2020年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2
2.3 幂函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )
A．y＝－x3 B．y＝x－3
C．y＝2x3 D．y＝x3－1
解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．
答案：B
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B.y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：∵y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，
但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．
答案：A
3．如图，函数y＝x的图象是( )
解析：y＝x＝≥0，故只有D中的图象适合．
答案：D
4．已知幂函数是偶函数，则实数t的值为( )
A．0 B.－1或1
C．1 D．0或1
解析：∵是幂函数，
∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.
当t＝0时，f(x)＝x是奇函数，不满足题设；
当t＝1时，f(x)＝x是偶函数，满足题设．
答案：C
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5．a，b满足0
0时，幂函数y＝xα是增函数；
④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的序号为________．
解析：当α＝0时，是直线y＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y＝xα仅在第一象限是递增的，如y＝x2，故③错误．
答案：①④
8．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n＞n，则n＝________.
解析：∵－＜－，且n＞n，∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n＝－1或n＝2.
答案：－1或2
9．点(，2)与点分别在幂函数f(x)、g(x)的图象上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)3，a>，
故a的取值范围是a>.
[B组 能力提升]
1．设幂函数f(x)的图象经过点，设0f(a) D．不能确定
解析：因为幂函数f(x)的图象经过点，设f(x)＝xα，因为图象经过点，所以α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x在第一象限单调递减．
因为0a，所以f(a－1)1.30＝1，
∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7)m，
∴幂函数y＝xm在 (0，＋∞)上单调递增，故m>0.
答案：(0，＋∞)
4．把，，，0按从小到大的顺序排列________．
解析：0＝1，＞0＝1，＜1，＜1.
∵y＝x为增函数，∴＜＜0＜.
答案：＜＜0＜
5．已知幂函数f(x)＝x (m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数f(x)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N＋)，而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数f(x)＝x (m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，
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∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2，
又∵m∈N＋，∴m＝1，f(x)＝x.
又∵f(2－a)>f(a－1)，
∴解得1≤a<，
故函数f(x)经过点(2，)时，m＝1.满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为1≤a＜.
6．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，求m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
解析：(1)若f(x)为正比例函数，则
解得m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则
解得m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
解得m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
解得m＝－1±.
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