北京四中高考数学总复习巩固练习直线平面垂直的判定和性质基础

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文档介绍

北京四中高考数学总复习巩固练习直线平面垂直的判定和性质基础

‎【巩固练习】‎ ‎1. 直线与平面α内无数条直线垂直是“直线与平面α垂直”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”).‎ ‎2.关于直线m,n和平面α,β,有以下四个命题:‎ ‎①若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n;‎ ‎②若m∥n,m⊂α,n⊥β,则α⊥β;‎ ‎③若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β;‎ ‎④若m⊥n,α∩β=m,则n⊥α或n⊥β.‎ 其中假命题的序号是________.‎ ‎3.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的有________.‎ ‎①若l⊥m,m⊂α,则l⊥α;②若l⊥α,l∥m,则m⊥α;‎ ‎③若l∥α,m⊂α,则l∥m;④若l∥α,m∥α,则l∥m.‎ ‎4.设b,c表示两条直线,α,β表示两个平面,现给出下列命题:‎ ‎①若b⊂α,c∥α,则b∥c; ②若b⊂α,b∥c,则c∥α;‎ ‎③若c∥α,α⊥β,则c⊥β; ④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.‎ 其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号)‎ ‎5. 已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的条件是________.(填序号)‎ ‎①α⊥γ,β⊥γ;②α∩β=a,b⊥a,b⊂β;‎ ‎③a∥α,a∥β;④a⊥β,a∥α.‎ ‎6.设m,n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若m⊂β,α⊥β,则m⊥α;‎ ‎②若m∥α,m⊥β,则α⊥β;‎ ‎③若α⊥β,α⊥γ,则β⊥γ;‎ ‎④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β.‎ 上面命题中,真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).‎ ‎7. 在各个面都是正三角形的四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中成立的是________(填序号).‎ ‎①BC∥平面PDF;②DF⊥平面PAE;‎ ‎③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面ABC.‎ ‎8. 如图所示,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,那么以P、A、B、C、D五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是________.‎ ‎9. 如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则在BC上存在________个点使PQ⊥QD.‎ ‎10.称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”,若在四直角三棱锥SABC中,∠SAB=∠SAC=∠SBC=90°,则第四个面中的直角为________.‎ ‎11. 在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,点P在侧面BB‎1C1C上运动,并且保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是________.‎ ‎12. 如图所示,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA=1,PB=PD=,则它的5个面中,互相垂直的面有________对.‎ ‎13. 如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎14.如图,棱柱ABCA1B‎1C1的侧面BCC1B1是菱形,B‎1C⊥A1B.求证:平面AB‎1C⊥平面A1BC1.‎ ‎15.如图,AB为圆O的直径,点E在圆O上,矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直.求证:AE⊥平面CBE.‎ ‎16.如图,在四棱锥PABCD中, PD⊥平面ABCD,AD=CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点.‎ ‎(1)证明:PA∥平面BDE;‎ ‎(2)证明:平面PAC⊥平面PDB.‎ ‎17.如图,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中.‎ ‎(1)求证:平面BC1D⊥平面A1ACC1;‎ ‎(2)求二面角C1BDC的正切值.‎ ‎【参考答案与解析】‎ ‎1.【答案】必要不充分 ‎ ‎【解析】由直线与平面垂直的定义知为必要不充分条件.‎ ‎2. 【答案】①③④ ‎ ‎【解析】据面面垂直的判定定理可知②正确,所以填①③④.‎ ‎3.【答案】② ‎ ‎【解析】根据线面垂直的判定定理知①错;根据线面垂直的性质知②正确;③中l可能与m异面;④中l可能与m异面,也可能相交.‎ ‎4.【答案】④ ‎ ‎【解析】由面面垂直的判定定理可知④正确.‎ ‎5.【答案】④‎ ‎【解析】由面面垂直的定义、判定定理可得.‎ ‎6.【答案】② ‎ ‎【解析】①中m与a不一定垂直;③中可以得到b和γ相交或b∥γ;④中可以得到a∥b或a,b相交;只有②正确.‎ ‎7.【答案】①②④ ‎ ‎【解析】作出图形易知①正确;由BC⊥AE,BC⊥PE,可得BC⊥平面PAE,从而得DF⊥平面PAE,②正确;因为BC⊥平面PAE,BC⊂平面ABC,则平面PAE⊥平面ABC,④正确.‎ ‎8.【答案】9 ‎ ‎【解析】分三类:‎ ‎(1)在底面ABCD中,共有4个直角,因而有4个直角三角形;(2)四个侧面都是直角三角形;(3)过两条侧棱的截面中,△PAC为直角三角形.故共有9个直角三角形. ‎ ‎9.【答案】1‎ ‎【解析】因为PA⊥平面ABCD,又QD⊂平面ABCD,则PA⊥QD,又PQ⊥QD,PA∩PQ=P,则QD⊥平面PAQ,又AQ⊂平面PAQ,则QD⊥AQ,取AD中点O,则Q应在以O为圆心,以AD为半径的圆周上,又根据题意Q在BC上,则Q是圆O与BC的交点,因为圆心O到直线BC的距离为1,圆O的半径也是1,所以圆O与BC相切,所以满足题意的Q点有且仅有一个.‎ ‎10.【答案】 ∠ABC ‎ ‎【解析】如图,由∠SAB=∠SAC=90°得SA⊥底面ABC,故SA⊥BC,又由∠SBC=90°,即SB⊥BC,又SA∩SB=S,所以BC⊥平面SAB,故BC⊥AB,即∠ABC为直角.‎ ‎11.【答案】线段B‎1C ‎ ‎【解析】连结AB1,B‎1C,AC,则BD1⊥平面B‎1AC,当P在B‎1C上运动时,AP⊥BD1恒成立,故轨迹为线段B‎1C.‎ ‎12.【答案】5 ‎ ‎【解析】平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PAD⊥平面PCD.共有5对.‎ ‎13. ‎ ‎【答案】MD⊥PC或MB⊥PC ‎ ‎【解析】连接AC.∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴AC⊥BD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,‎ ‎∴BD⊥平面PAC,∴PC⊥BD.∴当点M满足MD⊥PC(或MB⊥PC)时,PC⊥平面MBD,从而有平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎14.【证明】因为侧面BCC1B1是菱形,所以B‎1C⊥BC1,又已知B‎1C⊥A1B,且A1B∩BC1=B,‎ 所以B‎1C⊥平面A1BC1,又B‎1C⊂平面AB‎1C,‎ 所以平面AB‎1C⊥平面A1BC1.‎ ‎15.【证明】∵平面ABCD⊥平面ABE,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB,∴CB⊥平面ABE,∵AE⊂平面ABE,∴AE⊥CB,‎ ‎∵AB为圆O的直径,∴AE⊥BE,‎ 又BE∩CB=B,∴AE⊥平面CBE.‎ ‎16.‎ ‎【证明】(1)如图,连结AC,交BD于O,连结OE.‎ ‎∵DB平分∠ADC,AD=CD,‎ ‎∴AC⊥BD且OC=OA.‎ 又∵E为PC的中点,‎ ‎∴OE∥PA,‎ 又∵OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,‎ ‎∴PA∥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)知AC⊥DB,∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PD,‎ ‎∵PD,BD⊂平面PDB,PD∩DB=D,‎ ‎∴AC⊥平面PDB,又AC⊂平面PAC,‎ ‎∴平面PAC⊥平面PDB.‎ ‎17. 【证明】‎ ‎(1)因为ABCDA1B‎1C1D1是正方体,所以AC⊥BD,AA1⊥平面ABCD.‎ 而BD⊂平面ABCD,于是BD⊥AA1,因为AC,AA1⊂平面A1ACC1,AC∩AA1=A,所以BD⊥平面A1ACC1,因为BD⊂平面BC1D,所以平面BC1D⊥平面A1ACC1.‎ ‎(2)设AC与BD交于点O,连C1O,‎ 因为C1O,CO⊂平面A1ACC1,而BD⊥平面A1ACC1,CO⊥BD,故C1O⊥BD,则∠C1OC是二面角C1BDC的平面角,设正方体的棱长为a,则CO=a,在Rt△C1OC中,tan∠C1OC===,故二面角C1BDC的正切值为.‎
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