广西南宁三中2019-2020学年高二下学期期末考试（重点班）文科数学试题 Word版含解析

广西南宁三中2019-2020学年高二下学期期末考试（重点班）文科数学试题 Word版含解析

- 1 - 南宁三中 2019~2020 学年度下学期高二期考 文科数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先解得集合 ， ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】解： ， ， ，故选 A． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 2.设 为虚数单位，复数 满足 ，则在复平面内， 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的四则运算进行化简，然后在利用共轭复数的定义和复数的几何意义求解即可. 【详解】因为 ，所以 ， 由共轭复数的定义知， ， 由复数 几何意义可知， 在复平面对应的点为 ，位于第二象限. 故选：B 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的定义和复数的几何意义；考查运算求解能力； 的 { }2| 2 3 0A x x x= − − < { }1| 2 1xB x += > CB A = [3, )+∞ (3, )+∞ ( , 1] [3, )−∞ − ∪ +∞ ( , 1) (3, )−∞ − +∞ A B { }2| 2 3 0 { | 1 3}A x x x x x= − − < = − < < { }1| 2 1 { | 1}xB x x x+= > = > − { }C | 3 [3, )B A x x∴ = ≥ = +∞ i z ( )2 5z i − = z ( )2 5z i − = ( ) ( )( ) 5 25 22 2 2 iz ii i i += = = − −− − + 2z i= − + z ( )2,1− - 2 - 属于基础题. 3.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没 有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断 偷珠宝的人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以， 丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲． 考点：推理与证明． 4.已经知道函数 在 上，则下列说法不正确的是( ) A. 最大值为 9 B. 最小值为 C. 函数 在区间 上单调递增 D. 是它的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】 求出函数导数并判断导数符号，可推出当 ， 时函数 单调递增，当 时函数 单调递减，即可逐项判断正误. 【详解】 ，令 ，解得 或 ， 所以当 ， 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减，C 错误； 所以 是它的极大值点，D 正确； 因为 ，所以函数 的最大值为 9，A 正确； 因为 ，所以函数 的最小值为 ，B 正确. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及利用导数判断函数的单调性、极值点及求 3 2( ) 2f x x x= − [ 1,3]− 3− ( )f x [1,3] 0x = [ 1,0)x∈ − 4( ,3]3 ( )f x 4(0, )3x∈ ( )f x 2( ) 3 4f x x x′ = − 2( ) 3 4 0f x x x′ = − > 0x < 4 3x > [ 1,0)x∈ − 4( ,3]3 ( ) 0f x′ > ( )f x 4(0, )3x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 0x = (0) 0, (3) 27 2 9 9f f= = − × = ( )f x 4 64 16 32( 1) 1 2 3, ( ) 23 27 9 27f f− = − − = − = − × = − ( )f x 3− - 3 - 解最值，属于中档题. 5.函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用换元法，将根式转化 ，原函数即可转化成关于 t 的二次函数，注意 t 的取值 范围，可求解值域. 【详解】令 ，且 ， 则 ，函数转化为 由 ，则 ，即值域为 故选：A. 【点睛】函数解析式中含有根式的，可令根式等于 t，进行换元，转化成关于 t 的二次函数， 利用二次函数的性质可求值域. 6.以下四个命题： ①若 为假命题，则 p，q 均为假命题； ②对于命题 则¬p 为： ； ③ 是函数 在区间 上为增函数的充分不必要条件； ④ 为偶函数的充要条件是 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据且命题的定义判断①；根据否定的定义判断②；根据对数函数的性质以及充分条件和必 ( ) 2 1f x x x= − + 1 ,2  +∞  1, 2  −∞   (0, )+∞ [1, )+∞ 2 1x t− = 2 1x t− = 0t ≥ 2 1 2 tx += 2 21 1 ( 1)2 2 ty t t += + = + 0t ≥ 1 2y≥ 1 ,2  +∞  p q∧ 2 0 0 0: , 1 0,Rp x xx ∈∃ + + < 2, 1 0;Rx x x+ +∀ ∉  2a = ( ) logaf x x= ( )0,+¥ ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 2 ϕ π= - 4 - 要条件的定义判断③；举反例结合函数奇偶性的定义判断④. 【详解】对①，若 为假命题，则 中至少一个为假命题，故①错误； 对②，命题 的否定为 ，故②错误； 对③，当 时，函数 在区间 上为增函数；当函数 在 区间 上为增函数时， ，即 是函数 在区间 上为增函 数的充分不必要条件，故③正确； 对④，当 时， ， ，此时函数 也是偶函数，故④ 错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，涉及了特称命题的否定，判断充分不必要条件， 函数奇偶性定义的应用，属于中档题. 7.已知函数 （其中 p，q 为常数）满足 ，则 的值为 （ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 令 ， 则 为 奇 函 数 . 由 ， 可 求 . 【详解】令 ，则 为奇函数. ，即 ， ， . 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题. p q∧ ,p q 2 0 0 0: 1R, 0p x x x∃ + + <∈ :p¬ 2 1 0R, x xx + +∀ ∈  2a = ( ) logaf x x= ( )0,+¥ ( ) logaf x x= ( )0,+¥ 1a > 2a = ( ) logaf x x= ( )0,+¥ 3 2 πϕ = 3( ) sin cos2f x x x π ω ω = + = −   ( ) cos( ) cos ( )f x x x f xω ω− = − − = − = ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 5 3( ) 8f x x px qx= + + − ( 2) 10f − = (2)f 10− 26− 18− ( ) 5 3( ) 8 ,g x f x x px qx x R= + = + + ∈ ( )g x ( )( 2) 2g g− = − (2)f ( ) 5 3( ) 8 ,g x f x x px qx x R= + = + + ∈ ( )g x ( )( 2) 2g g∴ − = − ( )( 2) 8 2 8f f− + = − +   ( 2) 10f − = ( )(2) 2 16 10 16 26f f∴ = − − − = − − = − - 5 - 8.已知 ，若对任意两个不等的正实数 ， ，都有 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据 可知 ， 令 为增函数， 所以 恒成立，分离参数得 ，而当 时， 最大值为 ，故 . 考点：函数导数与不等式，恒成立问题． 9.已知函数 .若过点 存在 3 条直线与曲线 相切，则 的取值范 围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 函 数 上 任 意 一 点 ， 得 到 切 线 方 程 为 . 再 根 据 图 像 过 点 ， 所 以 ， 令 ，等价于函数 g(x)有三个零点，分析即得解. 【详解】设函数 上任意一点 ， 在点 处的切线方程为 ， 即 . 若过点 ，则 ( ) 21ln ( 0)2f x a x x a= + > 1x 2x ( ) ( )1 2 1 2 2f x f x x x − >− ( ]0,1 ( )1,+∞ ( )0,1 [ )1,+∞ 1 2 1 2 ( ) ( ) 2f x f x x x − >− 1 1 2 2 1 2 ( ) 2 [ ( ) ]2 0f x x f x x x x − − − >− ( ) 21( ) 2 ln ( )2 02g x f x x a x axx= − = + >− ( ) ( )' 2 0 0, 0ag x x x ax = + − ≥ > > ( )2a x x≥ − 0x > ( )2x x− 1 1a ≥ 3( ) 2 3f x x x= − (1, )P t ( )y f x= t ( 3)−∞ −， ( )3, 1− − ( 1, )− + ∞ ( )0,1 ( ) 32 3f x x x= − ( )( )0 0,x f x ( ) ( )( )3 2 0 0 0 02 3 6 3y x x x x x− − = − − ( )1,t 3 2 0 04 6 3t x x= − + − ( ) 3 24 6 3g x x x= − + − ( ) 32 3f x x x= − ( )( )0 0,x f x ( )( )0 0,x f x ( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x′− = − ( ) ( )( )3 2 0 0 0 02 3 6 3y x x x x x− − = − − ( )1,t ( ) ( )( ) ( )3 2 3 2 0 0 0 0 0 02 3 6 3 1 4 6 3 *t x x x x x x= − + − − = − + − - 6 - 依题意，方程 有三个不等实根. 令 ， ，得 ， . 当 时， ，函数 在 上单调递减； 当 时， ，函数 在 上单调递增. 因此 的极小值为 ，极大值为 . 若 有三个不等实根，故 . 故选 B 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10.定义在 上的奇函数 满足 ，并且当 时， ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意明确函数的周期性，想方设法把 100 转化到给定范围上即可. 【详解】∵ ，且数 为奇函数 ∴f（x+ ）=f（ x）= ∴ f（x+ ） ∴函数的周期为 ， ， 又当 时， ， ( )* ( ) 3 24 6 3g x x x= − + − ( ) ( )212 12 12 1 0g x x x x x= − + = − − =′ 1 0x = 2 1x = ( ) ( ),0 , 1,x∈ −∞ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) ( ),0 , 1,−∞ +∞ ( )0,1x∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,1 ( )g x ( )0 3g = − ( )1 1g = − ( )t g x= 3 1t− < < − R ( )f x 3 3( ) ( )8 8f x f x+ = − 30 8x≤ ≤ ( ) 16 1xf x = − (100)f = 1 2 − 1− 3 2 − 2− 3 3 8 8f x f x   + = −       (f x） 3 4 - ( )f x− ( )f x = 3 2 3 2 ( ) ( )3 3 5 3 5 1 1100 66 1 1 2 8 8 8 8 4 4f f f f f f f         = × + = = + = − = − = −                   30 8x≤ ≤ ( ) 16 1xf x = − - 7 - ∴ 故选 B． 【点睛】抽象函数给出条件判断周期的常见形式为: (1) ； （2） ； （3） . 11.已知函数 满足 ，且 时， ， 则当 时， 与 的图象的交点个数为( ) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】C 【解析】 【 详 解 】 试 题 分 析 ： ∵ 满 足 ， 且 时 ， ， 分别作出函数 与 的图像如图： 由图象可知 与 的图象的交点个数为 11 个．故选 C． ( ) ( )1100 2 1 14f f  = − = − − = −   ( ) ( )f x a f x b T a b+ = + ⇒ = − ( ) ( ) 2f x a f x T a+ = − ⇒ = ( ) ( ) 1 2f x a T af x + = ± ⇒ = ( ) ( )2 2f x f x+ = [ ]1,1x∈ − ( ) 1f x x= − + [ ]10,10x∈ − ( ) 4logg x x= ( ) ( )2 2f x f x+ = [ ]1,1x∈ − ( ) 1f x x= − + ( ) ( ) 3 0 0 f t f t a  = < ′ =  ( ) 4logg x x= ( ) 4logg x x= - 8 - 考点： 1.抽象函数；2.函数图象. 12.已知函数 ， 与 的图象上存在关于 轴对称的点， 则实数 的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，可以将原问题转化为方程 在区间 上有解，构造函数 ，利用导数分析 的最大最小值，可得 的值域，进而分析方程 在区间 上有解，必有 ，解之可得实数 的取值范围. 【详解】根据题意，若函数 ， 与 的图象上存在关于 轴对 称的点，则方程 在区间 上有解 化简 可得 设 ，对其求导 又由 ， 在 有唯一的极值点 分析可得：当 时， ， 为减函数， 当 时， ， 为增函数， 故函数 有最小值 ( ) 3 1f x x a= − + + 1 ,x ee  ∈   ( ) 3lng x x= x a 30, 4e −  3 10, 2e  +   3 3 1 2, 4ee  + −   3 4,e − +∞  31 3lna x x+ = − 1 ,ee      ( ) 3 3lng x x x= − ( )g x ( )g x 31 3lna x x+ = − 1 ,ee      31 1 3a e≤ + ≤ − a ( ) 3 1f x x a= − + + 1 ,x ee  ∈   2 4 px x x 3 1 3lnx a x− + + = − 1 ,ee      3 1 3lnx a x− + + = − 31 3lna x x+ = − ( ) 3 3lng x x x= − ( ) ( )3 2 3 133 x g x x x x −′ = − = 1 ,x ee  ∈   ( ) 0g x′ = 1x = 1 1xe ≤ < ( ) 0g x′ < ( )g x 1 x e≤ ≤ ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) 3 3lng x x x= − ( ) 31 1 3ln1 1g = − = - 9 - 又由 ， 比较可得， ， 故函数 有最大值 故函数 在区间 上的值域为 若方程 在区间 有解，必有 ，则有 则实数 的取值范围是 故选：A 【点睛】本题考查在函数与方程思想下利用导数求最值进而表示参数取值范围问题，属于难 题. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13.计算: ___________. 【答案】0 【解析】 【分析】 根据指数式对数式恒等式、对数的定义和性质直接计算即可. 【详解】解: 原式 . 故答案 ：0 【点睛】本题考查了指数式对数式的恒等式，考查了对数的定义和性质，考查了数学运算能 力. 14.函数 的单调减区间为_______ ． 【答案】 . 【解析】 【分析】 利用导数研究函数单调性即可得到结论. 【详解】解：∵ ， ， 为 3 1 1 3g e e   = +   ( ) 3 3g e e= − ( )1g g ee   <   ( ) 3 3lng x x x= − ( ) 3 3g e e= − ( ) 3 3lng x x x= − 1 ,ee      3 31,e −   31 3lna x x+ = − 1 ,ee      31 1 3a e≤ + ≤ − 30 4a e≤ ≤ − a 30 4a e≤ ≤ − 2log 3 3 72 2log 1 3log 7 3ln1+ − + = 3 2 0 3 1 3 0 0= + × − × + × = ( ) 21 9ln2f x x x= − ( )0,3 ( ) 21 9ln2f x x x= − 0x > - 10 - 则 ， 由 ，即 ，解得 ， ，即函数的单调减区间为 ， 故答案为： . 【点睛】本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数的导数和单调性之间的关系是解决本 题的关键. 15.若曲线 在点 处的切线平行于 轴，则 ． 【答案】 【解析】 【详解】由函数的解析式可得： ， 曲线 在点 处的切线平行于 轴， 结合题意有： . 16.已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值 集合是________． 【答案】 ． 【解析】 【分析】 由已知可知 是 唯一的根，进而可转化为 在 时没有变号零点， 构造函数 ，结合导数及函数的性质可求． 【详解】解：函数定义域 ， ， 29 9( ) xf x x x x ′ −= − = ( ) 0f x′ < 2 9 0x − < 3 3x− < < 0, 0 3x x> ∴ < < ( )0,3 ( )0,3 2 lny ax x= − (1, )a x a = 1 2 1' 2y ax x = − 2 lny ax x= − (1, )a x 1 1'| 2 1 0, 2xy a a= = − = ∴ = ( ) 2 e 2 ln x f x k x kxx = − + 2x = ( )f x k 2e ,4  − +∞  2x = ( ) 0f x¢ = 2 ex k x − = 0x > ( ) ( )2 e 0 x g x xx = > ( )0,+¥ ( ) ( )( )22 4 3 e 2e 2 e 2 xx x kx xx x kf x kx x x + −−′ = − + = - 11 - 由题意可得， 是 唯一的根， 故 在 上没有变号零点， 即 在 时没有变号零点， 令 ， ，则 ， 当 时， ，函数单调递增， 当 时， ，函数单调递减， 故当 时， 取得最小值 ， 故 即 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查根据极值点以及极值点个数求解参数范围，其中涉及到利用参变分离法求 解参数范围，难度较难.参变分离法求解参数范围 主要过程：构造新函数，分析新函数的单 调性以及值域从而求解出参数的范围. 三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第 17-21 题每题 12 分， 选做题 10 分，共 70 分） 17.如图， 中， ， ， 是边 上一点. （1）若 ， ，求 ； （2）若 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） （2） 的 2x = ( ) 0f x¢ = 2 0xe kx+ = ( )0,+¥ 2 ex k x − = 0x > ( ) 2 ex g x x = 0x > ( ) ( ) 3 e 2x xg x x −′ = 2x > ( ) 0g x¢ > 0 2x< < ( ) 0g x¢ < 2x = ( )g x ( ) 2e2 4g = 2e 4k− ≤ 2e 4k ≥ − 2e ,4  − +∞  ABC 2AC = 4B π∠ = D BC 2BAD π∠ = 2BD = C∠ 3BD CD= ACD△ 6 π 2 1 4 + - 12 - 【解析】 【分析】 （1）在等腰直角三角形 中求出 ，在 中用正弦定理求得 得 角； （2）由余弦定理列出 的等式，再由基本不等式求得 的最大值，也即得 面积的最大值，而 ，由此即得结论． 【详解】解：（1） 在 中，由正弦定理得， 又 ， （2）在 中，由余弦定理得， . . 当且仅当 时，取“=”. 所以 面积的最大值为 . 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，解 题时要结合已知条件选用适当地公式，掌握正弦定理与余弦定理适用的条件是解题关键． 18.如图，三棱柱 中，D 是 的中点. ABD AD ACD△ sinC C ,AB BC AB BC⋅ ABC 1 4ACD ABCS S=△ △ , , 24 2B BAD BD π π∠ = ∠ = = 2AD∴ = ADC sin 1sin 2 ADCC ADAC ∠= ⋅ = 0 4C π< < 6C π∴∠ = ABC 2 24 2 (2 2)AB BC AB BC AB BC= + − ⋅ ≥ − ⋅ 4 2 2AB BC∴ ⋅ ≤ + 1 2sin (2 2) 2 12 2ABCS AB BC B= ⋅ ≤ + ⋅ = +△ 1 2 1 4 4ACD ABCS S +∴ = ≤△ △ 2 2AB BC= = + ACD△ 2 1 4 + 1 1 1ABC A B C− AB - 13 - （1）证明： 平面 ； （2）若 是边长为 2 的正三角形，且 ， ，平面 平面 ，求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接 交 于 ，连接 ，由三角形中位线可得 ，由线面平行判定定 理即可得结果； （2）取 的中点 ，连接 ，根据线面垂直性质定理可得 是三棱柱的高，由 可得结果. 【详解】（1）证明：在三棱柱 中，连接 交 于 ，连接 ， ∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ . ∵ 面 ， 面 ， ∴ 平面 （2）解：取 的中点 ，连接 1 //BC 1ACD ABC 1BC BB= 1 60CBB∠ = ° ABC ⊥ 1 1BB C C 1A DCA− 1 2 1AC 1CA E DE 1/ /DE BC BC H 1B H 1B H 1 1A DCA A ADCV V− −= 1 1 1ABC A B C− 1AC 1CA E DE D AB E 1AC 1/ /DE BC 1BC ⊄ 1ACD DE ⊂ 1ACD 1 / /BC 1ACD BC H 1B H - 14 - ∵ ， ，∴ 是等边三角形 ∴ 又∵平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∴ 是三棱柱的高， ∵ 是边长为 2 的正三角形 ∴ 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法求三棱锥的体积，考查了学生的空间想 象能力，属于中档题. 19.近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署， 在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶 贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所 示： 土地使用面积 （单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间 （单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 1BC BB= 1 60CBB∠ = ° 1CBB 1B H BC⊥ ABC ⊥ 1 1BB C C ABC  1 1BB C C BC= 1B H ⊂ 1 1BB C C 1B H ⊥ ABC 1B H 1 3B H = ABC 3ABCS =  1 1 1 1 3 13 33 3 2 2A DCA A ADC ADCV V S− −= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =△ x y - 15 - 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数 的大小，并判断管理时间 与土地使用面积 是否线性相关？ （2）是否有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取 3 人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 ,求 的分布列及数学期望． 参考公式： 其中 ．临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【解析】 【分析】 （ 1 ） 分 别 求 出 ， ， 从 而 ， ， ，求出 ，从而 得到管理时间 与土地使用面积 线性相关． （2）完善列联表，求出 ，从而有 的把握认为村民的性别与参与 r y x x x 1 1 2 2 1 1 1 ( )( ) , ( ) ( ) n i i n n i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0( )P K k≥ 0k 635 25.2≈ 3x = 16y = 5 2 1 ( ) 10i i x x = − =∑ 5 2 1 ( ) 254i i y y = − =∑ 5 1 ( )( ) 47i i i x x y y = − − =∑ 1 2 2 1 1 ( )( ) 47 0.933 10 254( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = ≈ ×− − ∑ ∑ ∑ y x 2 18.75 10.828K = > 99.9% - 16 - 管理的意愿具有相关性． （3） 的可能取值为 0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性 村民的概率为 ，由此能求出 的分布列和数学期望． 【详解】解：依题意： 故 则 ， 故管理时间 与土地使用面积 线性相关． （2）依题意，完善表格如下： 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 总计 200 100 300 计算得 的观测值为 故有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3）依题意， 的可能取值为 0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与 管理的男性村民的概率为 ， x 1 6 X 1 2 3 4 5 8 10 13 25 243, 165 5x y + + + + + + + += = = = 5 1 ( )( ) ( 2) ( 8) ( 1) ( 6) 1 9 2 8 47 i x x y y = − − = − × − ÷ − × − + × + × =∑ 5 5 2 2 1 1 ( ) 4 1 1 4 10, ( ) 64 36 9 81 64 254 i i x x y y = = − = + + + = − = + + + + =∑ ∑ 5 1 5 5 2 2 1 1 1 1 ( )( ) 47 47 0.933 10 254 2 635( ) ( ) i i i x x y y r x x y y = = = − − = = = ≈ ×− − ∑ ∑ ∑ y x 2k 2 2 300 (150 50 50 50) 300 5000 5000 18.75 10.828200 100 200 100 200 100 200 100k × × − × × ×= = = >× × × × × × x 1 6 - 17 - 故 故 的分布列为 X 0 1 2 3 P 则数学期望为 （或由 ，得 【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学 期望的求法以及二项分布等． 20.已知椭圆 ： 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 的斜率为 ，且原点到直线 的距离为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若不经过点 的直线 ： 与椭圆 交于 两点，且与圆 相切.试探究 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题可知，求得直线 的方程 ，再由点到直线的距离公式，联立求得 的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）由直线与圆相切，求得 ，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关 35 125( 0) ( ) ,6 216P X = = = 1 2 3 5 1 25( 1) ( ) ,6 6 72P X C= = × × = 2 3 3 3 3 2 5 1 5( 2) ( 1 1( 3) 6 2) ,72 16 66 PP X X CC  = = =  ×  = = × = x 125 216 25 72 5 72 1 216 125 25 5 1 1( ) 0 1 2 3216 72 72 216 2E X = × + × + × + × = 1(3, )6X B∼ 1 1( ) 3 6 2E X = × = C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F M FM 2 2 − FM 6 3 C F l ( 0, 0)y kx m k m= + < > C ,A B 2 2 1x y+ = ABF∆ 2 2 13 x y+ = 2 3 FM 0bx cy bc+ − = , ,a b c 2 21m k= + - 18 - 系和弦长公式，分别求得 ，即计算求得三角形的周长． 【详解】（1）由题可知， ， ，则 ， 直线 的方程为 ，即 ，所以 ， 解得 ， ， 又 ，所以椭圆 的标准方程为 . （2）因为直线 与圆 相切， 所以 ，即 . 设 ， ， 联立 ，得 ， 所以 ， ， ， 所以 . 又 ，所以 . 因为 ， 同理 . 所以 ， , ,AB AF BF ( ),0F c ( )0,M b 2 2 b c − = − FM 1x y c b + = 0bx cy bc+ − = 2 2 6 3 bc b c = + 1b = 2c = 2 2 2 3a b c= + = C 2 2 13 x y+ = ( ): 0, 0l y kx m k m= + 2 2 1x y+ = 2 1 1 m k = + 2 21m k= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 13 x y y kx m  + =  = + ( ) ( )2 2 23 1 6 3 1 0k x kmx m+ + + − = ( )( )2 2 2 236 12 3 1 1k m k m∆ = − + − = ( )2 2 212 3 1 24 0k m k− + = > 1 2 2 6 3 1 kmx x k −+ = + ( )2 1 2 2 3 1 3 1 m x x k − = + 2 1 21AB k x x= + − = 2 2 2 2 2 3 1 3 13 1 k k mk + + −+ 2 21m k= + 2 2 6 3 1 mkAB k = − + ( )2 2 1 12AF x y= − + = ( ) 22 1 1 1 62 1 33 3 xx x  − + − = −    2 63 3BF x= − ( )1 2 62 3 3AF BF x x+ = − + - 19 - 所以 的周长是 ， 则 的周长为定值 . 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答 此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系 数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查 考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数 ， ． （Ⅰ）若 在 内单调递减，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若函数 有两个极值点分别为 ， ，证明： ． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】 （I）先求得函数的导数，根据函数在 上的单调性列不等式，分离常数 后利用构造 函数法求得 的取值范围.（II）将极值点 代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转 化为证明 ，利用构造函数法证得上述不等式成立. 【详解】（I） ． ∴ 在 内单调递减， ∴ 在 内恒成立， 即 在 内恒成立． 令 ，则 ， ∴当 时， ，即 在 内为增函数； ABF∆ ( )1 2 2 6 2 62 3 2 33 3 1 mkx x k − + − =+ ABF∆ 2 3 ( ) 2ln 2f x x x ax x= − + a∈R ( )f x ( )0, ∞+ a ( )f x 1x 2x 1 2 1 2x x a + > e ,4a  ∈ +∞  ( )0, ∞+ a a 1 2,x x 1 2 1 1 2 2 2 1 ln 1 x x x x x x  −    > + ( ) ln 2 4f x x ax+′ = − ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ln 2 4 0f x x ax= + − ≤ ( )0, ∞+ ln 24 xa x x ≥ + ( )0, ∞+ ( ) ln 2xg x x x = + ( ) 2 1 ln xg x x − −′ = 10 ex< < ( ) 0g x′ > ( )g x 10, e      - 20 - 当 时， ，即 在 内为减函数． ∴ 的最大值为 ， ∴ （Ⅱ）若函数 有两个极值点分别为 ， ， 则 在 内有两根 ， ， 由（I），知 ． 由 ，两式相减，得 ． 不妨设 ， ∴要证明 ，只需证明 ． 即证明 ，亦即证明 ． 令函数 ． ∴ ，即函数 在 内单调递减． ∴ 时，有 ，∴ ． 即不等式 成立． 综上，得 ． 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考 查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题. 1x e > ( ) 0g x′ < ( )g x 1,e  +∞   ( )g x 1g ee   =   e ,4a  ∈ +∞  ( )f x 1x 2x ( ) ln 2 4 0f x x ax= + − =′ ( )0, ∞+ 1x 2x e0 4a< < 1 1 2 2 ln 2 4 0 ln 2 4 0 x ax x ax + − =  + − = ( )1 2 1 2ln ln 4x x a x x− = − 1 20 x x< < 1 2 1 2x x a + > ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 4 2 ln ln x x a x x a x x + <− − ( )1 2 1 2 1 2 2 ln lnx x x xx x − > −+ 1 2 1 1 2 2 2 1 ln 1 x x x x x x  −    > + 2 2 ( 1)'( ) 0( 1) xh x x x − −= ≤+ ( )h x ( ]0,1 ( )0,1x∈ ( ) ( )1 0h x h> = 2( 1) ln1 x xx − >+ 1 2 1 1 2 2 2 1 ln 1 x x x x x x  −    > + 1 2 1 2x x a + > - 21 - 选做题：考生需从第 22 题和第 23 题中选一道作答 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点 为曲线 上的动点，点 在线段 的延 长线上且满足 点 的轨迹为 . （1）求曲线 的极坐标方程； （2）设点 的极坐标为 ，求 面积的最小值. 【答案】（1） ： ， ： ； （2）2. 【解析】 【分析】 （1）消去参数，求得曲线 的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即 可求得曲线 的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线 的极坐标方程； （2）由 ,求得 ，求得 面积的表达式，即可求解. 【详解】（1）由曲线 的参数方程为 ( 为参数)， 消去参数，可得普通方程 ，即 ， 又由 ，代入可得曲线 的极坐标方程为 ， 设点 的极坐标为 ，点 点的极坐标为 ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 ，即 ， 所以曲线 的极坐标方程为 . （2）由题意，可得 , 则 ， 为 xOy 1C 1 cos sin x y α α = +  = α O x A 1C B OA | | | | 8,OA OB⋅ = B 2C 1 2,C C M 32, 2 π     ABM∆ 1C 2cosρ θ= 2C cos 4ρ θ = 1C 1C 2C 2OM = OBM OAMABMS S S∆ ∆ ∆= − ABM∆ 1C 1 cos sin x y α α = +  = α ( )2 21 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C 2cosρ θ= B ( , )ρ θ A 0 0( , )ρ θ 0 0 0 0, , 2cos ,OB OAρ ρ ρ θ θ θ= = = = | | | | 8OA OB⋅ = 0 8ρ ρ⋅ = 8 2cosθρ = cos 4ρ θ = 2C cos 4ρ θ = 2OM = 2 21 1| | | | 2 4 2cos 4 2cos2 2ABM BOBM O M AAS S S OM x x θ θ∆ ∆∆ = ⋅ − = ⋅ ⋅ = −= − − - 22 - 即 ， 当 ，可得 的最小值为 2. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以 及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 23.设函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由绝对值不等式的解法，当 ，分 三种情况讨论，求解不等 式即可得解； （2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得 ， 再转化为 恒成立，再分 和 讨论即可得解. 【详解】解：（1）当 时， ， 则 等价于 或 或 ， 解得 或 ， 所以 的解集为 ． （2）由绝对值不等式的性质有： ，由 24 2cosABMS θ∆ = − 2cos 1θ = ABMS∆ ( ) 2 1 2f x x x a= − + − x∈R 4a = ( ) 9f x > x∈R ( ) 5f x a≥ − a 71 2x x x < − >  或 [3, )+∞ 4a = 1 1, 2, 22 2x x x≤ < < ≥ 2 1 2 2 1 (2 ) 1x x a x x a a− + − ≥ − − − = − 1 5a a− ≥ − 1 0a − ≥ 1 0a − < 4a = 14 5, 2 1( ) 3, 22 4 5, 2 x x f x x x x − + ≤ = < <  − ≥  ( ) 9f x > 1 2 4 5 9 x x  ≤ − + > 1 22 3 9 x < <  > 2 4 5 9 x x ≥  − > 1x < − 7 2x > ( ) 9f x > 71 2x x x < − >  或 ( ) 2 1 2 2 1 (2 ) 1f x x x a x x a a= − + − ≥ − − − = − - 23 - 恒成立，有 恒成立， 当 时不等式显然恒成立， 当 时，由 得 ， 综上， 的取值范围是 ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立 问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. ( ) 5f x a≥ − 1 5a a− ≥ − 5a ≥ 5a < 2 21 (5 )a a− ≥ − 3 5a≤ < a [3, )+∞