数学理卷·2018届广东省五校协作体高三第一次联考试卷

数学理卷·2018届广东省五校协作体高三第一次联考试卷

广东省五校协作体2018届高三第一次联考试卷 理科数学 命题学校：广州市真光中学　　命题：　审题： 2018.1‎ 本试卷共5页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。‎ ‎2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。‎ ‎3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U=N，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）‎ A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}‎ ‎2．已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（　　）‎ A．45° B．30° C．15° D．60°‎ ‎4．在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为‎10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（　　）‎ A．‎3cm B． ‎4cm C．‎5cm D．‎‎6cm ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（ ）‎ A．2 B．﹣‎1 ‎C．﹣ D．﹣‎ ‎8．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（　　）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条 ‎9.已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（　　）‎ A．6 B．‎5 ‎C．4 D．3‎ ‎10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，） B．（1，2） C．（，+∞） D．（2，+∞）‎ ‎11．关于曲线C：给出下列四个命题：‎ ‎ （1）曲线C有两条对称轴，一个对称中心 ‎ （2）曲线C上的点到原点距离的最小值为1‎ ‎ （3）曲线C的长度满足 ‎ （4）曲线C所围成图形的面积S满足 上述命题正确的个数是 A．1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=，函数g（x）=x3+3x2+m．若对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，14] C．（﹣∞，﹣8] D．（﹣∞，]‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是　 　．‎ ‎14．已知=（，），||=1，|+2|=2，则在方向上的投影为　 　．‎ ‎15．两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为　　．‎ ‎16．已知数列满足：为正整数，，如果=1，则 ‎=　　．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)sin C.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝，cos B＝，D为AC的中点，求BD的长．‎ ‎18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．‎ ‎（1）求证：BE=DE；‎ ‎（2）若AB=2，AE=3，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．‎ ‎19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．‎ ‎（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；‎ ‎（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 参考数据： =25， =5.36， =0.64（说明：以上数据为3月至7月的数据）‎ 回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎=， =﹣．‎ ‎20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）求△OAB面积的最大值．‎ ‎21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．‎ ‎（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；‎ ‎（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；‎ ‎（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：‎2g（）＜g（x1）+g（x2）．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．‎ ‎（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P（3，4），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．‎ ‎（1）解不等式f（x）＞5；‎ ‎（2）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．‎ 广东省五校协作体2018届高三第一次联考 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A C D A D C C B D C 二、填空题：每题5分，满分20分.‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：满分70分.‎ ‎17．(1)因为asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)·sin C，‎ 由正弦定理得a2＝(b－c)b＋(c－b)c， ………（1分）‎ 整理得a2＝b2＋c2－2bc， ……………(2分)‎ 由余弦定理得cos A＝＝＝， ……………（4分）‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝. ……………（5分）‎ ‎(2)由cos B＝，得sin B＝＝＝， ……………（6分）‎ 所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－＝－，……8分 由正弦定理得b＝＝＝2， ………（9分）‎ 所以CD＝AC＝1， ………………………（10分）‎ 在△BCD中，由余弦定理得BD2＝()2＋12－2×1××＝13，…（11分）‎ 所以BD＝. ………（12分）‎ ‎18．证明：（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，‎ ‎∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，………………………（2分）‎ 又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD， ………………………（4分）‎ 在△BDE中，∵O为BD的中点，∴BE=DE． ………（5分）‎ ‎（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，‎ EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD， ……… （6分）‎ 又∵CO⊥BD，AO⊥BD，‎ ‎∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，‎ 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 在正△ABCD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=， ………（7分）‎ ‎∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3， ………（8分）‎ A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），‎ ‎=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3）， ………（9分）‎ 设平面ABE的法向量=（a，b，c），‎ 则，取a=1，得=（1，，1）， ………（10分）‎ 设平面ADE的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，﹣，1）， ………（11分）‎ 设二面角B﹣AE﹣D为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为． ………（12分）‎ ‎19．解：（Ⅰ）由题意 ‎ ‎ 月份x ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 均价y ‎ 0.95‎ ‎ 0.98‎ ‎ 1.11‎ ‎1.12 ‎ ‎1.20 ‎ ‎=5， =1.072， ………（1分） ‎ ‎ =10， ………（2分）‎ ‎∴==0.064， ………（3分） ‎ ‎ =﹣=0.752，………（4分）‎ ‎∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，………（5分）‎ x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（6分）‎ ‎（Ⅱ）X的取值为1，2，3， ………（7分）‎ P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=， ………（10分）‎ X的分布列为 ‎ ‎ X ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ………（11分）‎ E（X）=1×+2×+3×=．………（12分）‎ ‎20．解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），‎ ‎∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1， ………（1分）‎ 又椭圆E的离心率为，得a=， ………（2分）‎ 于是有b2=a2﹣c2=1．‎ 故椭圆Γ的标准方程为：． ………（3分）‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，‎ 由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0 ………（4分） ‎ ‎， ………（5分）‎ ‎，‎ ‎ =‎ ‎=（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣‎ ‎=． ………（7分）‎ 要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）………（8分）‎ 当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=， ………（9分）‎ 点O到直线AB的距离d=， ………（10分）‎ ‎△OAB面积s==．………（11分）‎ ‎∴当t=0，△OAB面积的最大值为，………（12分）‎ ‎21．解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），‎ 当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，………（1分）‎ 令f′（x）=0，得x=1．‎ 当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．………（2分）‎ f（x）max=f（1）=﹣1．‎ ‎∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，………（3分）‎ ‎（2）∵．………（4分）‎ ‎①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，‎ ‎∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，………（5分）‎ ‎②若，则由，即 由，即，‎ 从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数………（6分）‎ ‎∴‎ 令，则，‎ ‎∴a=﹣e2， ………（7分）‎ ‎（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0‎ ‎∴，………（8分）‎ ‎∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1‎ 令，………（9分）‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴………（10分）‎ 而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0‎ 故h（x2）＞0，‎ 即………（12分）‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．（2分）‎ 又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；……… （5分）‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，‎ 得，设t1、t2是上述方程的两实数根，……… （7分）‎ 所以t1+t2=2，t1t2=1，……… （8分）‎ ‎∴t1＞0，t2＞0，所以+ = . ……… （10分）‎ ‎ [选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，………（1分）‎ x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；………（2分）‎ ‎﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，………（3分）‎ x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，………（4分）‎ 故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；………（5分）‎ ‎（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，………（7分）‎ 故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），………（8分）‎ 从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），‎ 进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．………（9分）‎ 根据已知关于x的方程=a的解集为空集，‎ 所以实数a的取值范围是（﹣，0]． ………（10分）‎