浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量补上一课立体几何中的翻折轨迹及最值范围问题课件

浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量补上一课立体几何中的翻折轨迹及最值范围问题课件

立体几何中的翻折、轨迹及最值 ( 范围 ) 问题 1. 翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材 . 解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化 . 解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析问题和解决问题 . 而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆向过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试 . 2. 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化 . 对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题 . 对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性 . 知识拓展 3. 立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值 ( 上节 ) 或 ( 面积 ) 体积的最值的问题 . 其一般方法有： (1) 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； (2) 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值 . 题型一　立体几何中的翻折问题 【例 1 】 (2019· 全国 Ⅲ 卷 ) 图 ① 是由矩形 ADEB ， Rt △ ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB ＝ 1 ， BE ＝ BF ＝ 2 ， ∠ FBC ＝ 60°. 将其沿 AB ， BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG ，如图 ② . 题型突破 (1) 证明：图 ② 中的 A ， C ， G ， D 四点共面，且平面 ABC ⊥ 平面 BCGE ； (2) 求图 ② 中的二面角 B － CG － A 的大小 . (1) 证明 　由已知得 AD ∥ BE ， CG ∥ BE ，所以 AD ∥ CG ， 所以 AD ， CG 确定一个平面，从而 A ， C ， G ， D 四点共面 . 由已知得 AB ⊥ BE ， AB ⊥ BC ，且 BE ∩ BC ＝ B ， BE ， BC ⊂ 平面 BCGE ， 所以 AB ⊥ 平面 BCGE . 又因为 AB ⊂ 平面 ABC ，所以平面 ABC ⊥ 平面 BCGE . (2) 解 　作 EH ⊥ BC ，垂足为 H . 因为 EH ⊂ 平面 BCGE ，平面 BCGE ⊥ 平面 ABC ，平面 BCGE ∩ 平面 ABC ＝ BC ， 所以 EH ⊥ 平面 ABC . 因此二面角 B － CG － A 的大小为 30°. 【训练 1 】 (2020· 浙江名师预测卷四 ) 在梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ， AD ＝ 2 AB ＝ 2 BC ＝ 2 CD . 将 △ BCD 沿 BD 翻折至 △ BPD ，且满足平面 ABP ⊥ 平面 BPD . (1) 求证：二面角 P － BD － A 是直二面角； (2) ( 一题多解 ) 求直线 PD 与平面 PAO 所成角的正弦值的大小 . (1) 证明 　由已知条件易得 ∠ BAD ＝ 60° ， ∠ BDA ＝ 30° ， AB ⊥ BD . 在 △ BPD 中，过点 D 作 DH ⊥ BP ，交 BP 的延长线于点 H . ∵ 平面 ABP ⊥ 平面 BPD ，平面 ABP ∩ 平面 BPD ＝ BP ， ∴ DH ⊥ 平面 ABP ， ∵ AB ⊂ 平面 ABP ， ∴ DH ⊥ AB . 又 ∵ BD ∩ DH ＝ D ， ∴ AB ⊥ 平面 BPD ， ∵ AB ⊂ 平面 ABD ， ∴ 平面 ABD ⊥ 平面 BPD . 即二面角 P － BD － A 是直二面角 . (2) 解　法一 　过点 P 作 PG ⊥ BD ，交 BD 于点 G ，则 G 是 BD 的中点 . 由 (1) 可知平面 PBD ⊥ 平面 ABD ， 又 ∵ 平面 PBD ∩ 平面 ABD ＝ BD ， ∴ PG ⊥ 平面 ABD . ∵ AB ⊥ 平面 BPD ， ∴ AB ⊥ BP ， 法二　 分别取 BD ， AD 的中点 E ， F ，连接 EP ， EF ，则 EF ∥ AB . 由 (1) 可知 AB ⊥ 平面 BPD ， ∴ EF ⊥ 平面 BPD ， ∴ EF ⊥ BD ， EF ⊥ EP . ∵ PB ＝ PD ， ∴ PE ⊥ BD ， 设平面 PAO 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 题型二　立体几何中的轨迹问题 【例 2 】 (1) 已知在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1 垂直，且 AD ＝ AB ， E 为 CC 1 的中点， P 在对角面 BB 1 D 1 D 所在平面内运动，若 EP 与 AC 成 30° 角，则点 P 的轨迹为 ( 　　 ) A. 圆 B . 抛物线 C. 双曲线 D . 椭圆 (2) 已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ，点 P 是平面 AC 内的动点， 若点 P 到直线 A 1 D 1 的距离等于点 P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( 　　 ) A. 抛物线 B . 双曲线 C. 椭圆 D . 直线 解析 　 (1) 因为在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1 垂直，且 AD ＝ AB ，所以该平面六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面 BB 1 D 1 D ⊥ 底面 ABCD ， AC ⊥ 对角面 BB 1 D 1 D . 取 AA 1 的中点 F ，则 EF ∥ AC ，因为 EP 与 AC 成 30° 角，所以 EP 与 EF 成 30° 角 . 设 EF 与对角面 BB 1 D 1 D 的交点为 O ，则 EO ⊥ 对角面 BB 1 D 1 D ，所以点 P 的轨迹是以 EO 为轴的一个圆锥的底面，故选 A. 答案　 (1)A 　 (2)B (2) 如图， AB 是平面 α 的斜线段， A 为斜足，若点 P 在平面 α 内运动，使得 △ ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是 ( 　　 ) A. 圆 B . 椭圆 C. 一条直线 D . 两条平行直线 (2) 由于线段 AB 是定长线段，而 △ ABP 的面积为定值，所以动点 P 到线段 AB 的距离也是定值 . 由此可知空间点 P 在以 AB 为轴的圆柱侧面上 . 又 P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱 ( AB 是平面的斜线段 ) 得到的切痕是椭圆 . P 的轨迹就是圆柱侧面与平面 α 的交线是椭圆 . 答案　 (1)B 　 (2)B 题型三　立体几何中的长度、面积、体积的最值 ( 范围 ) 问题 答案　 (1)B 　 (2)B (2) 如图，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 4 ，点 Q 在棱 AA 1 上，且 AQ ＝ 3 A 1 Q ， EFGC 1 是侧面 BCC 1 B 1 内的正方形，且 C 1 E ＝ 1 ， P 是侧面 BCC 1 B 1 内的动点，且 P 到平面 CDD 1 C 1 的距离等于线段 PF 的长，则线段 PQ 长度的最小值为 ________.