辽宁高考数学文理题的几种解法

辽宁高考数学文理题的几种解法

2014 年辽宁高考数学（文、理）16 题的几种解法 大连 48 中学-----何兆强 下面我们给出 2014 年辽宁高考数学（文、理）16 题的几种解法，展现思维 的全过程和不同方法技巧。 （理）16. 对于 0c  ，当非零实数 a，b 满足 2 24 2 4 0a ab b c    ，且使| 2 |a b 最 大时， 3 4 5 a b c   的最小值为 . （文）16. 对于 0c  ，当非零实数 a，b 满足 2 24 2 0a ab b c    ，且使| 2 |a b 最 大时， 1 2 4+a b c  的最小值为 . 题目（理）拿到手后，分析已知条件，关键是找到 a、b 之间的关系、a、c 之间的关系， 这样就可以把要求的 3 4 5 a b c   的最小值问题看成关于 1 a 的二次函数，进而利用配方法求解 最小值。 方法一：设置 a、b 关系法 解：设b a ，带入 2 24 2 4 0a ab b c    ，得到 2 24 2 4 ca     ①，不妨将| 2 |a b 平方，再讲①带入，可得：       2 22 2 2 2 2 1| 2 | 2 24 184 2 4 422 a b a c c             ，由二次函数特点，显然 当 1 3=2 8  时，即 2= 3  时| 2 |a b 有最大值，此时说明 2 3b a ②. 将 2= 3  带入①知， 240 9c a ③ 再将②、③带入 3 4 5 a b c   ，整理可得， 2 2 3 4 5 9 3 9 1 4= 28 8 3a b c a a a          ，从而 3 4 5 a b c   的最小值为-2. 方法二：方程法 解： 2 24 2 4 0a ab b c    可变形为    226 3 2 2 0b a b b a b c        ，把此式看成 关于 b 的一元二次方程，必有解。由根的判别式可得：    2 2=9 2 24 2 0a b a b c        ，解得： 2 242 15a b c  ，显然 2 max 24| 2 | 15a b c  ， 讲其写成  215 2 24 a bc  ①后带入 2 24 2 4 0a ab b c    中可得：  22 24 6 9 = 2 3 0a ab b a b    ，从而得到说明 2 3b a ②，将②带入①得 240 9c a ，以 下同方法一。 方法三：数形结合法 解：把二元二次方程 2 24 2 4 0a ab b c    （c 为常数）看成某条曲线，把 | 2 || 2 | 5 5 a ba b    看成曲线上一点  ,a b 到直线 2 0a b  距离的 5 倍，由此问题可 转化成曲线上一点到直线的最大距离问题。平移直线 2 0a b  直至与曲线 2 24 2 4 0a ab b c    相切，基于这种想法，我们需要联系方程组， 2 24 2 4 0 2 a ab b c b a m          ，消去变量 b，得到关于 a 的一元二次方程，  2 224 18 4 0a m a m c     ，令  2 2324 4 24 4 0m m c      ，即 28 5c m ①，而 方程  2 224 18 4 0a m a m c     的唯一解是 3 8 ma  ②，即 8 3m a 带入 2b a m   中 可得 2 3b a ，再由①、②可得 240 9c a ③，以下同方法一。 方法四：柯西不等式法 解： 2 24 2 4 0a ab b c    可变形为： 2 215 4 4 16 c ba b      ，由柯西不等式知， 22 22 22 2 26 15 6 6 152 + 2 + 2 24 4 16 4 415 15 15 c b ba b a b a b                                                  ，即 2 242 15a b c  ，当且仅当 15 4 4 62 15 ba b      时取“=”，即 2 3b a ，带入 2 24 2 4 0a ab b c    中，可得 240 9c a ，以下同方法一。 题目（文）拿到手后，分析已知条件，关键是利用均值不等式找到 a、b 之间的关系、a、 c 之间的关系，这样就可以把要求的 1 2 4+a b c  的最小值问题看成关于 1 a 的二次函数，进而 利用配方法求解最小值。 文科这道题目理科以上四种方法均适用，但不必如此麻烦，我们给出均值不等式方法， 或者更加巧妙的轮换式。 解 ： 2 24 2 0a ab b c    可 写 成  22 6a b c ab   ， 利 用 均 值 不 等 式 ， 222 2 a ba b       ，即    2 232 6 24a b ab c a b c      ，那么  22 4a b c  ，即 2 max2 4a b c  ，当且仅当 2b a 时取“=”，将 2b a 带入 2 24 2 0a ab b c    可得 24c a . 2 2 1 2 4 1 2 1+ = 1 1a b c a a a         ,从而 1 2 4+a b c  的最小值为-1.