【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试32数列求和作业
考点测试32 数列求和
一、基础小题
1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
答案 C
解析 Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2．故选C．
2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )
A．1 B． C． D．
答案 B
解析 ∵an＝－，
∴S5＝1－＋－＋…＋－＝．故选B．
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10a1，则＝( )
A． B．1 C． D．2
答案 B
解析 由S4＝10a1得＝10a1，即d＝a1．所以＝1．故选B．
4．已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2a2，则( )
A．a1<0 B．a1>0 C．a1≠a2 D．a2＝0
答案 D
解析 ∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝2a2，当n＝1时，a1＝2a2，当n＝2时，a1＋a2＝2a2，∴a2＝0．故选D．
5．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a3＝8，则a1＝( )
A． B． C．64 D．128
答案 B
解析 ∵S3－S2＝a3，∴－＝8，
∴a1＝，故选B．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S11＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 由当n≥2时，an＋2Sn－1＝n得an＋1＋2Sn＝n＋1，上面两式相减得an＋1－an＋2an＝1，即an＋1＋an＝1，所以S11＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a10＋a11)＝5×1＋1＝6．故选B．
7．设Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S4m＋S2m＋1＋S2m＋3(m∈N*)的值为( )
A．0 B．3
C．4 D．随m的变化而变化
答案 B
解析 容易求得S2k＝－k，S2k＋1＝k＋1，所以S4m＋S2m＋1＋S2m＋3＝－2m＋m
＋1＋m＋2＝3．故选B．
8．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 C
解析 由题意知a6<0，a11>0，a1＋5d＝－a1－10d，a1＝－d，有Sn＝na1＋＝(n2－16n)＝[(n－8)2－64]，因为d>0，所以当n＝8时前n项和取最小值．故选C．
二、高考小题
9．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A．440 B．330 C．220 D．110
答案 A
解析 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为．由题意知，N>100，令>100，解得n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．
第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n＋1－2－n．
设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－项的和即第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，
即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)，∴n最小为29，此时k＝5．则
N＝＋5＝440．故选A．
10．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________．
答案 6
解析 设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝6，a3＋a5＝0，∴6＋2d＋6＋4d＝0，∴d＝－2，∴S6＝6×6＋×(－2)＝6．
11．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________．
答案
解析 设公差为d，则∴
∴an＝n．
∴前n项和Sn＝1＋2＋…＋n＝，
∴＝＝2－，
∴ ＝21－＋－＋…＋－＝21－＝2·＝．
12．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．
答案 －
解析 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，
∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－．
13．(2018·江苏高考)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}
的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________．
答案 27
解析 设An＝2n－1，Bn＝2n，n∈N*，当Ak
12a39，则n∈[22，38)，n∈N*时，存在n，使Sn≥12an＋1，此时T5＝A1＋A2＋…＋A16＋B1＋B2＋B3＋B4＋B5，则当n∈[22，38)，n∈N*时，Sn＝T5＋＝n2－10n＋87．an＋1＝An＋1－5＝An－4，12an＋1＝12[2(n－4)－1]＝24n－108，Sn－12an＋1＝n2－34n＋195＝(n－17)2－94，则n≥27时，Sn－12an＋1>0，即nmin＝27．
三、模拟小题
14．(2018·福建厦门第一学期期末)已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为( )
A．250 B．200 C．150 D．100
答案 D
解析 n＝2k(k∈N*)时，a2k＋1－a2k＝2，
n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋a2k－1＝2，
n＝2k＋1(k∈N*)时，a2k＋2＋a2k＋1＝2，∴a2k＋1＋a2k－1＝4，a2k＋2＋a2k＝0，∴{an}的前100项和＝(a1＋a3)＋…＋(a97＋a99)＋(a2＋a4)＋…＋(a98＋a100)＝25×4＋25×0＝100．故选D．
15．(2018·浙江模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝则数列{3an＋n－7}的前2n项和的最小值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 D
解析 设bn＝3an＋n－7，{3an＋n－7}的前2n项和为S2n，则S2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝
3＋(1＋2＋3＋…＋2n)－14n＝91－n＋2n2－13n，又2n2－13n＝2n－2－，当n≥4时，f(n)＝2n－2－是关于n的增函数，又g(n)＝91－n也是关于n的增函数，∴S81024的最小n的值为________．
答案 9
解析 当n＝1时，a1＝4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，
所以an＝所以bn＝
所以Tn＝
当n＝9时，T9＝210＋9×10＋2＝1116>1024；当n＝8时，T8＝29＋8×9＋2＝586<1024，所以满足Tn>1024的最小n的值为9．
17．(2018·江西南昌莲塘一中质检)函数f(x)＝，g(x)＝f(x－1)＋1，an＝g＋g＋g＋…＋g，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
答案 an＝2n－1
解析 由题意知f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)＝为奇函数，g(x)＋g(2－x)＝f(x－1)＋1＋f(2－x－1)＋1＝f(x－1)＋f(1－x)＋2，
由f(x)＝为奇函数，知f(x－1)＋f(1－x)＝0，
∴g(x)＋g(2－x)＝2．∵an＝g＋g＋g＋…＋g，n∈N*，①
∴an＝g＋g＋g＋…＋g，n∈N*，②
由①＋②得2an＝g＋g＋g＋g＋…＋g＋g＝(2n－1)×2，则数列{an}的通项公式为an＝2n－1．
18．(2018·洛阳质检)已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an．若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn为________．
答案 3n－1
解析 ∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}是公比为3的等比数列，∴Sn＝＝3n－1．
19．(2018·石家庄质检二)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n，如果存在正整数n，使得(m－an)(m－an＋1)<0成立，那么实数m的取值范围是________．
答案 －，
解析 易得a1＝－，n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝－n－－n－1＝3×－n．则有a11，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n．
(1)求q的值；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解 (1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8．
由a3＋a5＝20得8q＋＝20，
解得q＝2或q＝，因为q>1，所以q＝2．
(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn．
由cn＝解得cn＝4n－1．
由(1)可知an＝2n－1，
所以bn＋1－bn＝(4n－1)·n－1，
故bn－bn－1＝(4n－5)·n－2，n≥2，
bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)
＋(b2－b1)＝(4n－5)·n－2＋(4n－9)·n－3＋…＋7·＋3．
设Tn＝3＋7·＋11·2＋…＋(4n－5)·n－2，n≥2，
Tn＝3·＋7·2＋…＋(4n－9)·n－2＋(4n－5)·n－1，
所以Tn＝3＋4·＋4·2＋…＋4·n－2－(4n－5)·n－1，
因此Tn＝14－(4n＋3)·n－2，n≥2，
又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·n－2，n≥2．
经检验，当n＝1时，bn也成立．
故bn＝15－(4n＋3)·n－2．
2．(2018·天津高考)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)．
①求Tn；
②证明 ＝－2(n∈N*)．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q．
由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0．
因为q>0，可得q＝2，故an＝2n－1．
设等差数列{bn}的公差为d．
由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4．
由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，
从而b1＝1，d＝1，故bn＝n．
所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝n．
(2)①由(1)，有Sn＝＝2n－1，
故Tn＝ (2k－1)＝2k－n
＝－n＝2n＋1－n－2．
②证明：因为＝
＝＝－，所以，
＝－＋－＋…＋－
＝－2．
3．(2017·天津高考)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
等比数列{bn}的公比为q．
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3，
又因为q＞0，所以q＝2．所以bn＝2n．
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8．①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②
联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2．
所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n．
(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有a2nb2n－1＝(3n－1)·4n，
故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)·4n，
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)·4n＋(3n－1)·4n＋1，
上述两式相减，得
－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)·4n＋1＝－4－(3n－1)·4n＋1
＝－(3n－2)·4n＋1－8．
得Tn＝·4n＋1＋．
所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为·4n＋1＋．
二、模拟大题
4．(2018·山西太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝，数列{bn}满足bn＝an＋an＋1(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若cn＝2an·(bn－1)(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn．
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，
又a1＝1符合上式，∴an＝n(n∈N*)，
∴bn＝an＋an＋1＝2n＋1．
(2)由(1)得cn＝2an(bn－1)＝n·2n＋1，
∴Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， ①
2Tn＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋(n－1)×2n＋1＋n×2n＋2， ②
①－②得，－Tn＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2＝(1－n)·2n＋2－4，
∴Tn＝(n－1)·2n＋2＋4．
5．(2018·沈阳质检)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
解 (1)由题设知a1a4＝a2a3＝8，
又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．
设等比数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q＝2，
故an＝a1qn－1＝2n－1，n∈N*．
(2)Sn＝＝2n－1，
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝－＋－＋…＋－
＝－＝1－，n∈N*．
6．(2018·安徽马鞍山第二次教学质量监测)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a2＝37，S4＝152．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{|an－2n|}的前n项和Tn．
解 (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则
解得
所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋33(n∈N*)．
(2)由(1)知，|an－2n|＝|2n＋33－2n|
＝
当1≤n≤5时，Tn＝－
＝n2＋34n－2n＋1＋2；
当n≥6时，T5＝133，|2n＋33－2n|＝2n－(2n＋33)，
Tn－T5＝－
＝2n＋1－n2－34n＋131，
∴Tn＝2n＋1－n2－34n＋264．
综上所述，Tn＝
