中考数学真题分类汇编第二期专题36规律探索试题含解析09

中考数学真题分类汇编第二期专题36规律探索试题含解析09

规律探索 一.选择题 ‎1. （2018·湖北随州·3分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（　　）‎ A．33 B．301 C．386 D．571‎ ‎【分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．‎ ‎【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，‎ 当n=19时，=190＜200，当n=20时，=210＞200，‎ 所以最大的三角形数m=190；‎ 当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，‎ 所以最大的正方形数n=196，‎ 则m+n=386，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2．‎ ‎2.（2018•山东烟台市•3分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（　　）‎ A．28 B．29 C．30 D．31‎ ‎【分析】根据题目中的图形变化规律，可以求得第个图形中玫瑰花的数量，然后令玫瑰花的数量为120，即可求得相应的n的值，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：由图可得，‎ 第n个图形有玫瑰花：4n，‎ 令4n=120，得n=30，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出题目中图形的变化规律．‎ ‎3.（2018•山东济宁市•3分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为 10， 符合此要求的只有 故选：C．‎ ‎4. （2018湖南张家界3.00分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，则2+22+23+24+25+…+21018的末位数字是（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．0‎ ‎【分析】通过观察发现：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据2018÷4=504…2，得出22018的个位数字与22的个位数字相同是4，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，2018÷4=504…2，‎ ‎∴22018的个位数字与22的个位数字相同是4，‎ 故2+22+23+24+25+…+21018的末位数字是2+4+8+6+…+2+4的尾数，‎ 则2+22+23+24+25+…+21018的末位数字是：2+4=6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评 二.填空题 ‎1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y=﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018=　　．‎ ‎【分析】分别过点P1.P2.P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．‎ ‎【解答】解：如图，分别过点P1.P2.P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C.D.E，‎ ‎∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，‎ ‎∴OC=CA1=P1C=3，‎ 设A1D=a，则P2D=a，‎ ‎∴OD=6+a，‎ ‎∴点P2坐标为（6+a，a），‎ 将点P2坐标代入y=﹣x+4，得：﹣（6+a）+4=a，‎ 解得：a=，‎ ‎∴A1A2=2a=3，P2D=，‎ 同理求得P3E=、A2A3=，‎ ‎∵S1=×6×3=9.S2=×3×=、S3=××=、……‎ ‎∴S2018=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎2.（2018•江苏淮安•3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是　（）n﹣1　．‎ ‎【分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．‎ ‎【解答】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，‎ ‎∴∠D1OA1=45°，‎ ‎∴D1A1=OA1=1，‎ ‎∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1，‎ 由勾股定理得，OD1=，D1A2=，‎ ‎∴A2B2=A2O=，‎ ‎∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1，‎ 同理，A3D3=OA3=，‎ ‎∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1，‎ ‎…‎ 由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=（）n﹣1，‎ 故答案为：（）n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键．‎ ‎3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，1），那么点A2018的纵坐标是　　．‎ ‎【分析】因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点A的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半．故先设出各点A的纵坐标，可以表示A的横坐标，代入解析式可求点A的纵坐标，规律可求．‎ ‎【解答】解：分别过点A1，A2，A3，…向x轴作垂线，垂足为C1，C2，C3，…‎ ‎∵点A1（1，1）在直线y=x+b上 ‎∴代入求得：b=‎ ‎∴y=x+‎ ‎∵△OA1B1为等腰直角三角形 ‎∴OB1=2‎ 设点A2坐标为（a，b）‎ ‎∵△B1A2B2为等腰直角三角形 ‎∴A2C2=B1C2=b ‎∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b 把A2（2+b，b）代入y=x+‎ 解得b=‎ ‎∴OB2=5‎ 同理设点A3坐标为（a，b）‎ ‎∵△B2A3B3为等腰直角三角形 ‎∴A3C3=B2C3=b ‎∴a=OC3=OB2+B2C3=5+b 把A2（5+b，b）代入y=x+‎ 解得b=‎ 以此类推，发现每个A的纵坐标依次是前一个的倍 则A2018的纵坐标是 故答案为：‎ ‎【点评】本题为一次函数图象背景下的规律探究题，结合了等腰直角三角形的性质，解答过程中注意对比每个点A的纵坐标变化规律．‎ ‎4.（2018•临安•3分.）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=　109　．‎ ‎【分析】要求a+b的值，首先应该认真仔细地观察题目给出的4个等式，找到它们的规律，即中，b=n+1，a=（n+1）2﹣1．‎ ‎【解答】解：根据题中材料可知=，‎ ‎∵10+=102×，‎ ‎∴b=10，a=99，‎ a+b=109．‎ ‎【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出式子的规律．‎ ‎4. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：‎ 规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）......按此规律，自然数2018记为__________‎ ‎【答案】（505，2）‎ ‎【解析】分析：由表格数据排列可知，4个数一组，奇数行从左向右数字逐渐增大，偶数行从右向左数字逐渐增大，用2018除以4，商确定所在的行数，余数确定所在行的序数，然后解答即可．‎ 详解：2018÷4=504⋯⋯2.‎ ‎∴2018在第505行，第2列，‎ ‎∴自然数2018记为（505，2）.‎ 故答案为：（505，2）.‎ 点睛：本题是对数字变化规律的考查，观察出实际有4列，但每行数字的排列顺序是解题的关键，还要注意奇数行与偶数行的排列顺序正好相反．‎ ‎5. （2018•广西南宁•3分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是　3　．‎ ‎【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出30+31+32+…+32018的结果的个位数字．‎ ‎【解答】解：∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，‎ ‎∴个位数4个数一循环，‎ ‎∴（2018+1）÷4=504余3，‎ ‎∴1+3+9=13，‎ ‎∴30+31+32+…+32018的结果的个位数字是：3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．‎ ‎6. （2018·黑龙江龙东地区·3分）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=　（）n　．‎ ‎【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABnCn的面积．‎ ‎【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，‎ ‎∴BB1=1，AB=2，‎ 根据勾股定理得：AB1=，‎ ‎∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；‎ ‎∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，‎ ‎∴B1B2=，AB1=，‎ 根据勾股定理得：AB2=，‎ ‎∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；‎ 依此类推，第n个等边三角形ABnCn的面积为（）n．‎ 故答案为：（）n．‎ ‎【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．‎ ‎7. （2018·黑龙江齐齐哈尔·3分）在平面直角坐标系中，点A（，1）在射线OM上，点B（，3）在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，…，依次规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为　32019　．‎ ‎【分析】根据题意，分别找到AB.A1B1.A2B2……及 BA1.B1A2.B2A3……线段长度递增规律即可 ‎【解答】解：由已知可知 点A.A1.A2.A3……A2018各点在正比例函数y=的图象上 点B.B1.B2.B3……B2018各点在正比例函数y=的图象上 两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为：①‎ 由已知，Rt△A1B1A2，…，到Rt△B2017A2018B2018 都有一个锐角为30°‎ ‎∴当A（B）点横坐标为时，由①AB=2，则BA1=2，则点A1横坐标为，B1点纵坐标为9=32‎ 当A1（B1）点横坐标为3时，由①A1B1=6，则B1A2=6，则点A2横坐标为，B2点纵坐标为27=33‎ 当A2（B2）点横坐标为9时，由①A2B2=18，则B2A3=18，则点A3横坐标为，B3点纵坐标为81=34‎ 依稀类推 点B2018的纵坐标为32019‎ 故答案为：32019‎ ‎【点评】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了含有特殊角的直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合．‎ ‎8.（2018•广东•3分）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为　（2，0）　．‎ ‎【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2.B3.B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标．‎ ‎【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，‎ OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．‎ ‎∵点A2在双曲线y=（x＞0）上，‎ ‎∴（2+a）•a=，‎ 解得a=﹣1，或a=﹣﹣1（舍去），‎ ‎∴OB2=OB1+2B1C=2+2﹣2=2，‎ ‎∴点B2的坐标为（2，0）；‎ 作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，‎ OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．‎ ‎∵点A3在双曲线y=（x＞0）上，‎ ‎∴（2+b）•b=，‎ 解得b=﹣+，或b=﹣﹣（舍去），‎ ‎∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2+2=2，‎ ‎∴点B3的坐标为（2，0）；‎ 同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；‎ ‎…，‎ ‎∴点Bn的坐标为（2，0），‎ ‎∴点B6的坐标为（2，0）．‎ 故答案为（2，0）．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2.B3.B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9. （2018•广西北海•3分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35 = 243，…，根据其 中规律可得30 + 31 + 32 +· · · + 32018 的结果的个位数字是 。‎ ‎【答案】3‎ ‎【考点】循环规律 ‎【解析】∵ 30 = 1 ， 31 = 3 ， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81 个位数 4 个数一循环， (2018+1)¸ 4 = 504余3 ， 1+ 3 + 9 = 13， 30 + 31 + 32 +· · ·‎ ‎+ 32018的个位数字是 ‎3 。‎ ‎【点评】找到循环规律判断个位数。‎ ‎10.（2018•广西贵港•3分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（　2n﹣1，0　）．‎ ‎【分析】依据直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．‎ ‎【解答】解：∵直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，‎ ‎∴当x=1时，y=，‎ 即B1（1，），‎ ‎∴tan∠A1OB1=，‎ ‎∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，‎ ‎∴OB1=2OA1=2，‎ ‎∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，‎ ‎∴A2（2，0），‎ 同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，‎ ‎∴点An的坐标为（2n﹣1，0），‎ 故答案为：2n﹣1，0．‎ ‎【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．‎ ‎11.（2018•贵州黔西南州•3分）根据下列各式的规律，在横线处填空：‎ ‎，，=，…，+﹣　　=‎ ‎【分析】根据给定等式的变化，可找出变化规律“+﹣=（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵+﹣1=，+﹣=，+﹣=，+﹣=，…，‎ ‎∴+﹣=（n为正整数）．‎ ‎∵2018=2×1009，‎ ‎∴+﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式的变化，找出变化规律“+﹣=（n为正整数）”是解题的关键．‎ ‎12.（2018•贵州遵义•4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为　4035　．‎ ‎【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：由图可得，‎ 第1层三角形的个数为：1，‎ 第2层三角形的个数为：3，‎ 第3层三角形的个数为：5，‎ 第4层三角形的个数为：7，‎ 第5层三角形的个数为：9，‎ ‎……‎ 第n层的三角形的个数为：2n﹣1，‎ ‎∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035，‎ 故答案为：4035．‎ ‎11．（2018年湖南省娄底市）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4an=（an+1﹣1）2‎ ‎﹣（an﹣1）2，则a2018=　4035　．‎ ‎【分析】由4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，可得（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+4an=（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1=an+2，根据a1=1，分别求出 a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律an=2n﹣1，即可求出a2018=4035．‎ ‎【解答】解：∵4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，‎ ‎∴（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+4an=（an+1）2，‎ ‎∵a1，a2，a3……是一列正整数，‎ ‎∴an+1﹣1=an+1，‎ ‎∴an+1=an+2，‎ ‎∵a1=1，‎ ‎∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，‎ ‎…，‎ ‎∴an=2n﹣1，‎ ‎∴a2018=4035．‎ 故答案为4035．‎ ‎【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子an+1=an+2．‎ 三.解答题 ‎1. （2018·湖北随州·11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：‎ 例：将0.化为分数形式 由于0.=0.777…，设x=0.777…①‎ 则10x=7.777…②‎ ‎②﹣①得9x=7，解得x=，于是得0.=．‎ 同理可得0.==，1.=1+0.=1+=‎ 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）‎ ‎【基础训练】‎ ‎（1）0.=　　，5.=　　；‎ ‎（2）将0.化为分数形式，写出推导过程；‎ ‎【能力提升】‎ ‎（3）0.1=　　，2.0=　　；‎ ‎（注：0.1=0.315315…，2.0=2.01818…）‎ ‎【探索发现】‎ ‎（4）①试比较0.与1的大小：0.　=　1（填“＞”、“＜”或“=”）‎ ‎②若已知0.8571=，则3.1428=　　．‎ ‎（注：0.857l=0.285714285714…）‎ ‎【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循环节有n位，则这个分数的分母为n个9，分子为循环节．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知0.=、5.=5+=，‎ 故答案为：、；‎ ‎（2）0.=0.232323……，‎ 设x=0.232323……①，‎ 则100x=23.2323……②，‎ ‎②﹣①，得：99x=23，‎ 解得：x=，‎ ‎∴0.=；‎ ‎（3）同理 ‎0.1==，2.0=2+=‎ 故答案为：，‎ ‎（4）①0.==1‎ 故答案为：=‎ ‎②3.1428=3+=3+=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了规律探索和简单一元一次方程的应用，解答时注意按照阅读材料的示例找到规律．‎ ‎2..（2018•贵州黔西南州•12分）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．‎ 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10.图n有多少个点？‎ 我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10.图n中黑点的个数分别是　60个　、　6n个　．‎ 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：‎ ‎（1）第5个点阵中有　61　个圆圈；第n个点阵中有　（3n2﹣3n+1）　个圆圈．‎ ‎（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．‎ ‎【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；‎ ‎（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，‎ 第2个图中3为一块，分为6块，余1；‎ 按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，‎ ‎（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．‎ ‎【解答】解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，‎ 故答案为：60个，6n个；‎ ‎（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，‎ 第2个点阵中有：2×3+1=7个，‎ 第3个点阵中有：3×6+1=17个，‎ 第4个点阵中有：4×9+1=37个，‎ 第5个点阵中有：5×12+1=60个，‎ ‎…‎ 第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，‎ 故答案为：60，3n2﹣3n+1；‎ ‎（2）3n2﹣3n+1=271，‎ n2﹣n﹣90=0，‎ ‎（n﹣10）（n+9）=0，‎ n1=10，n2=﹣9（舍），‎ ‎∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．‎ ‎【点评】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．‎