高考数学模拟试题3苏教版

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‎2015年高考模拟试卷(3)‎ 南通市数学学科基地命题 ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． ‎ ‎1．已知集合,，‎ 则= .‎ ‎2．如果与互为共轭复数（R，为虚数单位），‎ 则= ．‎ ‎3．如右图，该程序运行后输出的结果为 .‎ ‎4．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，．若sinB＝，则＝________.‎ ‎5．某单位有三部门，其人数比例为3∶4∶5，现欲用分层抽样方法抽调n名志愿者支援西部大开发 ．若在部门恰好选出了6名志愿者，那么n＝________．‎ ‎6．函数且的部分图像如图所示,则 的值为 .‎ ‎7．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数 在处取得最值的概率是 .‎ ‎8．在等差数列和等比数列中，已知，那么满足的 的所有取值构成的集合是 .‎ ‎9．已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四 边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝.若BF＝BD ‎＝2，则多面体的体积 ．‎ ‎10．如果关于x的方程有两个实数解，那么实数a的值是 ．‎ ‎11．设 若是的最小值，则实数的取值范围为 .‎ ‎12．已知椭圆的中心、右焦点、右顶点依次为直线与 轴 交于点，则取得最大值时的值为 .‎ ‎13．在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的面积是 ．‎ ‎14．是定义在上的奇函数，若当时， ，则关于的函 数的所有零点之和为 （用表示）‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.‎ ‎15．（本小题满分14分）如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）‎ 第15题图 ‎（1）若点，求的值；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎ ‎ M D C B A P N ‎16．（本小题满分14分）在四棱锥中,平面,是边长为4的正三角形,与的交点恰好是中点,又,点在线段上,且.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求证：平面.‎ ‎17.（本小题满分14分）2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，‎ 为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴元（为常数，），设每枚徽章的售价为元（35）.根据市场调查，日销售量与（为自然对数的底数）成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚.‎ ‎（1）求该商店的日利润与每枚徽章的售价的函数关系式；‎ ‎（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润最大？并求出的最大值.‎ ‎18．(本小题满分16分) 已知椭圆过点，离心率为．‎ ‎ （1）若是椭圆的上顶点，分别是左右焦点，直线分别交椭圆于，直线交于D，求证；‎ ‎ （2）若分别是椭圆的左右顶点，动点满足，且交椭圆于点．‎ ‎ 求证：为定值.‎ ‎19.（本小题满分16分）已知函数，，设.‎ ‎（1）若在处取得极值，且，求函数h(x)的单调区间；‎ ‎（2）若时函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.‎ ‎①求b的取值范围；②求证：.‎ ‎20.（本小题满分16分）若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.‎ ‎（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；‎ ‎（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ‎ A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C．若AB = 2 BC ，‎ 求证：．‎ B．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵，其中均为实数，若点在矩阵的变换作用下得到点，求矩阵的特征值.‎ C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线（为参数）和曲线相交于两点，求中点的直角坐标．‎ D．（选修４－５：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足，，求a的取值范围．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.‎ ‎22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．‎ ‎（1）求的概率；‎ ‎（2）求X的分布列和数学期望．‎ ‎23．（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.‎ ‎（1）若，，，…，成等差数列，且，求证：；‎ ‎（2）若，，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2015年高考模拟试卷(3)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题 ‎1．； 2． ； 3．1027； 由流程图，和的值依次为，结束循环.‎ ‎4．；5．24；6．；7； 8． ；【解析】 由已知得，‎ ‎，令，可得，解得或5，所以满足的的所有取值构成的集合是.‎ ‎9． 【解析】如图，连接AC，AC∩BD＝O.因为四边形ABCD是菱形，所以，AC⊥BD，又因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以，ED⊥AC.因为，ED，BD⊂平面BDEF，且ED∩BD＝D，所以，AC⊥平面BDEF，所以，AO为四棱锥ABDEF的高．又因为，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝，所以，△ABD为等边三角形．又因为，BF＝BD＝2，所以，AD＝2，AO＝，S四边形BDEF＝4，所以，V四棱锥ABDEF＝，即多面体的体积为. 10． ； 11．； 12．2；‎ ‎13．；【解析】 设，，，则|a|=|b|=|c|=1，a+b=c，所以，得cos=,又由，所以，可得图形为有一个角的菱形，所以，其面积.‎ ‎14．；【解析】 根据对称性，作出R上的函数图象，由，所以，零点就是与交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数的图象与 的交点在之间的交点关于对称，所以，，在 之间的两个交点关于对称，所以，，设，则，所以，‎ ‎，即，由，所以，‎ ‎，即，所以，.‎ 二、解答题 ‎15. （1）由于，，所以， ， ‎ 所以， 所以 ；‎ ‎（2）由于,, ‎ 所以, ‎ ‎. ‎ 所以，所以， ‎ ‎ 所以.‎ ‎16．（1）因为是正三角形,是中点, ‎ ‎ ‎ M D C B A P N 所以,即, ‎ 又,平面, ‎ ‎ 所以平面. ‎ 又平面,所以. ‎ ‎ (2)在正三角形中, ‎ 在中，因为为中点, ，所以,‎ 因为,所以.‎ 所以, ,所以, ‎ 所以,所以. ‎ 又平面,平面,‎ 所 以平面. ‎ ‎17. （1）设日销售量为，则，‎ 所以，则日销售量为枚. ‎ 每枚徽章的售价为元时，每枚徽章的利润为元，‎ 则日利润.‎ ‎（2）. ‎ ‎①当时，，而，‎ 所以在上单调递减，‎ 则当时，取得最大值为. ‎ ‎②当时，，令，得，‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减.‎ 所以当时，取得最大值为. ‎ 综上，当时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润最大,;‎ 当时，每枚徽章的售价为（）元时，该商店的日利润最大， . ‎ ‎18. （1）易得且，‎ ‎ 解得 所以,椭圆的方程为； ‎ ‎ 所以，，‎ ‎ 所以，直线，直线 ‎ 将 代入椭圆方程可得，‎ ‎ 所以，同理可得， ‎ 所以直线为，‎ 联立，得交点， ‎ 所以，，即 所以，； ‎ ‎ （2）设，，‎ ‎ 易得直线的方程为，‎ ‎ 代入椭圆,得，‎ 由得，， ‎ 从而， ‎ 所以. ‎ ‎19. (1)因为，所以,‎ 由可得a=b-3. ‎ 又因为在处取得极值，‎ 所以， ‎ 所以a= -2,b=1 . ‎ 所以，其定义域为（0，+）‎ 令得， ‎ 当（0,1）时，，当（1,+），‎ 所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. ‎ ‎（2）当时，，其定义域为（0，+）.‎ ‎①由得，记，则,‎ 所以在单调减，在单调增，‎ 所以当时取得最小值.‎ 又，所以时，而时,‎ ‎ 所以b的取值范围是（，0）. ‎ ‎②由题意得,‎ 所以,‎ 所以，不妨设x1

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