甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

静宁一中2019-2020学年度第一学期高二级第二次考试题 数学（文科）‎ 一、选择题 ‎1.命题“若α=，则tanα=‎1”‎的逆否命题是 A. 若α≠，则tanα≠1 B. 若α=，则tanα≠1‎ C. 若tanα≠1，则α≠ D. 若tanα≠1，则α=‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=‎1”‎的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.‎ ‎【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.‎ ‎2.如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在内的频数为（ ）‎ A. 12 B. ‎48 ‎C. 60 D. 80‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图，可得样本数据落在[6，10）内的频率，从而可得频数．‎ ‎【详解】解：根据频率分布直方图，样本数据落在[6，10）内的频数为0.08×4×150＝48‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，考查学生的读图能力，属于基础题．‎ ‎3.命题“都有”的否定是（ ）‎ A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照全称命题的否定的原则来处理即可 ‎【详解】由全称命题的否定为特称命题,‎ 可得命题“都有”的否定是“都有”,‎ 故选B ‎【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题 ‎4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）=0.65 ,P(B)=0.2，,P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）‎ A. 0.35‎ B. 0.65‎ C. 0.7‎ D. 0.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接根据对立事件的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】因为事件“抽到的不是一等品”是事件A=｛抽到一等品｝的对立事件，‎ 而P（A）=0.65 ,所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式，属于基础题.‎ ‎5.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为(　　)‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由程序框图可知:故选C.‎ 考点：本题主要考查程序框图及学生分析问题解决问题的能力.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．‎ ‎【详解】如图所示，‎ 线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，‎ 则点P到点M，N的距离都大于2的概率为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．‎ ‎7.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E ‎，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 ‎ A. 10 B. ‎12 ‎C. 16 D. 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义即可得到结果．‎ ‎【详解】椭圆，‎ 可得，‎ 三角形的周长，，‎ 所以：周长，‎ 由椭圆的第一定义，，‎ 所以，周长．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．‎ ‎8.已知命题：直线与直线垂直，：原点到直线的距离为，则（ ）‎ A. 为假 B. 为真 C. 为真 D. 为真 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线垂直,斜率乘积为,可判断命题是真命题；利用点到直线距离公式求解,可判断是真命题,进而判断出正确的选项 ‎【详解】因为直线的斜率为1,直线的斜率为,由于,所以两直线垂直,故为真命题；因为原点到直线的距离 ‎,所以为真命题,所以为真 故选B ‎【点睛】本题考查判断命题的真假,考查逻辑联结词,属于基础题 ‎9.焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：焦点在x轴上，即b2=3，根据 算出a的值 详解：因为焦点在x轴上，‎ 即b2=3，‎ 解得a=，故选C 点晴：本题主要考察椭圆的基本性质，注意焦点的位置，及a>0的要求 ‎10.下列说法中正确是（ ）‎ A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题，则 C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40‎ D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为，则回归直线方程为.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于A，取，时，不能推出，故错误；对于B，命题的否定为，故错误；对于C，为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为，故错误；对于D，因为回归直线的斜率的估计值为1.23，所以回归直线方程可写成，根据回归直线方程过样本点的中心，则，所以回归直线方程为，故正确.‎ 故选D.‎ ‎11.曲线与的关系是(　 )‎ A. 有相等的焦距，相同的焦点 B. 有相等的焦距，不同的焦点 C. 有不等的焦距，不同的焦点 D. 以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两个椭圆的焦点坐标与焦距的大小即可得到结果．‎ ‎【详解】曲线与0＜k＜9）都是椭圆方程，焦距为：‎2c=8，2 =8，焦距相等，的焦点坐标在x轴，的焦点坐标在y轴，故两者的焦点不同.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．注意和椭圆方程有关的题目，通常会应用到注意.‎ ‎12.已知是椭圆上一定点，是椭圆两个焦点，若，，则椭圆离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在中，，，，根据余弦定理，，所以，，根据椭圆定义，则离心率，故选择B.‎ 点睛：椭圆几何性质内容丰富，往往是命题的热点，而离心率又是几何性质中的核心，因此离心率问题一直成为考查的重点.求离心率的值及离心率的取值范围常用的方法有（1）求的值，由直接求；（2）列出含有的方程或不等式，借助于，消去，然后转化为关于的方程或不等式求解.应用平面几何知识是解决这类问题的关键.‎ 二、填空题 ‎13.以为渐近线且经过点的双曲线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 以为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为，代入点得.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎14.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________‎ ‎【答案】 y=-0.5x+4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设弦为，且，代入椭圆方程得 ‎，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.‎ ‎15.已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题进行化简，将转化为等价命题，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 又是的充分条件，即，它的等价命题是 ‎ ，解得 ‎【点睛】本题主要考查了四种命题的关系，注意原命题与逆否命题的真假相同是解题的关键.‎ ‎16.下列结论：‎ ‎“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分不必要条件；‎ 若p：，，则：，；‎ 命题“设a，，若，则或”为真命题；‎ ‎“”是“函数在上单调递增”的充要条件．‎ 其中所有正确结论的序号为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线面的位置关系，结合充分必要条件的定义可判断；由特称命题的否定为全称命题，可判断；由原命题和逆否命题互为等价命题，可判断；由导数大于等于0‎ 恒成立，结合充分必要条件的定义，可判断．‎ ‎【详解】“直线l与平面平行”可推得“直线l在平面外”，反之，不成立，直线l可能与平面相交，故“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分不必要条件，故正确；‎ 若p：，，则：，，故错误；‎ 命题“设a，，若，则或”的逆否命题为 ‎“设a，，若且，则”，即为真命题，故正确；‎ 函数在上单调递增，可得在恒成立，即有的最小值，可得，“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，故错误．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定和四种命题的真假判断，考查充分必要条件的判断，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17.在下列条件下求双曲线标准方程 ‎（1）经过两点；‎ ‎（2），经过点，焦点在轴上.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出双曲线的方程，代入两个点的坐标，由此计算得双曲线的方程.（2）设出双曲线的方程，代入点，由此求得双曲线的方程.‎ ‎【详解】（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为 ‎，代入得，解得，故双曲线的方程为.（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线方程求法，属于基础题.解题过程中，要注意双曲线的焦点是在哪个坐标轴上.‎ ‎18.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 (吨)标准煤的几组对照数据 ‎(1)请根据上表提供数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?‎ 参考公式：‎ ‎【答案】(1) y=0.7x+0.35；(2) 19.65吨．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）令，求得改造后的能耗，用原来的能耗减去改造后的能耗，求得生产能耗比技改前降低的标准煤吨数.‎ 详解】（1）由对照数据，计算得，=4.5，=3.5，‎ ‎∴回归方程的系数为=0.7，=3.5-0.7×4.5=0.35，‎ ‎∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35；‎ ‎（2）由（1）求出的线性回归方程，‎ 估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），‎ 由90-70.35=19.65，‎ ‎∴生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨．‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.某市准备引进优秀企业进行城市建设． 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示．‎ ‎（1）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差； ‎ ‎（2）规定得分在85分以上为优秀企业，若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.(参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：，其中为样本平均数)‎ ‎【答案】（Ⅰ）88，48.4.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）直接利用茎叶图求解乙地对企业评估得分的平均值和方差即可． （Ⅱ）甲区优秀企业得分为88，89，93，95共4个，乙区优秀企业得分为86，95，96共3个．列出从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件，求出得分的绝对值的差不超过5分的个数．即可求解概率．‎ 试题解析：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是，‎ 方差是. ‎ ‎（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有，，，，，，，，，，，共组， 设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件，则事件包含有，，，，，，，共组. ‎ 所以 所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是 ‎20.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校，，的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.‎ 高校 相关人员 抽取人数 A ‎18‎ B ‎36‎ ‎2‎ C ‎54‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若从高校，抽取的人中选2人做专题发言，求这2人都来自高校的概率.‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样的概念,可得,求解即可；‎ ‎（2）分别记从高校抽取的2人为,,从高校抽取的3人为,,,先列出从5人中选2人作专题发言的基本事件,再列出2人都来自高校的基本事件,进而求出概率 ‎【详解】（1）由题意可得,所以,‎ ‎（2）记从高校抽取的2人为,,从高校抽取的3人为,,,则从高校,抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有,,,,,,,,,共10种 设选中的2人都来自高校的事件为,则包含的基本事件有,,共3种 因此,故选中的2人都来自高校的概率为 ‎【点睛】本题考查分层抽样,考查古典概型,属于基础题 ‎21.已知命题p：，命题q:|‎2a-1|<3．‎ ‎(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据命题为真命题，分类讨论a是否为0；再根据开口及判别式即可求得a的取值范围．‎ ‎（2）‎ ‎【详解】根据复合命题真假，讨论p真q假，p假q真两种情况下a的取值范围．‎ ‎（1）命题是真命题时，在范围内恒成立，‎ ‎∴①当时，有恒成立； ‎ ‎②当时，有，解得：； ‎ ‎∴的取值范围为：.‎ ‎（2）∵是真命题，是假命题，∴.一真一假， ‎ 由为真时得：，故有：①真假时，有得：；‎ ‎②假真时，有得： ； ‎ ‎∴的取值范围为：.‎ ‎【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题．‎ ‎22.已知点是椭圆的左顶点，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）矩形的四个顶点均在椭圆上，求矩形面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用点M坐标可得a值，由离心率求c,从而可得椭圆标准方程；（2）设，由对称性可得B,C,D的坐标，可得，将面积平方然后利用椭圆方程进行换元，转为二次型的函数的最值问题.‎ ‎【详解】解：（1）依题意，是椭圆的左顶点，所以.‎ 又，所以，，‎ 从而椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由对称性可知，设，其中，则，，，‎ 所以，，.‎ 因为，又，‎ 所以 ，‎ 而，故当时，取得最大值16，‎ 所以矩形的面积最大值为4.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和应用，考查利用换元法求函数的最值问题，考查计算能力，属于基础题.‎