2020届二轮复习解析几何与平面向量相结合问题学案（全国通用）

2020届二轮复习解析几何与平面向量相结合问题学案（全国通用）

解析几何与平面向量相结合问题 一．方法综述 向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向 和必然趋势。 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何 问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义 解决有关问题。 二．解题策略 类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题 【例 1】【2018 河南郑州一模】已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 ，左、右 焦点分别是 ，在线段 上有且只有一个点 满足 ，则椭圆的离心率的平方为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ,A B 1 2,F F AB P 1 2PF PF⊥ 3 2 3 5 2 − 1 5 2 − + 3 1 2 − 【指点迷津】本题在考查椭圆的离心率的同时，充分利用向量的垂直等价条件，通过构造函数，利用函数 极值点为零点的要求，建立关于 的关系式，思考量较大，需要比较扎实的计算功底和计算能力. 【举一反三】【2017 届四川省资阳市高三期末】已知双曲线 的右顶点为 ，抛 物线 的焦点为 ．若在 的渐近线上存在点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B* 【 解 析 】 由 题 意 得 ， ， 设 ， 由 ， 得 cba ,, 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b − = > > A 2: 8C y ax= F E P AP FP⊥  E ( )1,2 3 21, 4      3 2 ,4  +∞   ( )2,+∞ ( ) ( ),0 , 2 ,0A a F a 0 0, bP x xa      AP FP⊥  ，因为在 的渐近线上存在点 ，则 ， 即 ，又因为 为双曲线，则 ，故 选 B．* 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以 及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将 系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， ，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键． 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题 【例 2】【广西桂林市桂林中 2016-2017 期中考试】过双曲线 （ ， ）的右焦点 作圆 的切线，切点为 ．直线 交抛物线 于点 ，若 （ 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2 2 2 0 020 3 2 0cAP PF x ax aa ⋅ = ⇒ − + =  E P 0∆ ≥ 2 2 2 2 2 2 2 9 3 29 4 2 0 9 8 8 4 ca a a c e ea − × × ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ E 3 21 4e< ≤ AP FP⊥  0∆ ≥ 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( ),0F c 2 2 2x y a+ = M FM 2 4y cx= − N 2OF ON OM+ =   O 5 2 5 1 2 + 5 1 5+ ，变形可得 ，两边同除以 ，有 ，所以 （负值已经舍去），故选 B．* 【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档 题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当 涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的 内在联系．求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的等式， 从而求出 的值．本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于 的等式，最后解出 的值． 【举一反三】【东北三省三校 2017 年第二次联考】已知 为双曲线 上不同三点，且满足 （ 为坐标原点），直线 的斜率记为 ，则 的最小值为（ ） A． 8 B． 4 C． 2 D． 1 【答案】B 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的有关计算，涉及到的知识点有平面向量中线定理，直线斜率的计算 公式，基本不等式等，属于中档题． 首先得出原点为线段 AB 的中点，再求出直线 PA，PB 斜率的表达式， 算出 为定值，再由基本不等式求出最小值． 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程 【例 3】【湖南省衡阳市 2017 届下期第三次联考】已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆 时针方向旋转 角得到向量 ，叫做把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 ．设平面内曲线 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 后得到点的轨迹是曲线 ， 则原来曲线 的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A ( ) ( )2 2 24 2 4 4c c a a c a− − + = + 2 2c a ac− = 2a 2 1 0e e− − = 1 5 2e += e e e e e , ,A B P 2 2 14 yx − = 2PA PB PO+ =   O ,PA PB ,m n 2 2 4 nm + mn ( ),AB x y= AB θ ( )cos sin , sin cosAP x y x yθ θ θ θ= − + B A θ P C 4 π 2 2 2x y− = C 1xy = − 1xy = 2 2 2y x− = 2 2 1y x− = 【解析】设平面内曲线 上的点 ，则其绕原点沿逆时针方向旋转 后得到点 ，∵点 在曲线 上，∴ ，整 理得 ．故选 A．* 【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查生的数形结合思 想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法 有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角 形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点 的轨迹方程． 【举一反三】【江西省抚州市临川区一中 4 月模拟】已知 、 为单位圆上不重合的两个定点， 为此单 位圆上的动点，若点 满足 ，则点 的轨迹为（ ） A． 椭圆 B． 双曲线 C． 抛物线 D． 圆 【答案】D 类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化 【例 4】【江西省抚州市临川区一中 2018 届上期质检】已知双曲线 ： （ ， ）的左、 右焦点分别为 、 ，过点 作圆 ： 的切线 ，切点为 ，且直线 与双曲线 的一个交 点 满足 ，设 为坐标原点，若 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，故 ，即 ，故点 为线段 的中点， 连 接 ， 则 为 的 中 位 线 ， 且 ， 故 ， 且 ，故点 在双曲线 的右支上， ，则在 中，由勾 C ( ),P x y 4 π ( ) ( )2 2' 2 2P x y x y  − +    ， 'P 2 2 2x y− = ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2x y x y    − − + =          1xy = − P B C A P AP PB PC= +   P C 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 1F 2F 1F Ω 2 2 2 4 ax y+ = l M l C N 1 2 2NF NF a− = O 1 2QN OF OM+ =   C 3 2y x= ± 3y x= ± 6 2y x= ± 6y x= ± 1 2ON PF OM+ =    1ON OM OM PF− = −    1MN F M=  M 1F N OM OM 1 2NF F∆ 1,2 aOM OM F N= ⊥ 2 2NF OM a= = 2 1 1 2, 2F N F N NF NF a⊥ − = N C 1 3NF a∴ = 1 2Rt NF F∆ 股定理可得， ，即 ，解得 ，故 ， 故双曲线 的渐近线方程为 ，故选 C．* 【指点迷津】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有 关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、 虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． 本题中，利用 双曲线的定义与几何性质，以及 构造 的齐次式，从而可求出渐近线的斜率，进而求出渐近 线方程的． 【举一反三】【四川省雅安中 2017-2018 期中考试】如图，已知梯形 中， ， 在线 段 上，且满足 ，双曲线过 三点，且以 、 为焦点．当 时，双曲线 离心率 的取值范围是（ ） A． [ ] B． ( ) C． ( ] D． 【答案】A 2 2 2 1 2 1 2NF NF F F+ = ( ) ( )2 223 2a a c+ = 2 2 10 12 c b a a = = + 6 2 b a = C 6 2y x= ± 2 2 2c a b= + ,a b ABCD 2AB CD= E AC AE ECλ=  C D E、 、 A B 2 3 3 4 λ≤ ≤ e 7 10， 7 10， 1 2， 2, 6   【指点迷津】求双曲线的离心率或离心率的取值范围问题是高考常见问题，求离心率只需寻求一个关于 的等量关系，求离心率的取值范围只需列出一个关于 的不等关系，进而求出离心率的值或离心 率的取值范围，求范围时还要注意曲线的离心率的范围，如双曲线的离心率的范围要大于 1. 类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题 【例 5】【四川省绵阳市南山中 2016-2017 期中考试】已知点 是双曲线 的左焦点， 点 是该双曲线的右顶点，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，若 是钝角三角形，则 该双曲线的离心率 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D * , ,a b c , ,a b c F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > E F x ,A B ABE∆ e ( )1,+∞ ( )1,2 ( )1,1 2+ ( )2,+∞ 【指点迷津】求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不 等式，利用 和 转化为关于 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取 值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用．求双曲线离心率主要 以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查． 【举一反三】【川省成都市新津中 2018 届 11 月月考】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上， 为椭圆的顶点， 为右焦点，延长 与 交于点 ，若 为钝角，则该椭圆的 离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C* 【解析】如图所示， 为 与 的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ， , ,a b c 2 2 2b a c= − ce a = e x 1 2 1 2, , ,A A B B 2F 1 2B F 1 2A B P 1 2B PB∠ 5 2 ,12  −    5 20, 2  −    5 10, 2  −    5 1,12  −    1 2B PB∠ 2 2A B 2 1F B , ,a b c ， 向 量 的 夹 角 为 钝 角 时 ， ， 又 ，两边除以 得 ，即 ，解集 ， 又 ，故选 C．* 类型六 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题 【例 6】【2016 届广西来宾高中 5 月模拟】如图，椭圆 ，圆 ，椭 圆 的左右焦点分别为 ，过椭圆上一点 和原点 作直线 交圆 于 两点，若 ， 则 的值为___________． 【答案】 【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定 义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要 联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖 掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题 的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答． 【举一反三】【2015 届河南省师范大附属中 12 月月考】在平面直角坐标系 中，已知点 A 在椭圆 上，点 P 满足 ，且 ，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度 的最大值为 ． 【答案】15 ( ) ( )2 2 2 1, , ,A B a b F B c b= − = − −   2 2 2 2 1 0, 0A B F B ac b⋅ < ∴ < <  2 2 2 2 2, 0b a c a ac c= − ∴ − − > 2a 21 0e e− − > 2 1 0e e+ − < 1 5 5 1 2 2e − − −< < 5 10 1, 0 2e e −< < ∴ < < ( )2 2 2: 1 24 x yC aa + = > 2 2 2: 4O x y a+ = + C 1 2F F、 P O l O ,M N 1 2 6PF PF⋅ = PM PN⋅ 6 xOy 2 2 125 9 x y+ = ( 1)AP OAλ= −  ( )Rλ ∈ 72OA OP⋅ = 