河北省衡水中学2018-2019学年高三年级上学期四调考试数学（理）试卷 Word版含解析(1)

河北省衡水中学2018-2019学年高三年级上学期四调考试数学（理）试卷 Word版含解析(1)

‎2018—2019学年河北省衡水中学 高三年级上学期四调考试数学（理）试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1．下列命题正确的个数为 ‎①梯形一定是平面图形；‎ ‎②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；‎ ‎③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；‎ ‎④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2．已知‎{an}‎是公差为1的等差数列，Sn为‎{an}‎的前n项和，若S‎8‎‎=4‎S‎4‎，则a‎4‎‎=‎ A．‎5‎‎2‎ B．3 C．‎7‎‎2‎ D．4‎ ‎3．已知双曲线my‎2‎-x‎2‎=1(m∈R)‎与抛物线x‎2‎‎=8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A．y=±‎3‎x B．y=±3x C．y=±‎1‎‎3‎x D．‎y=±‎3‎‎3‎x ‎4．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有 A．40条 B．60条 C．80条 D．120条 ‎5．函数f(x)=x‎2‎-‎‎2‎‎|x|‎的图象大致是 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．若tan(x‎2‎+π‎4‎)+tan(x‎2‎-π‎4‎)=‎‎3‎‎2‎，则tanx=‎ A．‎-2‎ B．2 C．‎3‎‎4‎ D．‎‎-‎‎3‎‎4‎ ‎7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A,B两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为 A．72 B．56 C．57 D．63‎ ‎8．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．‎96π+36‎ B．‎72π+48‎ C．‎48π+96‎ D．‎‎24π+48‎ ‎9．已知函数f(x)=cosxsin2x，下列结论不正确的是 A．y=f(x)‎的图象关于点‎(π,0)‎中心对称 B．y=f(x)‎既是奇函数，又是周期函数 C．y=f(x)‎的图象关于直线x=‎π‎2‎对称 D．y=f(x)‎的最大值为‎3‎‎2‎ ‎10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为 A．‎2000π‎9‎ B．‎4000π‎27‎ C．‎81π D．‎‎128π ‎11．已知y‎2‎‎=4x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y‎2‎‎=4x于A,B，‎∠AFB=‎‎60‎‎0‎，则‎|AB|=‎ A．‎4‎‎7‎‎6‎ B．‎4‎‎7‎‎3‎ C．4 D．3‎ ‎12．已知fx=‎x‎2‎‎,x≤0‎‎-xe‎1-x‎+ax‎2‎-a,x>0‎是减函数，且fx+bx有三个零点，则b的取值范围为 A．‎0,‎ln2‎‎2‎‎∪‎e-1,+∞‎ B．‎0,‎ln2‎‎2‎ ‎ C．e-1,+∞‎ D．‎ln2‎‎2‎‎∪‎e-1,+∞‎ 二、解答题 ‎13．数列‎{an}‎满足a‎1‎‎=6‎，an+1‎‎=‎‎6an-9‎an（n∈‎N‎*‎）.‎ ‎（1）求证：数列‎{‎1‎an‎-3‎}‎是等差数列；‎ ‎（2）求数列‎{lgan}‎的前999项和.‎ ‎14．在四棱锥P-ABCD，AB//CD，‎∠ABC=‎90‎‎0‎,BC=CD=PD=2‎，AB=4,PA⊥BD，平面PBC⊥‎平面PCD，M,N分别是AD,PB中点.‎ ‎（1）证明：PD⊥‎平面ABCD；‎ ‎（2）求MN与平面PDA所成角的正弦值.‎ ‎15．在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b‎2‎‎+c‎2‎-a‎2‎=accosC+c‎2‎cosA.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若ΔABC的面积SΔABC‎=‎‎25‎‎3‎‎4‎，且a=5‎，求sinB+sinC.‎ ‎16．如图，直线AQ⊥‎平面α，直线AQ⊥‎平行四边形，四棱锥的顶点P在平面α上，AB=‎‎7‎，AD=‎‎3‎，AD⊥DB，AC∩BD=O,OP//AQ,AQ=2‎，M,N分别是AQ与CD的中点.‎ ‎（1）求证：MN//‎平面QBC；‎ ‎（2）求二面角M-CB-Q的余弦值.‎ ‎17．如图，椭圆C‎1‎：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左右焦点分别为F‎1‎‎,‎F‎2‎，离心率为‎3‎‎2‎，过抛物线C‎2‎：x‎2‎‎=4by焦点F的直线交抛物线于M,N两点，当‎|MF|=‎‎7‎‎4‎时，M点在x轴上的射影为F‎1‎，连接NO,MO)‎并延长分别交C‎1‎于A,B两点，连接AB，ΔOMN与ΔOAB的面积分别记为SΔOMN，SΔOAB，设λ=‎ SΔOMNSΔOAB.‎ ‎（1）求椭圆C‎1‎和抛物线C‎2‎的方程；‎ ‎（2）求λ的取值范围.‎ ‎18．已知函数f(x)=ax‎3‎‎2‎-lnx-‎‎2‎‎3‎的图象的一条切线为x轴.‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）令g(x)=|f(x)+f'(x)|‎，若存在不相等的两个实数x‎1‎‎,‎x‎2‎满足g(x‎1‎)=g(x‎2‎)‎，求证：x‎1‎x‎2‎‎<1‎.‎ 三、填空题 ‎19．已知向量m‎,‎n夹角为‎60‎‎0‎，且‎|m|=1‎，‎|2m+n|=‎‎10‎，则‎|n|=‎_______.‎ ‎20．已知直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，‎∠ABC=‎120‎‎0‎,AB=2,BC=CC‎1‎=1‎，则异面直线AB‎1‎与BC‎1‎所成角的余弦值为_______.‎ ‎21．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.‎ ‎22．三棱锥P-ABC中，PA⊥‎平面ABC，ΔABC为正三角形，外接球表面积为‎12π，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC的最大值为______.‎ ‎2018—2019学年河北省衡水中学 高三年级上学期四调考试数学（理）试题 数学 答 案 参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ 分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.‎ 详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.‎ 点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.‎ ‎2．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列前n项和公式，代入S‎8‎‎=4‎S‎4‎即可求出a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，再利用等差数列通项公式就能算出a‎4‎.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎{an}‎是公差为1的等差数列，S‎8‎‎=4‎S‎4‎，‎ ‎∴‎‎8a‎1‎+‎8×7×1‎‎2‎=4×(4a‎1‎+‎4×3×1‎‎2‎)‎ 解得a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，则a‎4‎‎=‎1‎‎2‎+3×1=‎‎7‎‎2‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式及其前n项和公式的运用，是基础题。‎ ‎3．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的焦点，进而知道双曲线的一个焦点，从而求出m，和双曲线的渐近线。‎ ‎【详解】‎ ‎∵抛物线x‎2‎‎=8y的焦点为‎(0,2)‎ ‎∴双曲线的一个焦点为‎(0,2)‎，∴‎1‎m‎+1=4‎，∴‎m=‎‎1‎‎3‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±‎3‎x 所以A选项是正确的.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线和抛物线的标准方程及几何性质，是基础题。‎ ‎4．B ‎【解析】‎ 试题分析：蚂蚁从A到C需要走五段路，其中三纵二竖，共有C‎5‎‎2‎‎=10‎条路径，从C到B共有‎3×2=6‎条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从A到B可以爬行的不同的最短路径有‎10×6=60‎条，故选B.‎ 考点：分步计数乘法原理.‎ ‎5．B ‎【解析】‎ f(x)=x‎2‎-‎‎2‎x的定义域为R，‎ f(-x)=‎-x‎2‎-‎2‎‎-x=x‎2‎-‎2‎x= f(x)‎ 则f(x)‎是偶函数 又f‎0‎=-1<0‎ 故选B ‎6．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将题干所给等式利用两角和差的正切公式展开，然后利用二倍角的正切公式求出tanx.‎ ‎【详解】‎ tan(x‎2‎+π‎4‎)+tan(x‎2‎-π‎4‎)‎‎=tanx‎2‎+1‎‎1-tanx‎2‎+tanx‎2‎-1‎‎1+tanx‎2‎=‎4tanx‎2‎‎1-‎tan‎2‎x‎2‎=2tanx=‎‎3‎‎2‎，所以tanx=‎ ‎3‎‎4‎.‎ ‎【点睛】‎ 考查了三角函数公式的运用以及计算能力。‎ ‎7．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将两个全科老师分给语文和数学各一个，再将新组成的语文老师和数学老师分给两个学校。‎ ‎【详解】‎ 先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有C‎2‎‎1‎种，然后将新的4个语文老师分给两个学校C‎3‎‎2‎A‎2‎‎2‎种，同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校 C‎3‎‎2‎A‎2‎‎2‎种，所以共有C‎2‎‎1‎C‎3‎‎2‎A‎2‎‎2‎C‎3‎‎2‎A‎2‎‎2‎=72种分配方法。‎ ‎【点睛】‎ 排列组合中多面手问题，要优先考虑多面手。‎ ‎8．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.。‎ ‎【详解】‎ 该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V左=‎1‎‎4‎‎×‎1‎‎3‎π∙‎6‎‎2‎×8‎=‎24π，右半部分是三棱锥，其体积V右‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×6×6×8‎=‎48‎，所以该几何体的体积V总‎=24π+48‎.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力。‎ ‎9．C ‎【解析】‎ 试题分析：对于A中，因为f(π+x)=cos(π+x)sin2(π+x)=-cosxsin2x，‎ 则f(π-x)=cos(π-x)sin2(π-x)=cosxsin2x，所以f(π+x)+f(π-x)=0‎，可得y=f(x)‎的图象关于‎(π,0)‎中心对称，故A正确；对于B，因为f(π‎2‎+x)=cos(π‎2‎+x)sin2(π‎2‎+x)=-sinx(-sin2x)‎ ‎=sinxsin2x‎，f(π‎2‎-x)=cos(π‎2‎-x)sin2(π‎2‎-x)=sinxsin2x，所以f(π‎2‎+x)=f(π‎2‎-x)‎，可得y=f(x)‎的图象关于x=‎π‎2‎中心对称，故B正确；对于C，化简得f(x)=cosxsin2x=2cos‎2‎xsinx ‎=2sinx(1-sin‎2‎x)‎‎，令t=sinx,f(x)=g(t)=2t(1-2t‎2‎),-1≤t≤1‎，因为g(t)=2t(1-t‎2‎)‎的导数 g‎'‎‎(t)=2-6t‎2‎=2(1+‎3‎t)(1-‎3‎t)‎‎，所以当t∈(-1,-‎3‎‎3‎)‎或t∈(‎3‎‎3‎,1)‎时，g‎'‎‎(t)<0‎，函数g(t)‎为减函数；当t∈(-‎3‎‎3‎,‎3‎‎3‎)‎时，g‎'‎‎(t)>0‎，函数g(t)‎为增函数，因此函数g(t)‎的最大值为t=-1‎或t=‎‎3‎‎3‎时的函数值，结合g(-1)=0x‎1‎>0‎，‎ 因为kQA‎=‎kQB，即‎2‎x‎2‎x‎2‎‎+1‎‎=‎‎2‎x‎1‎x‎1‎‎+1‎，整理化简得x‎1‎x‎2‎‎=1‎，‎ ‎|AB‎|‎‎2‎=‎(x‎2‎-x‎1‎)‎‎2‎+‎‎(2x‎2‎-2x‎1‎)‎‎2‎‎，‎|AF|=x‎1‎+1‎，‎|BF|=x‎2‎+1‎，‎ 代入余弦定理‎|AB‎|‎‎2‎=|AF‎|‎‎2‎+|BF‎|‎‎2‎-2|AF||BF|cos‎60‎‎0‎整理化简得：‎ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎10‎‎3‎‎，又因为x‎1‎x‎2‎‎=1‎，所以x‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎，x‎2‎‎=3‎，‎ ‎|AB|=‎(x‎2‎-x‎1‎)‎‎2‎‎+‎‎(2x‎2‎-2x‎1‎)‎‎2‎=‎‎4‎‎7‎‎3‎‎，选B.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线题目要注意题中几何关系，利用余弦定理是解决本题的关键。‎ ‎12．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于分段函数f(x)‎是减函数，从而知道当x>0‎时，f(x)=-x(e‎1-x+ax‎2‎-a)‎为减函数，此时导函数f'(x)≤0‎恒成立，从而求出a=1‎。再由于y=f(x)+bx有三个零点，也就是函数y=f(x)‎与y=-bx图象有三个交点，通过讨论‎-b与交点的情况进而求出b的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 当x>0‎，f(x)=-x(e‎1-x+ax‎2‎-a)‎单调递减，‎ 可得x>0时，f'(x)=-x(e‎1-x+ax‎2‎-a)-x(-e‎1-x+a‎2‎)=(x-1)(e‎1-x-a)≤0‎在恒成立。‎ 当‎00‎时，f(x)=-bx，即b=e‎1-x+x‎2‎-1‎有唯一解。‎ 令g(x)=e‎1-x+x‎2‎-1‎，g'(x)=-e‎1-x+‎‎1‎‎2‎.令g‎'‎x‎=0‎得x=1+ln2‎，‎ 所以x∈‎0,1+ln2‎时，g‎'‎x<0‎，g(x)‎单调递减；x∈‎‎1+ln2，‎‎+∞‎时，g‎'‎x‎>0‎，g(x)‎单调递增。‎ g‎(x)‎min=g(1+ln2)=‎ln2‎‎2‎‎ ，‎ x→0‎时，g(x)→e-1‎，x→+∞‎时，g(x)→+∞‎，‎ 所以要使b=e‎1-x+x‎2‎-1‎在‎(0,+∞)‎有唯一解，‎ 只需b=‎ln2‎‎2‎或b≥e-1‎.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 零点问题是近年高考中常考题型，常常转化为构造两个函数交点问题，利用数形结合也是常见的方法。‎ ‎13．（1）见解析；（2）‎nlg3+lg(n+1)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）方程两边减3后，取倒数可化简得‎1‎an+1‎‎-3‎‎-‎1‎an‎-3‎=‎‎1‎‎3‎，即可证明（2）化简lgan=lg‎3(n+1)‎n=lg3+lg(n+1)-lgn，相加相消求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）数列an满足：a‎1‎‎=6‎，an+1‎‎=‎‎6an-9‎an（n∈N*‎）‎ ‎1‎an+1‎‎-3‎‎=‎‎ ‎1‎‎6an-9‎an‎-3‎‎=an‎-3+3‎‎3(an-3)‎=‎1‎‎3‎+‎‎1‎an‎-3‎ ，‎ 所以，‎1‎an+1‎‎-3‎‎-‎1‎an‎-3‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 即，数列‎1‎an‎-3‎是以‎1‎a‎1‎‎-3‎‎=‎‎1‎‎3‎为首项，‎1‎‎3‎为公差的等差数列；‎ ‎（2）由（1）得‎1‎an+1‎‎-3‎‎=‎1‎‎3‎+（n-1)‎‎1‎‎3‎，解之得：an‎=‎‎3(n+1)‎n；‎ 所以，‎lgan=lg‎3(n+1)‎n=lg3+lg(n+1)-lgn 于是，‎Tn‎=[lg3+lg2-lg1]+[lg3+lg3-lg2]+⋯+[lg3+lg(n+1)-lgn]=nlg3+lg(n+1)‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和，属于中档题.‎ ‎14．（1）见解析（2）‎‎10‎‎5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明直线PD⊥‎平面ABCD，只需要证明直线PD与平面ABCD内两条相交直线都垂直，通过题中条件分析证明PD分别垂直于BD和BC即可。（2）建立空间直角坐标系，通过找出平面PDA的法向量，利用空间向量法计算线面角的公式即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取PC中点为Q，则由CD=PD可得DQ⊥PC，‎ 因为平面PBC⊥‎平面PCD，所以DQ⊥‎平面PBC，故DQ⊥BC，‎ 而CD⊥BC，CD交DQ于D，所以BC⊥‎平面PDC，可得到BC⊥PD.‎ 连接BD，在直角梯形ABCD中，易求得BD=2‎2‎,AD=2‎‎2‎，而AB=4‎，‎ 则AD‎2‎+BD‎2‎=AB‎2‎，即BD⊥AD，‎ 又BD⊥PA，可得BD⊥‎平面PAD，所以BD⊥PD.‎ 又BC⊥PD，BC与BD交于B，所以PD⊥‎平面ABCD.‎ ‎（2）以D为原点，DA‎,DB,‎DP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则D‎0,0,0‎，A(2‎2‎,0,0)‎，B(0,2‎2‎,0)‎，P(0,0,2)‎，M(‎2‎,0,0)‎，N(0,‎2‎,1)‎.‎ 平面PAD的法向量为DB‎=(0,2‎2‎,0)‎，MN‎=(-‎2‎,‎2‎,1)‎,故所求线面角的正弦值为‎|cos|=|MN‎⋅‎BD‎|MN||BD|‎|=‎4‎‎5‎‎⋅2‎‎2‎=‎‎10‎‎5‎ ‎【点睛】‎ 在立体几何题中，二面角、线面角等问题，常常可以通过建立空间直角坐标系利用法向量方法来做，关键在于建立合适的坐标系，找准坐标和法向量，确定所求角。‎ ‎15．（Ⅰ）A=‎π‎3‎；（Ⅱ）‎3‎.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为‎2bccosA=accosC+c‎2‎cosA，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得cosA=‎‎1‎‎2‎，从而得A角；‎ ‎（Ⅱ）由三角形面积公式求得bc=25‎，再由余弦定理可求得b‎2‎‎+c‎2‎=50‎，从而得b+c=10‎，再由正弦定理得sinB+sinC=(b+c)⋅‎sinAa，计算可得结论.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为b‎2‎‎+c‎2‎-a‎2‎=accosC+c‎2‎cosA，所以由‎2bccosA=accosC+c‎2‎cosA，‎ 即‎2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理得‎2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，‎ 即‎2sinBcosA=sin(A+C)‎，∵sin(A+C)=sin(π-B)=sinB，‎ ‎∴‎2sinBcosA=sinB，即sinB(2cosA-1)=0‎，‎ ‎∵‎00)‎，由y=mxx‎2‎‎=4y，解得xN‎=4m，从而可求得ON‎=4m‎1+‎m‎2‎，同理可得OM‎,OA,‎OB,故可将λ=SΔOMNSΔOAB=‎ON‎⋅‎OMOA‎⋅‎OB化为m的代数式，用基本不等式求解可得结果。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由抛物线定义可得M(-c,‎7‎‎4‎-b)‎，‎ ‎∵点M在抛物线x‎2‎‎=4by上，‎ ‎∴c‎2‎‎=4b(‎7‎‎4‎-b)‎，即c‎2‎‎=7b-4‎b‎2‎ ①‎ 又由ca‎=‎‎3‎‎2‎，得 ‎c‎2‎‎=3‎b‎2‎ 将上式代入①，得‎7b‎2‎=7b 解得b=1,‎ ‎∴‎c=‎3‎,‎ ‎∴a=2‎‎，‎ 所以曲线C‎1‎的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎，曲线C‎2‎的方程为x‎2‎‎=4y。 ‎ ‎（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+1‎，‎ 由y=kx+1‎x‎2‎‎=4y消去y整理得x‎2‎‎-4kx-4=0‎，‎ 设M（x‎1‎,y‎1‎)‎，N(x‎2,‎y‎2‎)‎.‎ 则x‎1‎x‎2‎‎=-4‎，‎ 设kON‎=m，kOM‎=m'‎，‎ 则mm'=y‎2‎x‎2‎⋅y‎1‎x‎1‎=‎1‎‎16‎x‎1‎x‎2‎=-‎‎1‎‎4‎，‎ 所以m'=-‎‎1‎‎4m， ②‎ 设直线ON的方程为y=mx ‎(m>0)‎，‎ 由y=mxx‎2‎‎=4y，解得xN‎=4m，‎ 所以ON‎=‎1+‎m‎2‎xN=4m‎1+‎m‎2‎，‎ 由②可知，用‎-‎‎1‎‎4m代替m，‎ 可得OM‎=‎1‎m‎1+‎‎(-‎1‎‎4m)‎‎2‎xM=‎‎1+‎‎1‎‎16‎m‎2‎， ‎ 由y=mxx‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎，解得xA‎=‎‎2‎‎4m‎2‎+1‎，‎ 所以OA‎=‎1+‎m‎2‎xA=‎‎2‎‎1+‎m‎2‎‎4m‎2‎+1‎，‎ 用‎-‎‎1‎‎4m代替m，可得OB‎=‎1+‎‎1‎‎16‎m‎2‎xB=‎‎2‎‎1+‎‎1‎‎16‎m‎2‎‎1‎‎4‎m‎2‎‎+1‎ 所以λ=SΔOMNSΔOAB=ON‎⋅‎OMOA‎⋅‎OB=‎‎4m‎1+‎m‎2‎⋅‎‎1‎m‎1+‎‎1‎‎16‎m‎2‎‎2‎‎1+‎m‎2‎‎4m‎2‎+1‎‎⋅‎‎2‎‎1+‎‎1‎‎16‎m‎2‎‎1‎‎4‎m‎2‎‎+1‎ ‎=‎4m‎2‎+1‎⋅‎1‎‎4‎m‎2‎‎+1‎=‎‎4m‎2‎+2+‎‎1‎‎4‎m‎2‎ ‎=2m+‎1‎‎2m≥2‎‎，当且仅当m=1‎时等号成立。‎ 所以λ的取值范围为‎[2,+∞)‎. ‎ 点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎③利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎18．（Ⅰ）a=‎‎2‎‎3‎;（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）依据题设条件借助导数的几何意义求解；（2）依据题设构造函数h(x)=‎2‎‎3‎(x‎3‎‎2‎-1)+x-‎1‎x-lnx，运用导数的知识分析推证：‎ ‎（Ⅰ）f'(x)=‎3a‎2‎x-‎‎1‎x，x>0‎，‎ 设切点坐标为‎(x‎0‎,0)‎，由题意得‎{‎f(x‎0‎)=ax‎0‎‎3‎‎2‎-lnx‎0‎-‎2‎‎3‎=0,‎f'(x‎0‎)=‎3a‎2‎x‎0‎-‎1‎x‎0‎=0,‎ 解得‎{‎x‎0‎‎=1,‎a=‎2‎‎3‎.‎ ‎（Ⅱ）g(x)=|‎2‎‎3‎(x‎3‎‎2‎-1)+x-‎1‎x-lnx|‎，令h(x)=‎2‎‎3‎(x‎3‎‎2‎-1)+x-‎1‎x-lnx，‎ 则h'(x)=(x-‎1‎x)+(‎1‎‎2‎x+‎1‎x‎2‎)‎，当x≥1‎时，x‎-‎1‎x≥0‎，h'(x)>0‎，‎ h'(x)‎又可以写成‎(x+‎1‎‎2‎x)+‎‎1-xx‎2‎，当‎00‎，h'(x)>0‎．‎ 因此h'(x)‎在‎(0,+∞)‎上大于0，h(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增，又h(1)=0‎，‎ 因此h(x)‎在‎(0,1)‎上小于0，在‎(1,+∞)‎上大于0，‎ g(x)={‎h(x),x≥1,‎‎-h(x),01‎时，‎0<‎1‎x<1‎，‎ 记G(x)=g(x)-g(‎1‎x)=h(x)-[-h(‎1‎x)]=f(x)+f'(x)+f(‎1‎x)+f'(‎1‎x)‎，‎ 记函数y=f'(x)‎的导函数为y=f''(x)‎，则 G'(x)=f'(x)+f''(x)-‎1‎x‎2‎f'(‎1‎x)-‎1‎x‎2‎f''(‎1‎x)‎‎ ‎=(x-‎1‎x)+(‎1‎‎2‎x+‎1‎x‎2‎)-‎1‎x‎2‎(‎1‎x-x)-‎1‎x‎2‎(x‎2‎+x‎2‎)‎ ‎=(x-1)+x-1‎‎2xx+x‎-1‎x‎2‎x>0‎，‎ 故G(x)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增，‎ 所以G(x)>G(1)=0‎，所以g(x)-g(‎1‎x)>0‎，‎ 不妨设‎0g(‎1‎x‎2‎)‎，‎ 而‎00‎)，f'(h)=3-3‎h‎2‎，‎ f(h)‎在‎(0,1)‎单调递增，在‎[1,+∞)‎单调递减，‎ 所以h=1‎时，VP-ABCmax‎=f‎1‎=‎‎3‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查外接球，首先选取一个面，使得这个图形的外心容易被找到，常见的选取面有直角三角形（斜边中点），正三角形（内心）等.研究多面体的外接球问题，要运用球的性质，还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。 ‎