2018高考文科数学空间证明专题突破训练精编有答案

2018高考文科数学空间证明专题突破训练精编有答案

‎2018年高考文科数学 空间证明 冲刺 ‎1.如图，直三棱柱中，且，是棱中点，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎ ‎ ‎2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EF分别是线段AD，PB的中点，PA=AB=1.‎ 求证： EF∥平面DCP；‎ 求F到平面PDC的距离.‎ ‎3.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，分别为的中点，侧面底面，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎4.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E，F分别为AD，PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：DF∥平面PBE ‎（Ⅱ）求点F到平面PBE的距离．‎ ‎5.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．‎ ‎6.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；‎ ‎（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．‎ ‎7.如图所示，在三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎8.如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．‎ ‎（I）求证：BC⊥平面APC；‎ ‎（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．‎ ‎9.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，AB=2BD，PD=AD，PD⊥底面ABCD，E为PC上一点，且PE=EC．‎ ‎（1）证明：PA⊥BD；‎ ‎（2）若AD=，求三棱锥E﹣CBD的体积．‎ ‎10.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB．‎ ‎11.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥C1﹣ABC的体积．‎ 试卷答案 ‎1.‎ ‎（1）取中点，连结，则∥且.‎ 因为当为中点时，∥且，‎ 所以∥且.‎ 所以四边形为平行四边形，∥，‎ 又因为，，‎ 所以平面；‎ ‎（2）因为中，，是中点，所以.‎ 又因为直三棱柱中，，，‎ 所以，到的距离为.‎ 因为平面，所以到的距离等于到的距离等于.‎ 设点到平面的距离为.‎ ‎，，‎ 易求，，解得.‎ 点到平面的距离为.‎ ‎2.‎ 方法一：‎ 取中点，连接，‎ 分别是中点, ，‎ 为中点，为正方形，，‎ ‎,四边形为平行四边形，‎ 平面，平面，‎ 平面.‎ 方法二： ‎ 取中点，连接，.‎ 是中点，是中点，，‎ 又是中点，是中点，，‎ ‎，，‎ 又，平面，平面，平面，平面，平面平面.‎ 又平面，平面.‎ 方法三：‎ 取中点，连接，，‎ 在正方形中，是中点，是中点 又是中点，是中点，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 平面//平面.‎ 平面 平面.‎ 方法一：‎ 平面，到平面的距离等于到平面的距离，‎ ‎ 平面，，，在中，‎ 平面，，又 ，,，‎ 平面，又平面，‎ ‎,故.‎ ‎ ，‎ 为直角三角形，，‎ 设到平面的距离为，‎ 则，‎ ‎ 到平面的距离.‎ 方法二：‎ 平面，‎ 点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ 又 平面,是中点，‎ 点到平面的距离等于点到平面距离的2倍. ‎ 取中点,连接,由得,‎ 由,,, 平面，‎ 平面，平面，‎ 又 平面，平面平面.‎ 又平面平面，，平面，‎ 平面，‎ 长即为点到平面的距离，‎ 由，，.‎ 点到平面的距离为，‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎3.‎ ‎（1）连结，则是的中点，为的中点，‎ 故在中，，‎ 且平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）取的中点，连结，∵，∴，‎ 又平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴.‎ ‎4.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取PB的中点G，连接EG、FG，由已知结合三角形中位线定理可得DE∥FG且DE=FG，得四边形DEGF为平行四边形，从而可得DF∥EG，再由线面平行的判定可得DF∥平面PBE；‎ ‎（Ⅱ）利用等积法可得：VD﹣PBE=VP﹣BDE，代入棱锥体积公式可得点F到平面PBE的距离．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点G，连接EG、FG，则FG∥BC，且FG=．‎ ‎∵DE∥BC且DE=BC，∴DE∥FG且DE=FG，‎ ‎∴四边形DEGF为平行四边形，‎ ‎∴DF∥EG，又EG⊂平面PBE，DF⊄平面PBE，‎ ‎∴DF∥平面PBE；‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DF∥平面PBE，‎ ‎∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等，‎ 故转化为求D到平面PBE的距离，设为d，‎ 利用等体积法：VD﹣PBE=VP﹣BDE，即．‎ ‎，‎ ‎∵，，∴．‎ ‎∴d=．‎ ‎5.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，‎ ‎∵ABCD是矩形，‎ ‎∴O为BD的中点 ‎∵E为PD的中点，‎ ‎∴EO∥PB．‎ EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC ‎∴PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，‎ ‎∴V==，‎ ‎∴AB=，PB==．‎ 作AH⊥PB交PB于H，‎ 由题意可知BC⊥平面PAB，‎ ‎∴BC⊥AH，‎ 故AH⊥平面PBC．‎ 又在三角形PAB中，由射影定理可得：‎ A到平面PBC的距离．‎ ‎6.‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直：DE⊥BC，DE⊥EC从而得到线面垂直．‎ ‎（Ⅱ）要证线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件：在平面BDE内找一条与AF平行的直线，通过平行关系的相互转化可的线线平行继而得到线面平行．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面CDD1C1，DE⊂侧面CDD1C1，‎ ‎∴DE⊥BC，‎ 在△CDE中，CD=2a， a，则有CD2=CE2+DE2，‎ ‎∴∠DEC=90°，‎ ‎∴DE⊥EC，‎ 又BC∩EC=C ‎∴DE⊥平面BCE．‎ ‎（Ⅱ）证明：连EF、A1C1，连AC交BD于O，‎ ‎∵EF，AO，‎ ‎∴四边形AOEF是平行四边形，‎ ‎∴AF∥OE 又∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，‎ ‎∴AF∥平面BDE．‎ ‎7.‎ ‎（1）证明：由平面，平面，故 由，得为等腰直角三角形，‎ 故，‎ 又，‎ 故平面.‎ ‎（2）由（1）知，为等腰直角三角形，，‎ 过作垂直于，易知，‎ 又平面，所以，，‎ 设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，‎ 由得， ‎ 即，所以，‎ 所以到平面的距离为.‎ ‎8.‎ ‎【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；‎ ‎（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM﹣BCD=VB﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）如图，‎ ‎∵△PMB为正三角形，‎ 且D为PB的中点，‎ ‎∴MD⊥PB．‎ 又∵M为AB的中点，D为PB的中点，‎ ‎∴MD∥AP，‎ ‎∴AP⊥PB．‎ 又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC ‎∴AP⊥平面PBC，‎ ‎∴AP⊥BC，‎ 又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，‎ ‎∴BC⊥平面APC，…‎ 解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM﹣BCD=VB﹣MDC．‎ ‎∵AB=10，‎ ‎∴MB=PB=5，‎ 又BC=3，BC⊥PC，‎ ‎∴PC=4，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴．‎ 在△PBC中，，‎ 又∵MD⊥DC，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即点B到平面DCM的距离为． …‎ ‎9.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）在△ABD中，不妨设AB=2，BD=，由余弦定理可得AD，则AD2+BD2=BA2，从而得到BD⊥AD，结合PD⊥底面ABCD，得BD⊥PD，再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；‎ ‎（2）过E作EF⊥CD于F，则三棱锥E﹣CBD的高为EF，由已知可得EF．再由（1）知BD，代入三棱锥E﹣CBD的体积公式求解．‎ ‎【解答】（1）证明：在△ABD中，由余弦定理可得：AD2=BA2+BD2﹣2BA•BD•cos∠DBA，‎ 不妨设AB=2，则由已知AB=2BD，得BD=，‎ ‎∴，则AD2+BD2=BA2，‎ ‎∴∠ADB=90°，即BD⊥AD，‎ 又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，而AD∩PD=D，‎ ‎∴BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；‎ ‎（2）解：过E作EF⊥CD于F，则三棱锥E﹣CBD的高为EF，‎ 由已知可得EF=．‎ 由（1）知BD=AD，‎ ‎∴三棱锥E﹣CBD的体积V==．‎ ‎10.‎ ‎【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）由O，M分别为AB，VA的中点，得OM∥VB，即可得VB∥平面MOC．‎ ‎（2）由AC=BC，O为AB的中点，得OC⊥AB．‎ 又平面VAB⊥平面ABC，得OC⊥平面VAB．平面MOC⊥平面VAB．‎ ‎【解答】解：（1）证明　因为O，M分别为AB，VA的中点，‎ 所以OM∥VB，‎ 又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，‎ 所以VB∥平面MOC．‎ ‎（2）证明　因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．‎ 又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，‎ 所以OC⊥平面VAB．又OC⊂平面MOC，‎ 所以平面MOC⊥平面VAB．‎ ‎【点评】本题考查了空间线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．‎ ‎11.‎ ‎【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥AC，由此能证明A1O⊥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，从而，由此能求出三棱锥C1﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O为AC的中点，‎ ‎∴A1O⊥AC，…‎ 又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，‎ 平面AA1C1C∩平面ABC=AC…‎ 且A1O⊂平面AA1C1C，‎ ‎∴A1O⊥平面ABC…‎ 解：（Ⅱ）∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴A1C1∥平面ABC，‎ 即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离…‎ 由（Ⅰ）知A1O⊥平面ABC且，…‎ ‎∴三棱锥C1﹣ABC的体积：‎ ‎…‎