山西省中考数学试卷含答案解析

山西省中考数学试卷含答案解析

‎2016年山西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）‎ ‎1．（3分）﹣的相反数是（　　）‎ A． B．﹣6 C．6 D．﹣‎ ‎【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：∵+（﹣）=0，‎ ‎∴﹣的相反数是：．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）不等式组解集是（　　）‎ A．x＞﹣5 B．x＜3 C．﹣5＜x＜3 D．x＜5‎ ‎【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得：x＞﹣5，‎ 解②得：x＜3，‎ 则不等式的解集是：﹣5＜x＜3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）以下问题不适合全面调查的是（　　）‎ A．调查某班学生每周课前预习的时间 B．调查某中学在职教师的身体健康状况 C．调查全国中小学生课外阅读情况 D．调查某校篮球队员的身高 ‎【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．‎ ‎【解答】解：调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；‎ 调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；‎ 调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；‎ 调查某校篮球队员的身高适合全面调查，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1，据此可得出图形，从而求解．‎ ‎【解答】解：观察图形可知，该几何体的左视图是．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（　　）‎ A．5.5×106千米 B．5.5×107千米 C．55×106千米 D．0.55×108千米 ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：5500万=5.5×107．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．（﹣）2=﹣ B．（3a2）3=9a6 C．5﹣3÷5﹣5= D．‎ ‎【分析】分别利用积的乘方运算法则以及二次根式的加减运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简求出答案．‎ ‎【解答】解：A、（﹣）2=，故此选项错误；‎ B、（3a2）3=27a6，故此选项错误；‎ C、5﹣3÷5﹣5=25，故此选项错误；‎ D、﹣=2﹣5=﹣3，正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及二次根式的加减运算、同底数幂的除法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物，设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】设甲搬运工每小时搬运x千克，则乙搬运工每小时搬运（x+600）千克，根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．‎ ‎【解答】解：设甲搬运工每小时搬运x千克，则乙搬运工每小时搬运（x+600）千克，由题意得 ‎，‎ 故选B ‎【点评】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）‎ A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3 C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3‎ ‎【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），再利用点平移的规律得到把点（2，﹣8）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．‎ ‎【解答】解：因为y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，‎ 所以抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2﹣3．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎【分析】首先求出圆心角∠EOF的度数，再根据弧长公式l=，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图连接OE、OF，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OE⊥CD，‎ ‎∴∠OED=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，‎ ‎∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，‎ ‎∵OA=OF，‎ ‎∴∠A=∠OFA=60°，‎ ‎∴∠DFO=120°，‎ ‎∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，‎ 的长==π．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是求出圆心角的度数，记住弧长公式，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）‎ A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH ‎【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．‎ ‎【解答】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1‎ 在直角三角形DCF中，DF==‎ ‎∴FG=‎ ‎∴CG=﹣1‎ ‎∴=‎ ‎∴矩形DCGH为黄金矩形 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）‎ ‎11．（3分）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是　（3，0）　．‎ ‎【分析】根据双塔西街点的坐标可知：1号线起点所在的直线为x轴，根据桃园路的点的坐标可知：2号线起点所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，确定太原火车站的点的坐标．‎ ‎【解答】解：由双塔西街点的坐标为（0，﹣1）与桃园路的点的坐标为（﹣1，0）得：平面直角坐标系，‎ 可知：太原火车站的点的坐标是（3，0）；‎ 故答案为：（3，0）‎ ‎【点评】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1　＞　y2（填“＞”或“=”或“＜”）‎ ‎【分析】由反比例函数系数小于0，可得出该反比例函数在第二象限单增，结合m﹣1、m﹣3之间的大小关系即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵在反比例函数y=（m＜0）中，k=m＜0，‎ ‎∴该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，‎ ‎∵m﹣3＜m﹣1＜0，‎ ‎∴y1＞y2．‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是找出函数的单调性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质找出其单调性是关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有　4n+1　个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．‎ ‎【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可．‎ ‎【解答】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，‎ 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2﹣1=9，‎ 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3﹣2=13，‎ ‎…，‎ 第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n﹣（n﹣1）=4n+1．‎ 故答案为：4n+1．‎ ‎【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为　　．‎ ‎【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次指针指向的数都是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：列表得如下：‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1、1‎ ‎1、2‎ ‎1、3‎ ‎2‎ ‎2、1‎ ‎2、2‎ ‎2、3‎ ‎3‎ ‎3、1‎ ‎3、2‎ ‎3、3‎ ‎∵由表可知共有9种等可能结果，其中两次指针指向的数都是奇数的有4种结果，‎ ‎∴两次指针指向的数都是奇数的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为　3﹣　．‎ ‎【分析】根据AB=CD=4、C为线段AB的中点可得BC=AC=2、AD=2，再根据EH⊥DC、CD⊥AB、BE⊥AB得EH∥AC、四边形BCGE为矩形，BC=GE=2，继而由AE是∠DAB的平分线可得∠DAE=∠HEA即HA=HE，设GH=x得HA=2+x，由△DHG∽△DAC得=，列式即可求得x．‎ ‎【解答】解：∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，‎ ‎∴BC=AC=2，‎ ‎∴AD=2，‎ ‎∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，‎ ‎∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，‎ ‎∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，‎ 又∵AE是∠DAB的平分线，‎ ‎∴∠EAB=∠DAE，‎ ‎∴∠DAE=∠HEA，‎ ‎∴HA=HE，‎ 设GH=x，‎ 则HA=HE=HG+GE=2+x，‎ ‎∵EH∥AC，‎ ‎∴△DHG∽△DAC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：x=3﹣，‎ 即HG=3﹣，‎ 故答案为：3﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0‎ ‎（2）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣2．‎ ‎【分析】（1）根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左到右依次计算，求出算式（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0的值是多少即可．‎ ‎（2）先把﹣化简为最简分式，再把x=﹣2代入求值即可．‎ ‎【解答】解：（1）（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0‎ ‎=9﹣5﹣4+1‎ ‎=1‎ ‎（2）x=﹣2时，‎ ‎﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=2‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．‎ ‎（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．‎ ‎（3）此题还考查了分式的化简求值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．‎ ‎（4）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．‎ ‎　‎ ‎17．（7分）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．‎ ‎【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．‎ ‎【解答】解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，‎ 分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，‎ 解得：x1=3，x2=9．‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：‎ ‎（1）补全条形统计图和扇形统计图；‎ ‎（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？‎ ‎（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是　0.13　．‎ ‎【分析】（1）根据喜欢其它累的人数是18，所占的百分比是9%，据此即可求的调查的总人数，进而根据百分比的意义求得扇形统计图中每部分的百分比，补全统计图；‎ ‎（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；‎ ‎（3）概率约等于对应的百分比．‎ ‎【解答】解：（1）调查的总人数是18÷9%=200（人），‎ 则喜欢工业设计的人数是200﹣16﹣26﹣80﹣18=60（人）．‎ 喜欢工业设计的所占的百分比是=30%；‎ 喜欢机电维修的所占的百分比是=13%．‎ ‎；‎ ‎（2）估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生数是：1800×30%=540（人）；‎ ‎（3）正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．‎ 故答案是：0.13．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎　‎ ‎19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：‎ 阿基米德折弦定理 阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．‎ 阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．‎ 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．‎ ‎∵M是的中点，‎ ‎∴MA=MC．‎ ‎…‎ 任务：‎ ‎（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；‎ ‎（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是　2+2　．‎ ‎【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；‎ ‎（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．‎ ‎∵M是的中点，‎ ‎∴MA=MC．‎ 在△MBA和△MGC中 ‎∵，‎ ‎∴△MBA≌△MGC（SAS），‎ ‎∴MB=MG，‎ 又∵MD⊥BC，‎ ‎∴BD=GD，‎ ‎∴DC=GC+GD=AB+BD；‎ ‎（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，‎ 由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，‎ 在△ABF和△ACD中 ‎∵，‎ ‎∴△ABF≌ACD（SAS），‎ ‎∴AF=AD，‎ ‎∵AE⊥BD，‎ ‎∴FE=DE，则CD+DE=BE，‎ ‎∵∠ABD=45°，‎ ‎∴BE==，‎ 则△BDC的周长是2+2．‎ 故答案为：2+2．‎ ‎【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg﹣5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：‎ 方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．‎ 方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．‎ ‎（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；‎ ‎（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；‎ ‎（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．‎ ‎【分析】（1）根据题意确定出两种方案应付款y与购买量x之间的函数表达式即可；‎ ‎（2）根据A付款比B付款少列出不等式，求出不等式的解集确定出x的范围即可；‎ ‎（3）根据题意列出算式，计算比较即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）方案A：函数表达式为y=5.8x；‎ 方案B：函数表达式为y=5x+2000；‎ ‎（2）由题意得：5.8x＜5x+2000，‎ 解得：x＜2500，‎ 则当购买量x的范围是2000≤x＜2500时，选用方案A比方案B付款少；‎ ‎（3）他应选择方案B，理由为：‎ 方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448（kg）；‎ 方案B：苹果数量为（20000﹣2000）÷5=3600（kg），‎ ‎∵3600＞3448，‎ ‎∴方案B买的苹果多．‎ ‎【点评】此题考查了一次函数的应用，弄清题中的两种方案是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．‎ ‎【分析】过A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，连接FD并延长与BA的延长线交于H，在Rt△CDH中，根据三角函数的定义得到CH=90，在Rt△EFH中，根据三角函数的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，‎ 在Rt△ACG中，CG=ACsin30°=50×=25，‎ ‎∵GD=50﹣30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，‎ 连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，‎ 在Rt△CDH中，CH==2CD=90，‎ ‎∴EH=EC+CH=AB﹣BE﹣AC+CH=300﹣50﹣50+90=290，‎ 在Rt△EFH中，EF=EH•tan30°=290×=，‎ 答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）综合与实践 问题情境 ‎ 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．‎ 操作发现 ‎（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是　菱形　；‎ ‎（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；‎ 实践探究 ‎（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；‎ ‎（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．‎ ‎【分析】（1）利用旋转的性质结合菱形的性质得出：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，进而利用菱形的判定方法得出答案；‎ ‎（2）利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形BCC′D是平行四边形，进而得出四边形BCC′D是矩形；‎ ‎（3）首先求出CC′的长，分别利用①点C″在边C′C上，②点C″在C′C的延长线上，求出a的值；‎ ‎（4）利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，‎ 故AC′∥EC，AC∥C′E，‎ 则四边形ACEC′是平行四边形，‎ 故四边形ACEC′的形状是菱形；‎ 故答案为：菱形；‎ ‎（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，‎ 由旋转得：AC′=AC，‎ 则∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴BA=BC，‎ ‎∴∠BCA=∠BAC，‎ ‎∴∠CAE=∠BCA，‎ ‎∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，‎ ‎∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°，‎ 又∵BC=DC′，‎ ‎∴四边形BCC′D是平行四边形，‎ ‎∵∠BCC′=90°，‎ ‎∴四边形BCC′D是矩形；‎ ‎（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，‎ ‎∵BA=BC，‎ ‎∴CF=AF=AC=×10=5，‎ 在Rt△BCF中，BF===12，‎ 在△ACE和△CBF中，‎ ‎∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，‎ ‎∴△ACE∽△CBF，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：EC=，‎ ‎∵AC=AC′，AE⊥CC′，‎ ‎∴CC′=2CE=2×=，‎ 当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：‎ ‎①点C″在边C′C上，a=C′C﹣13=﹣13=，‎ ‎②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=+13=，‎ 综上所述：a的值为：或；‎ ‎（4）答案不唯一，‎ 例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，‎ 得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，‎ 结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，‎ ‎∴四边形A′BCD′是平行四边形．‎ ‎【点评】此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出CC′的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎23．（14分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；‎ ‎（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标．‎ ‎（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，令y=﹣4即可解决问题．‎ ‎（3））①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣8，‎ ‎∵y=x2﹣3x﹣8=（x﹣3）2﹣，‎ ‎∴抛物线对称轴为直线x=3，‎ 又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），‎ ‎∴点B坐标（8，0）．‎ 设直线l的解析式为y=kx，‎ ‎∵经过点D（6，﹣8），‎ ‎∴6k=﹣8，‎ ‎∴k=﹣，‎ ‎∴直线l的解析式为y=﹣x，‎ ‎∵点E为直线l与抛物线的交点，‎ ‎∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3=﹣4，‎ ‎∴点E坐标（3，﹣4）．‎ ‎（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，‎ 此时点F纵坐标为﹣4，‎ ‎∴x2﹣3x﹣8=﹣4，‎ ‎∴x2﹣6x﹣8=0，‎ x=3，‎ ‎∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．‎ ‎（3）①如图1‎ 中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．‎ ‎∵点E坐标（3，﹣4），‎ ‎∴OE==5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则=，‎ ‎∴OM=OE=5，‎ ‎∴点M坐标（0，﹣5）．‎ 设直线ME的解析式为y=k1x﹣5，‎ ‎∴3k1﹣5=﹣4，‎ ‎∴k1=，‎ ‎∴直线ME解析式为y=x﹣5，‎ 令y=0，得x﹣5=0，解得x=15，‎ ‎∴点H坐标（15，0），‎ ‎∵MH∥PB，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴m=﹣，‎ ‎②如图2‎ 中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．‎ ‎∵当x=0时，y=x2﹣3x﹣8=﹣8，‎ ‎∴点C坐标（0，﹣8），‎ ‎∴CE==5，‎ ‎∴OE=CE，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵QO=QP，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴CE∥PB，‎ 设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x﹣8，‎ ‎∴3k2﹣8=﹣4，‎ ‎∴k2=，‎ ‎∴直线CE解析式为y=x﹣8，‎ 令y=0，得x﹣8=0，‎ ‎∴x=6，‎ ‎∴点N坐标（6，0），‎ ‎∵CN∥PB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m=﹣．‎ ‎③OP=PQ时，显然不可能，理由，‎ ‎∵D（6，﹣8），‎ ‎∴∠1＜∠BOD，‎ ‎∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，‎ ‎∴∠PQO＞∠1，‎ ‎∴OP≠PQ，‎ 综上所述，当m=﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎