历届数学高考试题精选——导数及其应用
历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试)
一、选择题:(每小题5分,计50分)
1.(2005全国卷Ⅰ文)函数,已知在时取得极值,则=( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
2.(2008海南、宁夏文)设,若,则( )
A. B. C. D.
3.(2005广东)函数是减函数的区间为( )
A. B. C. D.(0,2)
4.(2008安徽文)设函数 则( )
A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数
5.(2007福建文、理)已知对任意实数x有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f’(x)>0,g’(x)>0,
则x<0时( )
A f’(x)>0,g’(x)>0 B f’(x)>0,g’(x)<0
C f’(x)<0,g’(x)>0 D f’(x)<0,g’(x)<0
6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线在点(1,)处的切线与直线平行,则( )
A.1 B. C. D.
7.(2006浙江文)在区间上的最大值是( )
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
x
y
o
A
x
y
o
D
x
y
o
C
x
y
o
B
8.(2004湖南文科)若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f /(x)的图象是( )
9.(2004全国卷Ⅱ理科)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数( )
(A)(,) (B)(,2) (C)(,) (D)(2,3)
10.(2004浙江理科)设是函数f(x)的导函数,y=的图象如图所示,则y= f(x)的
图象最有可能的是( )
二、填空题:(每小题5分,计20分)
11.(2007浙江文)曲线在点(1,一3)处的切线方程是________________.
12.(2005重庆文科)曲线在点(1,1)处的切线与x轴、直线所围成的三角形的
面积为 .
13.(2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,
则_____________;
14.(2008北京文)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C
的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))= ____ ;
函数f(x)在x=1处的导数f′(1)= ______
三、解答题:(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15.(2005北京理科、文科) 已知函数f(x)= -x3+3x2+9x+a.
(I)求f(x)的单调递减区间;
(II)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
16.(2006安徽文)设函数,已知是奇函数。
(Ⅰ)求、的值。 (Ⅱ)求的单调区间与极值。
.(2005福建文科)已知函数的图象过点P(0,2),且
在点M(-1,f(-1))处的切线方程为.
(Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)求函数的单调区间.
(2007重庆文)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽
之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
19.(2008全国Ⅱ卷文) 设,函数.
(Ⅰ)若是函数的极值点,求的值;
(Ⅱ)若函数,在处取得最大值,求的取值范围.
20. (2008湖北文) 已知函数(m为常数,且m>0)有极大值9.
(Ⅰ)求m的值; (Ⅱ)若斜率为-5的直线是曲线的切线,求此直线方程.
历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试)
参考答案
一. 选择题:(每小题5分,计50分)
二、填空题:(每小题5分,计20分)
11. ; 12. ;13. 32 ;14. 2 , -2 .
三、解答题:(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15. 解:(I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令f ‘(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(II)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上f ‘(x)>0,所以f(x)在[-1, 2]上单调递增,
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
于是有 22+a=20,解得 a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
16.解(Ⅰ)∵,∴。从而=是一个奇函数,所以得,由奇函数定义得;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而,由此可知,
和是函数是单调递增区间;是函数是单调递减区间;
在时,取得极大值,极大值为,在时,取得极小值,极小值为。
17.解:(Ⅰ)由的图象过点P(0,2),d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知
-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,∴即解得b=c=-3.
故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2,
(Ⅱ) (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,
当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-
0时,因为h(0)= -6<0,,所以要使h(x)≤0在上恒成立,只需h(2) ≤0成立即可,解得a≤;
综上,的取值范围为.
20.解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=m,
当x变化时,f’(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-m)
-m
(-m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f (x)
极大值
极小值
从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9,即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,
依题意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-. 又f(-1)=6,f(-)=,
所以切线方程为y-6=-5(x+1),或y-=-5(x+),
即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.
历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)
一、选择题:(每小题5分,计50分)
1.(2004湖北理科)函数有极值的充要条件是( )
(A) (B) (C) (D)
2.(2007全国Ⅱ理)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
(A)3 (B) 2 (C) 1 (D)
3.(2005湖南理)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,
则f2005(x)=( )
A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx
4.(2008广东理)设,若函数,有大于零的极值点,则( )
A. B. C. D.
5.(2001江西、山西、天津理科)函数有( )
(A)极小值-1,极大值1 (B)极小值-2,极大值3
(C)极小值-2,极大值2 (D)极小值-1,极大值3
6.(2004湖南理科)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,
>0.且,.则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
(A) (B)
(C) (D)
7.(2007海南、宁夏理)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B. C. D.
8. (2008湖北理)若f(x)=上是减函数,则b的取值范围是( )
A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C. D.(-∞,-1)
9.(2005江西理科)已知函数的图像如右图所示(其中是函数,下面四个图象中的图象大致是 ( )
A B C D
10.(2000江西、天津理科)右图中阴影部分的面积是( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题:(每小题5分,计20分)
11.(2007湖北文)已知函数的图象在M(1,f(1))处的切线方程是+2,
f(1)—f’(1)=______________.
12.(2007湖南理)函数在区间上的最小值是 .
13.(2008全国Ⅱ卷理)设曲线在点处的切线与直线垂直,则 _____ .
14.(2006湖北文)半径为r的圆的面积S(r)=r2,周长C(r)=2r,若将r看作(0,+
∞)上的变量,则=2r , 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于的式子:
式可以用语言叙述为: 。
三、解答题:(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15.(2004重庆文)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为:,且生产x吨的成本为(元)。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)
16.(2008重庆文) 设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与
直线12x+y=6平行,求: (Ⅰ)a的值; (Ⅱ)函数f(x)的单调区间.
17.(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
18.(2004浙江理)设曲线≥0)在点M(t, )处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S(t)。 (Ⅰ)求切线的方程; (Ⅱ)求S(t)的最大值。
19.(2007海南、宁夏文)设函数
(Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.
20..(2007安徽理)设a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0).
(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2a ln x+1.
.
历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)
参考答案
一、选择题:(每小题5分,计50分)
二、填空题:(每小题5分,计20分)
11. 3 ; 12.; 13. 2 ; 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
三、解答题:(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15. 解:每月生产x吨时的利润为
,故它就是最大值点,且最大值为:
答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.
16. 解:(Ⅰ)因为, 所以
即当
因斜率最小的切线与平行,即该切线的斜率为-12,
所以 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
17.解:(1) 求导:
当时,,, 在上递增
当,求得两根为
即在递增, 递减, 递增
(2)要使f(x)在在区间内是减函数,当且仅当,在恒成立,
由的图像可知,只需,即, 解得。a≥2。
所以,的取值范围。
18.解:(Ⅰ)因为 所以切线的斜率为
故切线的方程为即。
(Ⅱ)令y= 0得x=t+1, x=0得
所以S(t)==
从而
∵当(0,1)时,>0, 当(1,+∞)时,<0,
所以S(t)的最大值为S(1)=。
19.解:的定义域为.
(Ⅰ).
当时,;当时,;当时,.
从而,分别在区间,单调增加,在区间单调减少.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为.
又.
所以在区间的最大值为.
20.(Ⅰ)解:根据求导法则得
故 于是
列表如下:
x
(0,2)
2
(2,+∞)
F′(x)
-
0
+
F(x)
↓
极小值F(2)
↑
故知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以,在x=2处取得极小值F(2)=2-2In2+2a.
(Ⅱ)证明:由
于是由上表知,对一切
从而当
所以当
故当
1.(2010 ·海南高考·理科T3)曲线在点处的切线方程为( )
(A) (B) (C) (D)
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为 ,所以,在点处的切线斜率,所以,切线方程为,即,故选A.
2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
(A) 13万件 (B) 11万件
(C) 9万件 (D) 7万件
【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.
【思路点拨】利用导数求函数的最值.
【规范解答】选C,,令得或(舍去),当时;当时,故当时函数有极大值,也是最大值,故选C.
3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为( )
(A) (B) (C) (D)
【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标,再利用定积分求面积.
【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=,y=的交点坐标为(0,0),(1,1),故所求封闭图形的面积为,故选A.
4.(2010·辽宁高考理科·T10)已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是( )
(A)[0,) (B) (D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义,考查了基本等式,函数的值域,直线的倾斜角与斜率。
【思路点拨】先求导数的值域,即tan的范围,再根据正切函数的性质求的范围。
【规范解答】选D.
5.(2010·湖南高考理科·T4)等于( )
A、 B、 C、 D、
【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
【思路点拨】记住的原函数.
【规范解答】选D .=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6.(2010·江苏高考·T8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,,若a1=16,则a1+a3+a5的值是________
【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率,然后求得切线方程,再由,即可求得切线与x轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x>0)得,,
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为:
当时,解得,
所以.
【答案】21
7.(2010·江苏高考·T14)将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值是____ ____。
【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用,以及等价转化思想。
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为,然后用分别表示梯形的周长和面积,从而将S用x表示,利用函数的观点解决.
【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为,
则:
方法一:利用导数的方法求最小值。
,
,
当时,递减;当时,递增;
故当时,S的最小值是。
方法二:利用函数的方法求最小值
令,则:
故当时,S的最小值是。
【答案】
【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一,高考不但在填空题中考查,还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段,常见的求函数的最值的常用方法有:换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。
8.(2010·陕西高考理科·T13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为 ;
【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算,属送分题。
【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可
【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为
答案:
9.(2010 ·海南高考·理科T13)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点(i=1,2,…,N),在数出其中满足≤((i=1,2,…,N))的点数,那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .
【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.
【思路点拨】由随机模拟想到几何概型,然后结合定积分的几何意义进行求解.
【规范解答】由题意可知,所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形,而满足≤的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内,由几何概型的计算公式可知的近似值为.
答案:
10.(2010·北京高考理科·T18)已知函数()=In(1+)-+, (≥0)。
(Ⅰ)当=2时,求曲线=()在点(1,(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求()的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用,考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】(1)求出,再代入点斜式方程即可得到切线方程;(2)由讨论的正负,从而确定单调区间。
【规范解答】(I)当时,,
由于,,
所以曲线在点处的切线方程为
即
(II),.
当时,.
所以,在区间上,;在区间上,.
故的单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,由,得,
所以,在区间和上,;在区间上,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是.
当时,
故的单调递增区间是.
当时,,得,.
所以在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是
【方法技巧】
(1)过的切线方程为。
(2)求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。
11.(2010·安徽高考文科·T20)设函数,,求函数
的单调区间与极值。
【命题立意】
本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查考生运算能
力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】
对函数求导,分析导数的符号情况,从而确定的单调区间和极值。
【规范解答】
+
-
0
+
极大值
极小值
【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法,
简单易行,具体操作流程如下:
(1)求导数;
(2)求方程的全部实根;
(3)列表,检查在方程的根左、右的值的符号;
(4)判断单调区间和极值。
12.(2010·北京高考文科·T18) 设定函数,,且方程的两个根分别为1,4。
(Ⅰ)当a=3且曲线过原点时,求的解析式;
(Ⅱ)若在无极值点,求a的取值范围。
【命题立意】本题考查了导数的求法,函数的极值,二次函数等知识。
【思路点拨】(1)由的两个根及过原点,列出三个方程可解出;(2)是开口向上的二次函数,无极值点,则恒成立。
【规范解答】由 得
因为的两个根分别为1,4,所以 (*)
(Ⅰ)当时,(*)式为
解得
又因为曲线过原点,所以
故
(Ⅱ)由于a>0,所以“在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“在(-∞,+∞)内恒成立”。
由(*)式得。
又
解 得
即的取值范围
【方法技巧】(1)当在的左侧为正,右侧为负时,为极大值点;当在的左侧为负,右侧为正时,为极小值点
(2)二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。恒大于0,则;恒小于0,则;
13.(2010·安徽高考理科·T17)设为实数,函数。
(1)求的单调区间与极值;
(2)求证:当且时,。
【命题立意】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式,考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】
(1)先分析的导数的符号情况,从而确定的单调区间和极值;
(2) 设,把问题转化为:求证:当且时,。
【规范解答】(1),
令,得,
极小值
在上单调递减,在上单调递增;
当时,取得极小值为
(2)设,
由(1)问可知,恒成立,
当时,则0恒成立,所以在上单调递增,
所以当时,,
即当且时,。
【方法技巧】
1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法,简单易行;
2、证明函数不等式问题,如证,通常令,转化为证明:。
14.(2010·天津高考文科·T20)已知函数f(x)=,其中a>0.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。
【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。
【规范解答】
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=,f(2)=3;f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(Ⅱ)f’(x)=.令f’(x)=0,解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论:
若,当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
X
0
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-52,则.当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
X
0
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当时,f(x)>0等价于即
解不等式组得或.因此20,此时,函数单调递减;
当时,<0,此时,函数单调递增.
当时,由,
即 ,解得.
① 当时, , 恒成立,此时,函数在(0,+∞)上单调递减;
② 当时, ,
时,,此时,函数单调递减
时,<0,此时,函数单调递增
时,,此时,函数单调递减
③ 当时,由于,
时,,此时,函数单调递减:
时,<0,此时,函数单调递增.
综上所述:
当时,函数在上单调递减;函数在上单调递增
当时,函数在上单调递减
当时,函数在上单调递减;函数 在上单调递增;
函数在上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出;
(2)数的运算:如除法运算中除式不为零,在实数集内偶次方根的被开方数为非负数,对数中真数与底数的要求,不等式两边同乘以一个正数还是负数等;
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题,由参数值的不同而导致结果发生改变;
(4)在研究几何问题时,由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定),引起问题的结果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准;
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏;
(3)当讨论的对象不止一种时,应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象,确定对象的范围;
(2)确定统一的分类标准,进行合理分类,做到不重不漏;
(3)逐段逐类讨论,获得阶段性结果;
(4)归纳总结,得出结论.
16. (2010·陕西高考文科·T21)已知函数
(Ⅰ)若曲线与曲线相交,且在交点处有相同的切线,求的值及该切线的方程;
(Ⅱ)设函数,当存在最小值时,求其最小值的解析式;
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的,证明:当时,
【命题立意】本题将导数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题,考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程;利用导数法求的最小值的解析式利用基本不等式证明(Ⅲ)
【规范解答】(Ⅰ)
两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为
所以切线的方程为
(Ⅱ)由已知条件知
当>0时,令,解得=,
所以当0 < < 时,,h(x)在(0,)上递减;
当x>时,,在上递增。
所以x=是在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是的最小值点。
(2)当a ≤ 0时,在(0,+∞)递增,无最小值。
故
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
由
由
所以
所以
又
所以当时,
17.(2010·陕西高考理科·T21)已知函数
(Ⅰ)若曲线与曲线相交,且在交点处有相同的切线,求的值及该切线的方程;
(Ⅱ)设函数,当存在最小值时,求其最小值的解析式;
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的和任意的,证明:
【命题立意】本题将导数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题,考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程;由利用导数法求的最小值的解析式利用基本不等式证明(Ⅲ)
【规范解答】(Ⅰ)
两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为
所以切线的方程为
(Ⅱ)由已知条件知
当>0时,令,解得=,
所以当0 < < 时,,h(x)在(0,)上递减;
当x>时,,在上递增。
所以x=是在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是的最小值点。
(2)当a ≤ 0时,在(0,+∞)递增,无最小值。
故
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
综上可得:
【方法技巧】不等式的证明方法
1.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.
2.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的.
18.(2010·湖南高考理科·T4)已知函数对任意的,恒有。
(Ⅰ)证明:当时,;
(Ⅱ)若对满足题设条件的任意b,c,不等式恒成立,求M的最小值.
知识点检索号新课标:4
【命题立意】以二次函数为载体,考查导数,不等式的证明,消元等知识。认真的考查了等价转化的思想.
【思路点拨】(1)在对任意的,恒有下可以得到b,c的关系,目标是证明当时,,其实是寻找条件和目标的关系,连接的纽带是b和c的关系.(2)恒成立,转化为求函数的最值,而且是二元函数的最值的求法,没有等式的条件下常常用整体消元.
【规范解答】(1)易知f’(x)=2x+b.由题设,对任意的x恒成立,所以(b-2)2+-4(c-b)≤0,从而c≥
于是c≥1,且c≥|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0.
故当x≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.
即当x≥0时,.
(2)由(1)知,c≥|b|时,有M≥
当c=|b|时,由(1)知,b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0,c2-b2=0,
从而f(c)-f(b)≤.综上所述,M的最小值为.
【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点。解题的思路是,首先看变量的个数,如果是三个变量常有三条路,一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式,二是消元转化为二元再转化为一元,三是有时利用几何背景解题。如果是两个变量常常有三条路可走,一是利用柯西不等式、均值不等式,二是消元转化为一元函数,三是如果条件是不等式,常常也可以数学规划.如果是一个变量,常用方法:基本函数模型,单调性法和导数法.
19.(2010·辽宁高考文科·T21) 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x2,x2(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数,求参数的取值范围,考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力。
【思路点拨】(I)求导数,对参数分类,讨论导数的符号,判断单调性,
(II)转化为等价命题,构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)r的单调性证明。
【规范解答】
【方法技巧】讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域,一般用导数的方法,对参数分类做到不重不漏。
2、直接证明一个命题,不好证时可考虑证明它的等价命题。
20.(2010·辽宁高考理科·T21)已知函数
(I)讨论函数的单调性;
(II)设.如果对任意,,求的取值范围。
【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数,求参数的取值范围,考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力。
【思路点拨】(I)求导数,对参数分类,讨论导数的符号,判断单调性,
(II)转化为等价命题,构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数,求a的范围。
【规范解答】
【方法技巧】
讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域,一般用导数的方法,对参数分类做到不重不漏。
求参数的取值范围往往要分离变量,分离时一定要使分离后的式子有意义,如分母不为0等。
直接证明一个命题,不好证时可考虑证明它的等价命题。
21.(2010·天津高考理科·T21)已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,
(III)如果,且,证明
【命题立意】本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
(Ⅰ)解:f’,令f’(x)=0,解得x=1,
当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表
x
()
1
()
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
所以f(x)在()内是增函数,在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
(Ⅱ)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时,2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)证明:(1)
若
(2)若
根据(1)(2)得
由(Ⅱ)可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内是增函数,所以>,即>2。
22.(2010·江苏高考·T20)设是定义在区间上的函数,其导函数为。如果存在实数和函数,其中对任意的都有>0,使得,则称函数具有性质。
(1)设函数,其中为实数。
(i)求证:函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质,给定设为实数,
,,且,
若||<||,求的取值范围。
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
【思路点拨】(1)求出,并将其表示为的形式,注意.
(2)利用一的结论求解。
【规范解答】
(1)(i)
∵时,恒成立,
∴函数具有性质;
(ii)(方法一)设,与的符号相同。
当时,,,故此时在区间上递增;
当时,对于,有,所以此时在区间上递增;
当时,图像开口向上,对称轴,而,所以当x>1时,所以此时在区间上递增;
当时,图像开口向上,对称轴,方程的两根为:,而
当时,,,故此时在区间 上递减;同理得:在区间上递增。
综上所述,当时,在区间上递增;
当时,在上递减;在上递增。
(方法二)当时,对于,
所以,故此时在区间上递增;
当时,图像开口向上,对称轴,方程的两根为:,而
当时,,,故此时在区间 上递减;同理得:在区间上递增。
综上所述,当时,在区间上递增;
当时,在上递减;在上递增。
(2)(方法一)由题意,得:
又对任意的都有>0,
所以对任意的都有,在上递增。
又。
当时,,且,
若,∴,(不合题意)。
综合以上讨论,得所求的取值范围是(0,1)。
(方法二)由题设知,的导函数,其中函数对于任意的都成立。所以,当时,,从而在区间上单调递增。
①当时,有,
,得,同理可得,所以由的单调性知、,
从而有||<||,符合题设。
②当时,,
,于是由及的单调性知,所以||≥||,与题设不符。
③当时,同理可得,进而得||≥||,与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是(0,1)
23.(2010·浙江高考文科·T21)已知函数(-b)0).
(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2a ln x+1.
历届高考中的“导数及其应用”试题精选(理科)
参考答案
一、选择题:(每小题5分,计50分)
二、填空题:(每小题5分,计20分)
11. 3 ; 12.; 13. 2 ; 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
三、解答题:(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15. 解:每月生产x吨时的利润为
,故它就是最大值点,且最大值为:
答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.
16. 解:(Ⅰ)因为, 所以
即当
因斜率最小的切线与平行,即该切线的斜率为-12,
所以 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
17.解:(1) 求导:
当时,,, 在上递增
当,求得两根为
即在递增, 递减, 递增
(2)要使f(x)在在区间内是减函数,当且仅当,在恒成立,
由的图像可知,只需,即, 解得。a≥2。
所以,的取值范围。
18.解:(Ⅰ)因为 所以切线的斜率为
故切线的方程为即。
(Ⅱ)令y= 0得x=t+1, x=0得
所以S(t)==
从而
∵当(0,1)时,>0, 当(1,+∞)时,<0,
所以S(t)的最大值为S(1)=。
19.解:的定义域为.
(Ⅰ).
当时,;当时,;当时,.
从而,分别在区间,单调增加,在区间单调减少.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为.
又.
所以在区间的最大值为.
20.(Ⅰ)解:根据求导法则得
故 于是
列表如下:
x
(0,2)
2
(2,+∞)
F′(x)
-
0
+
F(x)
↓
极小值F(2)
↑
故知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以,在x=2处取得极小值F(2)=2-2In2+2a.
(Ⅱ)证明:由
于是由上表知,对一切
从而当
所以当
故当
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