高考数学专题复习教案：第十二章 推理与证明、算法、复数
第十二章推理与证明、算法、复数
第一节
合情推理与演绎推理
本节主要包括2个知识点：
1.合情推理； 2.演绎推理.
突破点(一) 合情推理
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
类型
定义
特点
归纳推理
根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
归纳推理
运用归纳推理时的一般步骤
(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)对所得出的一般性命题进行检验．
类型(一) 与数字有关的推理
[例1] 给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第 j 个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( )
A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)
C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)
[解析] 由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．
[答案] A
[易错提醒]
解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
类型(二) 与式子有关的推理
[例2] (1)(2016·山东高考)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋…＋－2＝________.
(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.
[解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知－2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝.
(2)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
[答案] (1) (2)nn
[方法技巧]
与式子有关的推理类型及解法
(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．
(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
类型(三) 与图形有关的推理
[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )
A．21 B．34 C．52 D．55
[解析] 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
[答案] D
[方法技巧]
与图形有关的推理的解法
与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．
类比推理
1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：
类比定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解
类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移
2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：
平面
点
线
圆
三角形
角
面积
周长
…
空间
线
面
球
三棱锥
二面角
体积
表面积
…
[例4] 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n
，则可推算出：EF＝.用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是( )
A．S0＝
B．S0＝
C.＝
D.＝
[解析] 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF＝类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的关系是＝.
[答案] C
[方法技巧]
类比推理的步骤和方法
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．
2．[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( )
A. B. C. D.
解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
3．[考点一·类型(一)]两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )
窗口
1
2
过
道
3
4
5
窗
口
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
…
…
…
…
…
A．48,49 B．62,63 C．75,76 D．84,85
解析：选D 由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析选项中的4组座位号知，A、B两组座位号都不靠窗，C中两个座位没有连在一起，只有D符合条件．
4．[考点一·类型(二)]设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
解析：∵f(21)＝，f(22)>2＝，f(23)>，f(24)>，∴归纳得f(2n)≥(n∈N*)．
答案：f(2n)≥(n∈N*)
5．[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组
蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．
则f(4)＝________，f(n)＝________.
解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.
答案：37 3n2－3n＋1
突破点(二) 演绎推理
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
演绎推理
[典例] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知数列是等比数列，(大前提)
所以＝4·(n≥2)，
即Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
[方法技巧]
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．已知函数f(x)＝－(a>0，且a≠1)．
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：(1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．(大前提)
由已知y＝－，
则－1－y＝－1＋＝－，
f(1－x)＝－＝－＝－＝－，(小前提)
∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点对称．(结论)
(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，
即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.
故f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．
证明：设任意x1，x2∈R，取x1
x1f(x2)＋x2f(x1)，
所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
因为x10，所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．(小前提)
所以y＝f(x)为R上的单调增函数．(结论)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．
答案：1和3
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三个去过同一城市．
由此判断乙去过的城市为________．
解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，因此三人去过的同一城市应为A，而甲去过的城市比乙多，但没去过B城市，所以甲去过A，C城市，乙去过的城市应为A.
答案：A
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理
解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
解析：选A y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．
3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．121 B．123 C．231 D．211
解析：选B 令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
4．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．
解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝.
答案：
5．在平面几何中：△ABC中∠C的角平分线CE分AB所成线段的比为 ＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_____________________．
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.
答案：＝
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d ”；
③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；
④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．
其中类比结论正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 类比结论正确的有①②.复数不能比较大小，③④错误．
2．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )
A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1)
解析：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，则52 016的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选C 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 016＝4×502＋8，所以52 016与58的后四位数字相同，为0 625，故选C.
4．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A．dn＝
B．dn＝
C．dn＝
D．dn＝
解析：选D 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.
5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：选C 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有 1 225.
6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )
A．今天是周六 B．今天是周四
C．A车周三限行 D．C车周五限行
解析：选B 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.
二、填空题
7．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：
[ ]＋[ ]＋[ ]＝3，
[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝10，
[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝21，
……
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．
解析：因为[ ]＋[ ]＋[ ]＝1×3，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝2×5，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.
答案：2n2＋n
8．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.
答案：
9．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：根据题意知，各式中分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
答案：
10.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．
解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.
答案：(1 009,1 008)
三、解答题
11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
∵AF⊂平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
∵AB⊥平面ACD，
∴AB⊥CD.
∵AE⊥平面BCD，
∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，
∴CD⊥平面ABF，
∴CD⊥AF.
∴在Rt△ACD中＝＋，
∴＝＋＋.
12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
第二节
直接证明与间接证明、数学归纳法
本节主要包括3个知识点：
1.直接证明； 2.间接证明；3.数学归纳法.
突破点(一) 直接证明
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
思维过程
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
书写格式
因为…，所以…或由…，得…
要证…，只需证…，即证…
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
综合法
综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
[例1] (2017·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.
(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：>0.
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.
则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当00，故f(x)在(0,1)上是增函数；
当x>1时，f′(x)<0，故f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
故f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.
(2)证明：由题可得，f′(x)＝λln x＋－1.
由题设条件，得f′(1)＝1，即λ＝1.
∴f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
由(1)知，ln x－x＋1<0(x>0，且x≠1)．
当00.
当x>1时，x－1>0，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝ln x＋(xln x－x＋1)＝ln x－x>0，
∴>0.
综上可知，>0.
[方法技巧] 综合法证题的思路
分析法
分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．
[例2] 已知a>0，证明 －≥a＋－2.
[证明] 要证 －≥a＋－2，
只需证 ≥－(2－)．
因为a>0，所以－(2－)>0，
所以只需证2≥2，
即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.
因为a>0，a＋≥2显然成立当且仅当a＝＝1时，等号成立，所以要证的不等式成立．
[方法技巧]
分析法证题的思路
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证明法
解析：选B 因为证明过程是“从左向右”，即由条件逐步推向结论，故选B.
2．[考点一](2017·广州调研)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
解析：选B a2－ab＝a(a－b)，
∵a＜b＜0，∴a－b＜0，
∴a(a－b)>0，即a2－ab＞0，∴a2＞ab.①
又∵ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2，②
由①②得a2＞ab＞b2.
3．[考点一]已知实数a1，a2，…，a2 017满足a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝0，且|a1－2a2|＝|a2
－2a3|＝…＝|a2 017－2a1|，证明：a1＝a2＝a3＝…＝a2 017＝0.
证明：根据条件知：(a1－2a2)＋(a2－2a3)＋(a3－2a4)＋…＋(a2 017－2a1)＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a2 017)＝0.①
另一方面，令|a1－2a2|＝|a2－2a3|＝|a3－2a4|＝…＝|a2 017－2a1|＝m，
则a1－2a2，a2－2a3，a3－2a4，…，a2 017－2a1中每个数或为m或为－m.
设其中有k个m，(2 017－k)个－m，则
(a1－2a2)＋(a2－2a3)＋(a3－2a4)＋…＋(a2 017－2a1)＝k×m＋(2 017－k)×(－m)＝(2k－2 017)m.②
由①②知：(2k－2 017)m＝0.③
而2k－2 017为奇数，不可能为0，所以m＝0.
于是知：a1＝2a2，a2＝2a3，a3＝2a4，…，a2 016＝2a2 017，a2 017＝2a1.
所以a1＝22 017·a1，即得a1＝0.
从而a1＝a2＝a3＝…＝a2 017＝0.命题得证．
4．[考点二]已知m>0，a，b∈R，求证：2≤.
证明：因为m>0，所以1＋m>0.
所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证m(a－b)2≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．
突破点(二) 间接证明
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤
第一步
分清命题“p⇒q”的条件和结论
第二步
作出命题结论q相反的假设綈q
第三步
由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果
第四步
断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真
3.常见的结论和反设词
原结论词
反设词
至少有一个
一个都没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有(n－1)个
至多有n个
至少有(n＋1)个
都是
不都是
对任意x成立
存在某个x不成立
对任意x不成立
存在某个x成立
p或q
綈p且綈q
p且q
綈p或綈q
不都是
都是
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
证明否定性命题
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中任意三项不可能按原来顺序成等差数列．
[解] (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，
所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝.
(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，
所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．
证明“至多”“至少”“唯一”命题
[例3] 已知f(x)＝ln(1＋ex)－mx(x∈R)，对于给定区间(a，b)，存在x0∈(a，b)，使得＝f′(x0)成立，求证：x0唯一．
[证明] 假设存在x′0，x0∈(a，b)，且x′0≠x0，使得＝f′(x0)，＝f′(x′0)成立，
即f′(x0)＝f′(x′0)．
因为f′(x)＝－m，记g(x)＝f′(x)，
所以g′(x)＝>0，f′(x)是(a，b)上的单调递增函数．所以x0＝x′0，这与x′0≠x0矛盾，所以x0是唯一的．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点三]用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要作的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程 x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析：选A 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个实根的否定是没有实根，故作的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
2．[考点一、三]若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a均成立．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，
即·…·>.
则当n＝k＋1时，·…·1＋·>·＝
＝>
＝＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
3．[考点三](2017·常德模拟)设a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解：(1)∵a1＝1，
∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；
a3＝f(a2)＝＝；
a4＝f(a3)＝＝.
猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，
即ak＝，则ak＋1＝f(ak)＝
＝＝＝.
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝.
近五年全国卷对本节内容未直接考查
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．用反证法证明命题：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为( )
A．a，b，c，d中至少有一个正数
B．a，b，c，d全都为正数
C．a，b，c，d全都为非负数
D．a，b，c，d中至多有一个负数
解析：选C 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定是“a，b，c，d全都为非负数”．
2．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C ∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.
3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析：选D 由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.
4．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析：选D ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋
≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
5．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析：选A ∵a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋>＋>＋>0，∴a>b>c.
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：选A 因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f，即A≤B≤C.
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：选A ∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝2＋>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a，故选A.
4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．
5．已知a，b∈R，m＝，n＝b2－b＋，则下列结论正确的是( )
A．m≤n B．m≥n
C．m>n D．mb，则f(f(b))>f(b)>b，与题意不符，
若f(b)0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：
解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．
参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0的解集为________．
解析：不等式＋<0，可化为＋<0，
故得－1<<－或<<1，
解得－30，则实数p的取值范围是________．
解析：依题意有f(－1)>0或f(1)>0，
所以－2p2＋p＋1>0或－2p2－3p＋9>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
得－0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－20，
由00，
知f>0与f＝0矛盾，
∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
(3)证明：由f(c)＝0，得ac2＋bc＋c＝0，
即ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝<＝x2＝，
即－<.
又a>0，∴b>－2，∴－22时，由log2x＝3得x＝8；当x≤2时，由x2－1＝3得x＝2或x＝－2.∴可输入的实数x值的个数为3.
(2)当输入的x为4.7时，执行程序框图可知，4.7>3，4.7－[4.7]＝0.7，即4.7－[4.7]不等于0，因而可得y＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2，即输出的y值为10.2，故选C.
[答案 (1)C (2)C
[方法技巧]
顺序结构和条件结构的运算方法
(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．
(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．
(3)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．
循环结构
考法(一) 由程序框图求输出结果
[例2] (1)如图所示，程序框图的输出结果是( )
A. B. C. D.
(2)(2017·唐山模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a0＝4，a1＝－1，a2＝3，a3＝－2，a4＝1，则输出的t的值为( )
A．5 B．10 C．12 D．14
[解析] (1)第一次循环：n＝2<8，S＝，n＝4；
第二次循环：n＝4<8，S＝＋，n＝6；
第三次循环：n＝6<8，S＝＋＋，n＝8;
第四次循环：n＝8<8不成立，输出S＝＋＋＝，故选D.
(2)第一次循环：t＝2×1－2＝0，i＝2；
第二次循环：t＝0＋3＝3，i＝3；
第三次循环：t＝2×3－1＝5，i＝4；
第四次循环：t＝2×5＋4＝14，i＝5，不满足循环条件，退出循环，输出的t＝14，故选D.
[答案] (1)D (2)D
[方法技巧]
循环结构程序框图求输出结果的注意事项
解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：
第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；
第二，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；
第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．
考法(二) 完善程序框图
[例3] (1)(2016·郑州模拟)按如下程序框图，若输出结果为273，则判断框内应补充的条件为( )
A．i>7 B．i≥7 C．i>9 D．i≥9
(2)如图，给出的是计算＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )
A．i>100，n＝n＋1 B．i>100，n＝n＋2
C．i>50，n＝n＋2 D．i≤50，n＝n＋2
[解析] (1)由程序框图可知：第一次循环，S＝0＋31＝3，i＝3；第二次循环，S＝3＋33＝30，i＝5；第三次循环，S＝30＋35＝273，i＝7.故判断框内可填i≥7，选B.
(2)经第一次循环得到的结果是
经第二次循环得到的结果是
经第三次循环得到的结果是
据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母＝2(i－1)，
令2(i－1)＝100，解得i＝51，即需要i＝51时输出．
故图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句分别是i>50，n＝n＋2.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
解决程序框图填充问题的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
基本算法语句
[例4] (1)按照如图程序运行，则输出K的值是________．
(2)执行如图所示的程序，输出的结果是________．
[解析] (1)第一次循环：X＝7，K＝1；
第二次循环：X＝15，K＝2；
第三次循环：X＝31，K＝3；
终止循环，输出K的值是3.
(2)根据循环结构可得，第一次：S＝1×3＝3，i＝3＋2＝5，由3≤200，则循环；
第二次：S＝3×5＝15，i＝5＋2＝7，由15≤200，则循环；
第三次：S＝15×7＝105，i＝7＋2＝9，由105≤200，则循环；
第四次：S＝105×9＝945，i＝9＋2＝11，由945＞200，则循环结束，故此时i＝11.
[答案] (1)3 (2)11
[方法技巧]
解决算法语句的步骤及解题规律
解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．
解题时应注意以下规律：
(1)赋值语句在给出变量赋值时，先计算赋值号右边的式子，然后赋值给赋值号左边的变量；给一个变量多次赋值时，变量的取值只与最后一次赋值有关．
(2)条件语句必须以IF开始，以END IF 结束，一个IF必须和一个END IF 对应，尤其对条件语句的嵌套问题，应注意每一层结构的完整性，不能漏掉END IF.
(3)循环语句的格式要正确，要保证有结束循环的语句，不要出现死循环．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 当满足条件时，由线性规划的图解法(图略)知，目标函数S＝2x＋y的最大值为2；当不满足条件时，S的值为1.所以输出的S的最大值为2.
2.(2016·太原模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件可以是( )
A．k≥7 B．k>7 C．k≤8 D．k<8
解析：选D 由程序框图可知，k＝2，S＝0＋＝，满足循环条件；k＝4，S＝＋＝，满足循环条件；k＝6，S＝＋＝，满足循环条件；k＝8，S＝＋＝，符合题目条件，结束循环，故填k
<8，选D.
第2题图 第3题图
3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝( )
A．4 B．5 C．2 D．3
解析：选A 第一次循环，得S＝2，否；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝，否；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝，否；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，是，输出的n＝4，故选A.
4．[考点三]运行如图所示的程序，若输入a，b分别为3,4，则输出________．
解析：由已知中的程序，可知其功能是计算并输出分段函数m＝的值．当a＝3，b＝4时，满足a≤b.故m＝b＝4.
答案：4
突破点(二) 复 数
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(3)复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量.
3．复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
复数的有关概念
[例1] (1)设i是虚数单位，若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )
A．3，－2 B．3,2 C．3，－3 D．－1,4
(3)(2016·山东高考)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
(4)若复数 z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2 C. D.
[解析] (1)∵z＝a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.
(2)(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.
(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.所以a＝1，b＝－2，故z＝1－2i，故选B.
(4)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a
＋b)i＝2i，由复数相等的条件得解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝＝.
法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝＝.
[答案 (1)D (2)A (3)B (4)C
[方法技巧]
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
复数的几何意义
[例2] (1)(2016·唐山模拟)复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－2＋i D．2＋i
[解析] (1)z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限，故选A.
(2)依题意得，复数z＝＝＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A的坐标为(－2,1)，其对应的复数为－2＋i.
[答案] (1)A (2)C
复数的运算
1．在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．
2．在进行复数的乘法运算时：
(1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把i2
换成－1，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i的幂写成简单的形式；
(2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立．
3．在进行复数的除法运算时，关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：
(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；
(2)对分子、分母分别进行乘法运算；
(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．
[例3] (1)(2017·合肥模拟)已知z＝(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．－1 B．1
C．i D．－i
(2)已知复数z满足z＋i＝＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A. B.
C. D．1
(3)(2017·长沙模拟)已知(a＋bi)·(1－2i)＝5(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
(4)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
[解析] (1)由题意得＝＝＝i，故选C.
(2)由题意可得z＝－i＝＝1－2i，故|z|＝，选A.
(3)因为(a＋bi)(1－2i)＝a＋2b＋(b－2a)i＝5，故解得a＝1，b＝2，故a＋b＝3，选D.
(4)由已知得＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i，故选A.
[答案 (1)C (2)A (3)D (4)A
[易错提醒]
在乘法运算中要注意i的幂的性质：
(1)区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R);
(2)区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]若复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是( )
A．－4 B．－3 C．1 D．2
解析：选A 若z＝＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，则即a<－3，故选A.
2．[考点一]若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为( )
A．－ B．－i
C. D.i
解析：选A 由题意得所以a＝1，
所以＝＝＝－i，根据虚部的概念，可得的虚部为－.
3．[考点二] 如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析：选D 由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
4．[考点一]设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：∵|a＋bi|＝＝，
∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
答案：3
5．[考点三]已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
解析：∵z＝＝＝＝＝＝－＋i，
∴＝－－i，
∴z·＝＝＋＝.
答案：
6．[考点三]已知i是虚数单位，2 016＋6＝________.
解析：原式＝1 008＋6＝1 008＋i6＝i1 008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.
答案：0
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国乙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
解析：选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，n＝2，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，n＝3，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝，y＝6.由于点在直线y＝4x上，故选C.
第1题图 第2题图
2．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7 B．12 C．17 D．34
解析：选C 第一次循环：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次循环：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次循环：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，s＝17.
3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n
＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：选C 运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
4．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )
A．0 B．2 C．4 D．14
解析：选B a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.
5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选D k＝1≤2，执行第一次循环，M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝1＋1＝2；k＝2≤2，执行第二次循环，M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝2＋1＝3；k＝3>2，终止循环，输出S＝7.故选D.
6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
解析：选A 由程序框图得分段函数s＝所以当－1≤t＜1时，s＝3t∈[－3,3)；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此时3≤s≤4.综上函数的值域为[－3,4]，即输出的s属于[－3,4]，故选A.
7．(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B. C. D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
8．(2016·全国甲卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知即－30，点(cos 2，sin 2)在第二象限，故选B.
2．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
解析：选D 由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i.
3．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3＋x＋2 D．f(x)＝x2
解析：选C 当输入f(x)＝sin x时，由于f(x)＝sin x是奇函数，因而输出“是奇函数”，然后结束；当输入f(x)＝ex时，f(x)＝ex不是奇函数，但恒为正，因而输出“非负”，然后结束；当输入f(x)＝x3＋x＋2时，f(x)＝x3＋x＋2既不是奇函数，又不恒为非负，因而输出该函数；而当输入f(x)＝x2时， 由于f(x)＝x2是偶函数，且非负，因而输出“非负”．故选C.
4．(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )
A．9 B．18 C．20 D．35
解析：选B 由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次循环：v＝4，i＝1；第二次循环：v＝9，i＝0；第三次循环：v＝18，i＝－1.结束循环，输出当前v的值18.故选B.
第4题图 第5题图
5．执行如图所示的程序框图，则输出的k值是________．
解析：由不等式k2－6k＋5>0可得k>5或k<1，所以，执行程序框图可得k＝6.
答案：6
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．设复数z＝，则z·＝( )
A．1 B. C．2 D．4
解析：选C ∵z＝＝＝－1＋i，∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.
2．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为( )
A．－1 B．0 C．i D．1
解析：选B ∵z(i＋1)＝，∴z＝＝＝－1，∴z的虚部为0.
3．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝( )
A．2 B．－2 C．±2 D．－
解析：选B 由题意可得＝－＋i，即＝＝＋i＝－＋i，∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B.
4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为( )
A．89 B．82 C．27 D．24
解析：选A 因为输入x的值为1，执行循环可知，S＝2，x＝2；S＝7，x＝4；S＝24，x＝8；S＝89，此时满足输出条件，故输出S的值为89.
5．(2017·合肥模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N＝3，则输出的i＝( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析： 选C 第一步：n＝10，i＝2；第二步：n＝5，i＝3；第三步：n＝16，i＝4；第四步：n＝8，i＝5；第五步：n＝4，i＝6；第六步：n＝2，i＝7；第七步：n＝1，i＝8，结束循环，输出的i＝8，故选C.
6．(2017·长沙模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是( )
A．z≤42? B．z≤20?
C．z≤50? D．z≤52?
解析：选A 运行程序：x＝0，y＝1，
因为z＝1不满足输出结果，则x＝1，y＝1；
因为z＝2×1＋1＝3不满足输出结果，则x＝1，y＝3；
因为z＝2×1＋3＝5不满足输出结果，则x＝3，y＝5；
因为z＝2×3＋5＝11不满足输出结果，则x＝5，y＝11；
因为z＝2×5＋11＝21不满足输出结果，则x＝11，y＝21；
因为z＝2×11＋21＝43满足输出结果，此时需终止循环，结合选项可知，选A.
二、填空题
7．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
解析：由＝＝＝a＋bi，
得a＝，b＝，
解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.
答案：3
8．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.
解析：由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，即5|z|＝5，解得|z|＝.
答案：
9．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为________．
解析：第一次循环：S＝2，i＝4，k＝2；
第二次循环：S＝4，i＝6，k＝3；
第三次循环：S＝8，i＝8，k＝4，当
i＝8时不满足i
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