2020届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试（1月）数学（理）试题（解析版）

2020届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试（1月）数学（理）试题（解析版）

‎2020届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试（1月）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】‎ 由，解得，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2．已知复数在复平面中对应的点满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于复数在复平面中对应的点满足，即复数对应点在圆心为，半径为的圆上，表示复数对应的点到的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题.‎ ‎3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:‎ 根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ）‎ A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过万辆 B．2017年我国新能源汽车总销量超过万辆 C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量 D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于万辆 ‎【答案】D ‎【解析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量，故A选项结论正确.‎ 对于B选项，2017年我国新能源汽车总销量，故B选项结论正确.‎ 对于C选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量万量，高于产量万量，故C选项结论正确.‎ 对于D选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量，故D选项结论错误.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.‎ ‎4．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列公比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为的形式，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于成等差数列，所以，所以，即，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.‎ ‎5．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如.在不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.‎ ‎【详解】‎ 以内的素数为共个，任选两个的方法数有种，和为的有共种，所以不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题.‎ ‎6．圆关于直线对称，则的最小值是（ ）‎ A．1 B．3 C．5 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得圆心，代入直线，利用基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心为，由于圆关于直线对称，圆心坐标满足直线方程，所以，所以，当且仅当时等号成立.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值.‎ ‎7．函数（为自然对数的底数）的大致图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D两个选项.‎ 当时，由此排除A选项.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎8．正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，则底面积为，侧棱长为，则可求侧面积为，所以可得表面积.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，底面正三角的高AD=3，所以，AB=AC=BC=，所以,又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则,则在等腰中,所以侧面积为，所以表面积为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.‎ ‎9．已知点分别是双曲线的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据判断出三角形是直角三角形，利用、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以三角形是直角三角形.‎ 所以，化简得，即.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎10．设是定义在上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用已知条件将转换为，根据时的单调性，比较出的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 依题意，所以.因为，且当时，为减函数，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎11．正方体的棱长为，点为棱的中点.下列结论:①线段上存在点，使得平面；②线段上存在点，使得平面；③平面把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（ ）‎ A．① B．③ C．①③ D．①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用线面平行的判定定理，作出点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.‎ ‎【详解】‎ 设交于，过作，交于，连接交于，由于，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.故线段上存在点，使得平面，即①正确.‎ 若平面，平面，则平面平面，这不成立，所以②错误.‎ 延展平面为如图所示，其中是的中点.根据正方体的几何性质可知，相交于一点， ,所以多面体是棱台.且体积为.故③正确.‎ 综上所述，正确的序号为①③.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎12．已知正项数列的前项和为，且.若对于任意实数.不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求得的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由①.当时，，解得.当时，②，①-②得，，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以恒成立，即，转换为，在恒成立，所以，解得.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知求，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．平面向量与的夹角为，且，，则 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用来求得.‎ ‎【详解】‎ 依题意.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎14．若实数满足约束条件，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界点位置，此时取得最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15．已知椭圆为右顶点.过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，直线交轴于，椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出两点的坐标，求得点坐标，由三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得的值，进而求得椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 设，，所以，由于 三点共线，所以，解得.由于椭圆离心率，所以，所以.所以椭圆方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎16．已知函数，且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】先求得的定义域，然后对和的符合进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意，定义域为.‎ 由于在定义域内恒成立，则 ‎①，恒成立，即在恒成立.令，，故在上递减，在上递增，故.所以，由可得，即.‎ ‎②，恒成立，即在恒成立，不存在这样的.‎ ‎③，当时，由于在上递增，在上递减，要使在定义域内恒成立，则需和有相同的零点.由，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角对应边分别为.‎ ‎(1)若的面积满足且，求的值；‎ ‎(2)若且为锐角三角形.求周长的范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得的值，由此求得的大小，利用余弦定理列方程求得的值.‎ ‎（2）利用正弦定理表示出，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得的取值范围，由此求得即三角形周长的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由条件和三角形的面积公式得，‎ 即.‎ 将余弦定理.‎ 代入上式得，即，因为，所以 将，代入，得 结合条件得. ‎ ‎(2)由正弦定理得 所以 因为，且及锐角三角形得且，‎ 所以，‎ 所以，即，所以 所以周长范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎18．如图，已知四边形为等腰梯形，为正方形，平面平面，，.‎ ‎(1)求证:平面平面；‎ ‎(2)点为线段上一动点，求与平面所成角正弦值的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）利用等腰梯形的性质证得，由面面垂直的性质定理证得平面，由此证得平面平面.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，设出的长，利用直线的方向向量和平面的法向量，求得与平面所成角正弦值的表达式，进而求得与平面所成角正弦值的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 在等腰梯形中，， ，‎ ‎，. 即 ‎，.‎ 又平面平面，平面平面平面，‎ 平面 平面，‎ 平面平面 ‎（2）解:由(1)知，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 设，‎ 则，，‎ 设平面的法向量为 ‎，即 令，则，‎ 平面的一个法向量为.‎ 设与平面所成角为，‎ 当时取最小值，当时取最大值 故与平面所成角正弦值的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19．过点的直线与抛物线相交于两点.‎ ‎(1)若，且点在第一象限，求直线的方程；‎ ‎(2)若在直线上的射影分别为，线段的中点为， 求证.‎ ‎【答案】（1）.（2）证明见解析 ‎【解析】（1）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎（2）由（1）求得的坐标，通过计算，证得.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设方程为， ，‎ 联立方程，消去得:，，①‎ 又 由得:‎ 代人①解得 直线的方程为:，即.‎ ‎(2)由(1)得，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20．设函数.‎ ‎(1)若，求的单调区间；‎ ‎(2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明:.‎ ‎【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为.（2），证明见解析 ‎【解析】（1）当时，利用导数求得的单调区间.‎ ‎（2）先求得的导函数，则有两个不同的零点，且都不是.对分成两种情况分类讨论，利用导数研究的单调性和零点，由此求得的取值范围. 由上述分析可得，利用导数证得，从而证得.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎.‎ 令，‎ 得，得，‎ 在上递减，在上递增.‎ 即，‎ 解得，解得，‎ 的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎(2)，‎ 有三个极值点，‎ 方程有两个不等根，且都不是，‎ 令，‎ 时，单调递增，至多有一根，‎ 解得，解得.‎ 在上递减，在上递增，‎ 此时，，，时.‎ 时，有三个根，且，‎ 由得，由得，‎ 下面证明:，可变形为 令，‎ ‎，在上递增，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.‎ ‎21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名，其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名，考试满分为分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:‎ 考试平均成绩是分，分及其以上的高分考生名.‎ ‎(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)‎ ‎(2)考生甲的成绩为分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.‎ 参考资料:(1)当时，令，则.‎ ‎(2)当时，，，.‎ ‎【答案】（1）分或分.（2）能获得高薪职位.见解析 ‎【解析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩的分布，利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线.‎ ‎（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为，由此判断出甲能获得高薪职位.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设考生成绩为，则依题意应服从正态分布，即.‎ 令，则.‎ 由分及其以上的高分考生名可得 即，亦即.‎ 则，解得，‎ 设最低录取分数线为，则 则，‎ ‎.‎ 即最低录取分数线为分或分.‎ ‎(2)考生甲的成绩，所以能被录取.‎ ‎，‎ 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，‎ 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以他能获得高薪职位.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.‎ ‎22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.‎ ‎（1）求圆的参数方程；‎ ‎（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程.‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）‎ ‎【解析】（1）已知得，圆心的直角坐标为，，则可求得圆的标准方程；‎ ‎（2）结合（1）得，圆的极坐标方程为，再设，，则，将代入的极坐标方程即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得，圆心的直角坐标为，，‎ 所以的直角坐标方程为，‎ 所以圆的参数方程为（为参数）．‎ ‎（2）由（1）得，圆的极坐标方程为，‎ 即．‎ 设，，根据，可得，‎ 将代入的极坐标方程，得，‎ 即动点轨迹的极坐标方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎23．设函数.‎ ‎(1)画出的图象；‎ ‎(2)若不等式对成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此画出的图形.‎ ‎（2）将不等式转化为.利用绝对值不等式求得的最小值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)根据绝对值的定义，可得 所以的图象如图所示:‎ ‎(2)，‎ 即 ‎，‎ ‎，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.‎