辽宁省丹东市2018年高三模拟(二)理科数学试题及答案

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辽宁省丹东市2018年高三模拟(二)理科数学试题及答案

‎2018年丹东市高三总复习质量测试(二)‎ 理科数学 本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若集合,,则 A. B. C. D. ‎ ‎2.复数的模 A. B. C. D. ‎ ‎3.圆心为的圆与圆相外切,则的方程为 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ A.‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5.已知△的面积为,三个内角,,的对边分别为,,,若 ‎,,则 A.2 B.‎4 ‎C. D.‎ 开始 否 是 输出 结束 ‎6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有 人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关 ‎ 四而税一,次关五而税一,次关六而税一,…,”.‎ 源于问题所蕴含的数学思想,设计如图所示程序框图,‎ 运行此程序,输出的值为 A.4‎ B.5‎ C.6‎ D.7‎ ‎7.为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况,某高校自主招生考试面试中的一个问题是:写出对数的换底公式,并加以证明.甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案.公布他们的答案后,三考生之间有如下对话,甲说:“我答错了”;乙说:“我答对了”;丙说:“乙答错了”.评委看了他们的答案,听了他们之间的对话后说:你们三人的答案中只有一人是正确的,你们三人的对话中只有一人说对了.根据以上信息,面试问题答案正确、对话说对了的考生依次为 A.乙、乙 B.乙、甲 C.甲、乙 D.甲、丙 ‎8.若函数存在最小值,则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎9.设,若,则 A. B. C. D.‎ ‎10.若点满足不等式组,则的取值范围为 A. B.‎ C. D.‎ ‎11.设,则函数 A.仅有一个极小值 B.仅有一个极大值 ‎ C.有无数个极值 D.没有极值 ‎12.设是△所在平面上的一点,若,则 的最小值为 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据:‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ 根据上表可得回归方程,计算得,则当投入10万元广告费时,销 售额的预报值为 万元.‎ ‎14.若,则的值为 .‎ ‎15.已知,,是半径为2的球表面上三点,若,,,‎ 则三棱锥的体积为 .‎ ‎16.双曲线:的右焦点为,左顶点为,以为圆心,‎ 为半径的圆与的右支相交于,两点,若△的一个内角为,‎ 则的渐近线方程为 .‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 为数列的前项和,已知,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)若数列的前项和满足,求实数的取值范围.‎ ‎18.(12分)‎ 近年来,双十一购物狂欢节(简称“双11”)活动已成为中国电子商务行业年度盛事,某网络商家为制定2018年“双11”活动营销策略,调查了2017年“双11”活动期间每位网购客户用于网购时间(单位:小时),发现近似服从正态分布.‎ ‎(1)求的估计值;‎ ‎(2)该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10000名网购客户,这10000名客户在2017年“双11”活动期间,用于网购时间属于区间的客户数为.该商家计划在2018年“双11”活动前对这名客户发送广告,所发广告的费用为每位客户0.05元. ‎ ‎(i)求该商家所发广告总费用的平均估计值;‎ ‎(ii)求使取最大值时的整数的值.‎ 附:若随机变量服从正态分布,则, ‎ ‎,.‎ A B C D ‎19.(12分)‎ 如图,在四面体中,, .‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,,四面体的体积为2,求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)‎ 已知为椭圆:长轴上的一个动点,过点的直线与交于,两点,点在第一象限,且.‎ ‎(1)若点为的下顶点,求点的坐标;‎ ‎(2)若为坐标原点,当△的面积最大时,求点的坐标.‎ ‎21.(12分)‎ 设函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若存在正数,使得当时,,求实数的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程] (10分)‎ 在直角坐标系中,将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的倍,再把所得曲线上每一点向下平移1个单位得到曲线.以为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.‎ ‎(1)写出的参数方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点在上,点在上,求使取最小值时点的直角坐标.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲] (10分)‎ 设函数,若,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)比较与的大小.‎ ‎2018年丹东市高三总复习质量测试(二)‎ 理科数学参考答案 一、选择题 ‎ 1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C ‎ 7.D 8.C 9.B 10.A 11.A 12.C 二、填空题 ‎13.85 14.36 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(1)由,可知.可得,易知,于是.‎ 又,得.‎ 所以是首项为2,公比为4的等比数列,通项公式为.‎ ‎ …………(6分)‎ ‎(2)由可知.‎ 于是.‎ 不等式可化为.因为,所以,故.‎ 因此实数的取值范围为.‎ ‎ …………(12分)‎ ‎18.解:‎ ‎(1)因为,,,所以 .‎ ‎ …………(4分)‎ ‎(2)(i).依题意 ‎,所以.‎ 故商家广告总费用的估计值为(元).‎ ‎ …………(8分)‎ ‎(ii).‎ 设最大,则,即,解得.‎ 因为,所以使取最大值时的整数. …………(12分)‎ ‎19.解法1:‎ ‎(1)如图,作Rt△斜边上的高,连结.‎ 因为,,所以Rt△≌Rt△.可得.所以平面,于是. …………(6分)‎ z x y A B C D E ‎(2)在Rt△中,因为,,所以,, ,△的面积.因为平面,四面体的体积,所以,,,所以平面.‎ ‎ …………(8分)‎ 以,,为,,轴建立空间直角坐标系.则, ,,,,,.‎ 设是平面的法向量,则,即,可取.‎ 设是平面的法向量,则,即,可取.‎ 因为,二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为.‎ ‎ …………(12分)‎ 解法2:‎ ‎(1)因为,,所以Rt△≌Rt△.可得.‎ 设中点为,连结,,则,,所以平面,,于是. …………(6分)‎ A B C D E F ‎(2)在Rt△中,因为,,所以△面积为.设到平面距离为,因为四面体的体积,所以.‎ 在平面内过作,垂足为,因为,,所以.由点到平面距离定义知平面.‎ ‎【到此,可再用解法1中的向量解法求解.下面我们用非向量解法求解.】‎ 因为,所以.因为,,所以,,所以,即二面角的余弦值为.‎ ‎ …………(12分)‎ ‎20.解:‎ ‎(1)易知,由可得点的纵坐标为.‎ 由点在上,得的横坐标为.从而方程为,令得,点的坐标为. …………(5分)‎ ‎(2)由题意可设,:,与联立,可得,.‎ 设,,则.由得,所以,.‎ 因为,所以,得.‎ ‎△的面积,当且仅当时等号成立,此时,满足.‎ 因为,所以,故点的坐标为.‎ ‎ …………(12分)‎ ‎21.解:‎ ‎(1).‎ 当时,,上单调递增.‎ 当时,若,则,若,则;所以在单调递增,在上单调递减. …………(4分)‎ ‎(2)若,在内单调递增,当时,,所以,即.‎ 设,.‎ 若,时,,在单调递增.所以当时,,故存在正数,使得当时,.‎ 若,当时,,在单调递减,因为,所以.故不存在正数,使得当时,.‎ 若,在单调递减,因为,所以存在,使得当时,,可化为,即.‎ 设,.‎ 若,则时,,在单调递增,又,所以时,.故不存在正数,使得当时,.‎ 当时,当时,,在单调递减,又,所以.故存在,使得当时,.‎ 综上,实数的取值范围为. …………(12分)‎ ‎22.解:‎ ‎(1):为,其参数方程为(为参数).‎ ‎:,其直角坐标方程为.‎ ‎ …………(5分)‎ ‎(2)由(1)可设,由于是直线,所以的最小值,‎ 就是到距离的最小值.‎ ‎,当时,取最小值,最小值为.此时的直角坐标为. …………(10分)‎ ‎23.解:‎ ‎(1),由得.‎ 从而,,.所以.‎ ‎ …………(5分)‎ ‎(2).‎ 由(1)得, ,所以,故.‎ ‎ …………(10分)‎
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