差数列，a‎1‎‎=1‎且a‎1‎，a‎3‎，a‎9‎成等比数列． ‎ ‎(1)‎求数列‎{an}‎的通项；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设bn‎=‎‎2‎an，求数列‎{bn}‎的前n项和Sn．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形， BF⊥‎平面ABCD，DE⊥‎平面ABCD，BF=DE，点M为棱AE的中点． ‎ ‎(1)‎求证：BD//EF；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求证：平面BMD//‎平面EFC.‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b‎2‎‎+c‎2‎−a‎2‎=bc. ‎ ‎(1)‎求角A的大小；‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ ‎ ‎(2)‎若a=‎‎3‎，求BC边上的中线AM的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在三棱锥P−ABC中，除棱PC外，其余棱均等长，M为棱AB的中点，O为线段MC上靠近点M的三等分点． ‎ ‎(1)‎若PO⊥MC，求证：PO⊥‎平面ABC；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设AB=3‎，PC=‎‎9‎‎2‎，若点Q是侧面PAB内动点，且满足OQ//‎平面PAC，求线段OQ长的最小值．‎ ‎ ‎ ‎ 已知数列 ‎{an}‎  满足 a‎1‎‎=2，an+1‎=‎2an−1‎an(n∈N‎*‎)‎. ‎ ‎(1)‎求证：数列 ‎1‎an‎−1‎是等差数列，并求数列 ‎{an}‎ 的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎记 bn‎=‎1‎nan, ‎Tn为数列 ‎{b‎2n−1‎⋅b‎2n+1‎}‎ 的前n项和，若Tn‎≤‎λbn+3‎对任意的正整数n都成立，求实数λ的最小值‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎2020-2021学年台湾台湾高一下数学期中试卷 一、选择题 ‎1.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 圆的一般方程 直线的一般式方程 ‎【解析】‎ 设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出切线方程即可．‎ ‎【解答】‎ 解：由题可得圆的标准方程为‎(x−1‎)‎‎2‎+(y+2‎)‎‎2‎=4‎， ‎∵‎ 直线x+y+a=0‎平分圆， ‎∴‎ 直线过圆心‎(1,−2)‎， 代入得‎1−2+a=0‎， ‎∴a=1‎. 故选A.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 等差数列的前n项和 等差数列的性质 ‎【解析】‎ 要求a‎1‎‎+‎a‎10‎就要得到此等差数列的首项和公差，而已知S‎10‎‎=120‎，由等差数列的前n项和的通项公式可得到首项与公差的关系．代入求出即可．‎ ‎【解答】‎ 解：由等差数列的前n项和的公式得：S‎10‎‎=10a‎1‎+‎10×9‎‎2‎d=120‎， 即‎2a‎1‎+9d=24‎， ∴ a‎1‎‎+a‎10‎=a‎1‎+a‎1‎+9d‎=2a‎1‎+9d=24‎. 故选B．‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 解三角形的实际应用 正弦定理 ‎【解析】‎ 依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，‎∠ACB，B的值求得AB ‎【解答】‎ 解：在‎△ABC中， ‎∠B=‎180‎‎∘‎−‎45‎‎∘‎−‎105‎‎∘‎=‎‎30‎‎∘‎. 由正弦定理得ABsin∠ACB‎=‎ACsin∠B， ∴ AB=‎AC⋅sin∠ACBsin∠B‎=‎50⋅‎‎2‎‎2‎‎1‎‎2‎=50‎‎2‎(m)， ∴ A，B两点的距离为‎50‎2‎m. 故选D．‎ 二、填空题 ‎【答案】‎ ‎2x+y−7=0‎ ‎【考点】‎ 圆的切线方程 直线的点斜式方程 斜率的计算公式 ‎【解析】‎ 由题意画出图形，可得点‎3,1‎在圆x−1‎‎2‎‎+y‎2‎=‎r‎2‎上，求出圆心与切点连线的斜率，再由直线方和的点斜式得答案．‎ ‎【解答】‎ 解：如图， ∵ 过点‎3,1‎作圆x−1‎‎2‎‎+y‎2‎=‎r‎2‎的切线有且只有一条， ∴ 点‎3,1‎在圆x−1‎‎2‎‎+y‎2‎=‎r‎2‎上， ∴ 连结圆心与切点连线的斜率为k=‎1−0‎‎3−1‎=‎‎1‎‎2‎， ∴ 切线的斜率为‎−2‎，且过点‎(3,1)‎， 则圆的切线方程为y−1=−2‎x−3‎，即‎2x+y−7=0‎. 故答案为：‎2x+y−7=0‎．‎ ‎【答案】‎ a⊄α ‎【考点】‎ 命题的真假判断与应用 直线与平面平行的判定 ‎【解析】‎ 根据线面平行的判定定理，我们知道要判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行，分析已知中的三个命题，即可得到答案．‎ ‎【解答】‎ 解：①体现的是线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 则①缺的条件是“a为平面α外的直线”，即a⊄α， ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 它同样适合②. 故答案为：a⊄α.‎ ‎【答案】‎ ‎4‎ ‎【考点】‎ 根与系数的关系 余弦定理 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：设‎△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由题意，得b+c=7，bc=11‎． 所以a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎−2bccosA ‎=(b+c‎)‎‎2‎−2bc−2bccosA ‎=‎7‎‎2‎−2×11−2×11×‎1‎‎2‎=16‎， 解得a=4‎， 所以第三边的长为‎4‎． 故答案为：‎4‎．‎ ‎【答案】‎ ‎72‎ ‎【考点】‎ 数列的应用 进行简单的合情推理 等差数列的前n项和 ‎【解析】‎ 由奇数数列an＝‎2n−1‎＝‎2017‎，得n＝‎1009‎，按照蛇形排列，第‎1‎行到第i行共有‎1+2+...+i=‎i(1+i)‎‎2‎个奇数，从而求出‎2017‎位于第‎45‎行，第‎45‎行是从右到左依次递增，且共有‎45‎个奇数，由此求出‎2017‎位于第‎45‎行，从右到左第‎19‎列，从而能求出i+j．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ ai,j‎=2017‎， ∴ 奇数数列an‎=2n−1‎‎=2017‎，解得n=1009‎. 按照蛇形排列，第‎1‎行到第i行共有‎1+2+...+i=‎i(1+i)‎‎2‎个奇数， 则第‎1‎行到第‎44‎行末共有‎990‎个奇数， 第‎1‎行到第‎45‎行末共有‎1035‎个奇数， 则‎2017‎位于第‎45‎行， 而第‎45‎行是从右到左依次递增，且共有‎45‎个奇数， ∴ ‎2017‎位于第‎45‎行，从左到右第‎27‎列， 则i=45‎，j=27‎，∴ i+j=45+27=72‎. 故答案为：‎72‎.‎ 三、解答题 ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎将圆C的方程x‎2‎‎+y‎2‎−8y+12=0‎配方得标准方程为： x‎2‎‎+(y−4‎)‎‎2‎=4‎， 则此圆的圆心为‎(0, 4)‎，半径为‎2‎． 若直线l与圆C相切， 则有‎|4+2a|‎a‎2‎‎+1‎‎=2‎． 解得a=−‎‎3‎‎4‎．‎ ‎(2)‎联立方程ax+y+2a=0，‎x‎2‎‎+y‎2‎−8y+12=0，‎ 并消去y， 得‎(a‎2‎+1)x‎2‎+4(a‎2‎+2a)x+4(a‎2‎+4a+3)=0‎． 设此方程的两根分别为x‎1‎，x‎2‎， 所以x‎1‎‎+x‎2‎=−‎‎4(a‎2‎+2a)‎a‎2‎‎+1‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4(a‎2‎+4a+3)‎a‎2‎‎+1‎， 则AB=‎‎(x‎1‎−x‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎−‎y‎2‎‎)‎‎2‎ ‎=‎(a‎2‎+1)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎−4x‎1‎x‎2‎]‎=2‎‎2‎， 两边平方并代入解得：a=−7‎或a=−1‎， ∴ 直线l的方程是‎7x−y+14=0‎或x−y+2=0‎．‎ ‎【考点】‎ 直线与圆的位置关系 直线与圆相交的性质 ‎【解析】‎ 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r， ‎(1)‎当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值； ‎(2)‎联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎将圆C的方程x‎2‎‎+y‎2‎−8y+12=0‎配方得标准方程为： x‎2‎‎+(y−4‎)‎‎2‎=4‎， 则此圆的圆心为‎(0, 4)‎，半径为‎2‎． 若直线l与圆C相切， 则有‎|4+2a|‎a‎2‎‎+1‎‎=2‎． 解得a=−‎‎3‎‎4‎．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎(2)‎联立方程ax+y+2a=0，‎x‎2‎‎+y‎2‎−8y+12=0，‎ 并消去y， 得‎(a‎2‎+1)x‎2‎+4(a‎2‎+2a)x+4(a‎2‎+4a+3)=0‎． 设此方程的两根分别为x‎1‎，x‎2‎， 所以x‎1‎‎+x‎2‎=−‎‎4(a‎2‎+2a)‎a‎2‎‎+1‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4(a‎2‎+4a+3)‎a‎2‎‎+1‎， 则AB=‎‎(x‎1‎−x‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎−‎y‎2‎‎)‎‎2‎ ‎=‎(a‎2‎+1)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎−4x‎1‎x‎2‎]‎=2‎‎2‎， 两边平方并代入解得：a=−7‎或a=−1‎， ∴ 直线l的方程是‎7x−y+14=0‎或x−y+2=0‎．‎ ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎设等差数列‎{an}‎的公差为d. ∵ a‎1‎‎=1‎， ∴ a‎3‎‎=1+2d，a‎9‎‎=1+8d. 又a‎1‎，a‎3‎，a‎9‎成等比数列， ∴ ‎(1+2d‎)‎‎2‎=1+8d， 解得：d=1‎或d=0‎（舍）， ∴ 数列‎{an}‎的通项公式为an‎=1+(n−1)=n.‎ ‎(2)‎‎∵ an‎=n， ∴ bn‎=‎‎2‎n， ∴ Sn‎=b‎1‎+b‎2‎+...+‎bn ‎=2+‎2‎‎2‎+‎2‎‎3‎+⋯+‎‎2‎n ‎=‎‎2(1−‎2‎n)‎‎1−2‎ ‎=‎2‎n+1‎−2‎．‎ ‎【考点】‎ 等比中项 等比数列的前n项和 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ ‎（1）通过设数列‎{an}‎的公差为d，利用a‎1‎，a‎3‎，a‎9‎成等比数列，计算即可；‎ ‎（2）通过an‎=n，可得bn‎=‎4‎n+2n，分类计算即可．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎设等差数列‎{an}‎的公差为d. ∵ a‎1‎‎=1‎， ∴ a‎3‎‎=1+2d，a‎9‎‎=1+8d. 又a‎1‎，a‎3‎，a‎9‎成等比数列， ∴ ‎(1+2d‎)‎‎2‎=1+8d， 解得：d=1‎或d=0‎（舍）， ∴ 数列‎{an}‎的通项公式为an‎=1+(n−1)=n.‎ ‎(2)‎‎∵ an‎=n， ∴ bn‎=‎‎2‎n， ∴ Sn‎=b‎1‎+b‎2‎+...+‎bn ‎=2+‎2‎‎2‎+‎2‎‎3‎+⋯+‎‎2‎n ‎=‎‎2(1−‎2‎n)‎‎1−2‎ ‎=‎2‎n+1‎−2‎．‎ ‎【答案】‎ 证明：‎(1)‎∵ BF⊥‎平面ABCD，DE⊥‎平面ABCD， ∴ BF//DE. ∵ BF=DE， ∴ 四边形BFED为平行四边形， ∴ BD//EF．‎ ‎(2)‎设AC与BD交于点N. ∵ ABCD为正方形， ∴ N为AC的中点，则MN为‎△ACE的中位线， ∴ MN//EC. ∵ MN⊄‎平面EFC， EC⊂‎平面EFC， ∴ MN//‎平面EFC. 由‎(1)‎可知BD//EF. ∵ BD⊄‎平面EFC， EF⊂‎平面EFC， ∴ BD//‎平面EFC． 又∵ MN∩BD=N， ∴ 平面BDM//‎平面EFC.‎ ‎【考点】‎ 两条直线平行的判定 直线与平面垂直的性质 平面与平面平行的判定 ‎【解析】‎ 无 无 ‎【解答】‎ 证明：‎(1)‎∵ BF⊥‎平面ABCD，DE⊥‎平面ABCD， ∴ BF//DE. ∵ BF=DE， ∴ 四边形BFED为平行四边形， ∴ BD//EF．‎ ‎(2)‎设AC与BD交于点N. ∵ ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ ABCD为正方形， ∴ N为AC的中点，则MN为‎△ACE的中位线， ∴ MN//EC. ∵ MN⊄‎平面EFC， EC⊂‎平面EFC， ∴ MN//‎平面EFC. 由‎(1)‎可知BD//EF. ∵ BD⊄‎平面EFC， EF⊂‎平面EFC， ∴ BD//‎平面EFC． 又∵ MN∩BD=N， ∴ 平面BDM//‎平面EFC.‎ ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎∵ b‎2‎‎+c‎2‎−a‎2‎=bc， ∴ cosA=b‎2‎‎+c‎2‎−‎a‎2‎‎2bc=‎‎1‎‎2‎． 又∵ ‎0

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