专题33 球的“内切”、“外切”的解题技巧-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题33 球的“内切”、“外切”的解题技巧-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 球的内切问题 使用情景：有关球的内切问题 解题模板：第一步 首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；‎ 第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 第三步 得出结论.‎ 例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，体积之和有最小值．‎ ‎【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察与和棱长间的关系即可． ‎ ‎【变式演练1】一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？‎ ‎【答案】球取出后，圆锥内水平面高为．‎ ‎【解析】‎ 又，则，解得．‎ 答：球取出后，圆锥内水平面高为．‎ ‎【点评】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．‎ 考点：空间几何体的体积；‎ ‎【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．‎ ‎【答案】，．‎ ‎∴得：，‎ ‎∴．∴．‎ ‎【点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是，四个球心构成一个棱长为的正四面体，可以计算正四面体的高为，从而上面球离开桌面的高度为．‎ 考点：空间几何体的球体积和表面积. ‎ ‎【变式演练3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．‎ ‎【答案】．‎ 考点：空间几何体的球体积和表面积.‎ ‎【变式演练4】已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.‎ 考点：三棱锥的外接球 ‎【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ 类型二 球的外接问题 使用情景：有关球的外切问题 解题模板：第一步 首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；‎ 第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 第三步 得出结论.‎ 例2. 已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形， 平面， ，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ，‎ 所求球的表面积为： 。‎ 故选A。‎ 点睛：关于球与柱体（椎体）的组合体的问题，是近年高考的常考内容，且常与几何体的体积、表面积等结合在一起考查。解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．‎ 例3、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）‎ A． B． C． ‎ D．‎ ‎【答案】A 考点：球的表面积和体积.‎ ‎【变式演练5】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据题意作出图形：‎ 设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，‎ 延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=，‎ ‎∴，‎ ‎∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，‎ ‎∴．‎ ‎【变式演练6】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上， 平面， ， ， ， ，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查了有关球的组合体问题，其中解答中涉及到直线与平面垂直的性质，球的性质和球的表面公式等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握组合体的结构特征，正确应用球的性质是解答的关键. ‎ ‎【变式演练6】在三棱锥中， 与都是边长为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 2. 【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设正方体边长为 ，则 ，‎ 外接球直径为.‎ ‎【考点】 球 ‎【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法. ‎ ‎3. .【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 4.【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 ‎【考点】球的表面积 ‎【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、‎ 外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎１．已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________．‎ ‎【答案】‎ 考点：圆锥与球．‎ ‎２．设三棱柱的侧棱与底面垂直，，，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为，由于长方体底面为边长为的正方形，故侧面的对角线为，由余弦定理可知，直线与直线所成角的余弦值为.‎ 考点：三棱柱外接球、异面直线所成角．‎ ‎【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.‎ ‎３．【2018河省衡水第一中学模拟】某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ，利用正弦定理可以求出的外接圆半径 ‎ ‎ ， ， ， 平面，则，则球的半径 ，外接球的表面积为，选A.‎ ‎ 4. 【2018湖南湘东五校联考】已知正三棱锥P—ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 6. 【2018四川省大教育联盟】如图， 是边长为的正方形，点， 分别为边， 的中点，将， ， 分别沿， ， 折起，使， ， 三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 7. 【2018黑龙江牡丹江第一高级中学模拟】如图， 均垂直于平面和平面， ，则多面体的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，多面体为棱长为的正方体，切去两个角， 多面体的外接球的直径为，半径为多面体的外接球的表面积为，故选C.‎ ‎8. 【2018湖北四校联考】已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为，则球0的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 9.【2018山西榆社中学模拟】如图，在四棱锥中， 底面， ，底面为矩形， 为线段的中点， ， ， ， 与底面所成角为，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 10. 【2018甘肃天水第一中学模拟】如图，点 分别是正方体 的棱 和的中点，则和所成角的大小是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为MN∥， ∥,所以就是和所成角，而是等边三角形，所以.故填.‎ ‎11.【2018湖南衡阳第八中学模拟】已知三棱锥，在底面中， ， ， 面， ，则此三棱锥的外接球的表面积为______. ‎ ‎【答案】‎