2016中考数学作图题

2016中考数学作图题

‎2016中考尺规作图 一、选择题 ‎1. （2016,湖北宜昌，12，3分）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　）‎ A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形 C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形 ‎【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．‎ ‎【解答】解：A、正确．∵EG=EH，‎ ‎∴△EGH是等边三角形．‎ B、错误．∵EG=GF，‎ ‎∴△EFG是等腰三角形，‎ 若△EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能．‎ C、正确．∵EG=EH=HF=FG，‎ ‎∴四边形EHFG是菱形．‎ D、正确．∵EH=FH，‎ ‎∴△EFH是等边三角形．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎2. (2016年浙江省丽水市)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】作图—复杂作图．‎ ‎【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．‎ ‎【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；‎ B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；‎ C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；‎ D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．‎ 故选：D．‎ 二、填空题 ‎1. （2016吉林长春，11，3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为　10　．‎ ‎【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】根据题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，推出DC=DB，可以证明△ADC的周长=AC+AB，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，‎ ‎∵点D在直线MN上，‎ ‎∴DC=DB，‎ ‎∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，‎ ‎∵AB=6，AC=4，‎ ‎∴△ACD的周长为10．‎ 故答案为10．‎ ‎【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会转化，把△ADC的周长转化为求AC+AB来解决，属于基础题，中考常考题型．‎ ‎2. （2016·广东深圳）如图，在□ABCD中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_________.‎ 答案：.2‎ 考点：角平分线的作法，等角对等边，平行四边形的性质。‎ 解析：依题意，可知，BE为角平分线，所以，∠ABE＝∠CBE，‎ 又AD∥BC，所以，∠AEB＝∠CBE，所以，∠AEB＝∠ABE，AE＝AB＝3，‎ AD＝BC＝5，所以，DE＝5－3＝2。‎ 三、解答题 ‎1. （2016·湖北咸宁）（本题满分12分） 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P.‎ ‎（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上！‎ ‎①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；‎ ‎②设点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的范围. 当d1+d2=8时，求点P的坐标；‎ ‎③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围.‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【考点】二次函数，一次函数，尺规作图，平面直角坐标系，勾股定理，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题.‎ ‎【分析】（1）根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可，要标出字母；‎ ‎（2）①分x＞0和x≤0两种情况讨论：当x＞0时，如图2，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E，可得出PA=PB=y；再在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1，由勾股定理，可求出y与x之间的关系式；当x≤0时，点P（x，y）同样满足y=x2+，曲线L就是二次函数y=x2+的图像，也就是说 曲线L是一条抛物线.‎ ‎ ②首先用代数式表示出d1，d2：d1=x2+，d2=｜x｜，得出d1+d2=x2++｜x｜，可知当x=0时，d1+d2有最小值，因此d1+d2的范围是d1+d2≥；当d1+d2=8时，则x2++｜x｜=8. 将x从绝对值中开出来，故需分x≥0和x＜0两种情况讨论：当x≥0时，将原方程化为x2++x=8， 解出x1，x2即可；当x＜0时，将原方程化为x2+－x=8，解出x1，x2即可；最后将x=±3代入y=x2+，求得P的纵坐标，从而得出点P的坐标.‎ ‎ ③直接写出k的取值范围即可.‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示（画垂直平分线，垂线，标出字母各1分）.‎ ‎ ……………………………………………………………..3分 ‎ E ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（2）①当x＞0时，如图2，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E.‎ ‎ ∵l1垂直平分AB ‎∴PA=PB=y.‎ 在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1.‎ 由勾股定理，得 (y-1)2+x2=y2. ………………………………………5分 整理得，y=x2+.‎ 当x≤0时，点P（x，y）同样满足y=x2+. ……………………….6分 ‎∴曲线L就是二次函数y=x2+的图像.‎ 即曲线L是一条抛物线. …………………………………………………………7分 ‎ ②由题意可知，d1=x2+，d2=｜x｜.‎ ‎ ∴d1+d2=x2++｜x｜.‎ ‎ 当x=0时，d1+d2有最小值.‎ ‎ ∴d1+d2的范围是d1+d2≥. ………………………………………………8分 ‎ 当d1+d2=8时，则x2++｜x｜=8.‎ ‎ （Ⅰ）当x≥0时，原方程化为x2++x=8.‎ ‎ 解得 x1=3，x2= -5（舍去）.‎ ‎（Ⅱ）当x＜0时，原方程化为x2+－x=8.‎ ‎ 解得 x1= -3，x2= 5（舍去）.‎ ‎ 将x=±3代入y=x2+，得 y=5. …………………………………….9分 ‎ ∴点P的坐标为（3，5）或（-3，5）. …………………………….10分 ‎ ③k的取值范围是：－＜k＜. …………………………………………….12分 ‎ 解答过程如下（过程不需写）：‎ 把y=2代入y=x2+，得x1=－，x2=.‎ ‎ ∴直线y=2与抛物线y=x2+两个交点的坐标为（－，2）和（，2）.‎ ‎ 当直线y=kx+3过点（－，2）时，可求得 k=；‎ ‎ 当直线y=kx+3过点（，2）时，可求得 k=－.‎ ‎ 故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时，k的取值范围是：－＜k＜. ……………………………………………………………….12分 ‎【点评】本题是压轴题，综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题. 读懂题目、准确作图、熟谙二次函数及其图像是解题的关键. 近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。解决压轴题目的关键是找准切入点，如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等. 压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力。‎ ‎2. （2016·四川广安·8分）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．‎ ‎【考点】作图—相似变换．‎ ‎【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为，另一条直角边分别为3，4，2的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长．‎ ‎【解答】解：如图1，三角形的周长=2+；‎ 如图2，三角形的周长=4+2；‎ 如图3，三角形的周长=5+；‎ 如图4，三角形的周长=3+．‎ ‎　‎ ‎3. （2016·四川达州·7分）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．‎ ‎（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图．‎ ‎【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；‎ ‎（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE=∠AEB，‎ ‎∵AE平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAE=∠DAE，‎ ‎∴∠BAE=∠AEB，‎ ‎∴BE=AB，‎ 由（1）得：AF=AB，‎ ‎∴BE=AF，‎ 又∵BE∥AF，‎ ‎∴四边形ABEF是平行四边形，‎ ‎∵AF=AB，‎ ‎∴四边形ABEF是菱形．‎ ‎　‎ ‎4. （2016·四川凉山州·8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．‎ ‎（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；‎ ‎（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．‎ ‎【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；‎ ‎（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）所求作△A1B1C如图所示：‎ 由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，‎ 则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；‎ ‎（2）∵AC===，∠ACA1=90°‎ ‎∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：‎ S扇形CAA1+S△ABC ‎=+×3×2‎ ‎=+3．‎ ‎5. （2016湖北孝感，20，8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．‎ ‎（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：‎ ‎①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；‎ ‎②过点D作AC的垂线，垂足为点E．‎ ‎（2）在（1）作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=　　．‎ ‎【考点】作图—基本作图．‎ ‎【分析】（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；‎ ‎（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示；‎ ‎（2）解：∵DC是∠ACB的平分线，‎ ‎∴∠BCD=∠ACD，‎ ‎∵DE⊥AC，BC⊥AC，‎ ‎∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，‎ ‎∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．‎ ‎6.（2016·广东广州）如图，利用尺规，在的边上方做，在射线上截取，连接，并证明：‎ ‎（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎【难易】 容易 ‎【考点】 尺规作图，平行线，平行四边形 ‎【解析】 利用“等圆中，等弧所对的圆心角相等”可以完成等角的作图 再利用“内错角相等”可判定两直线平行，然后利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成平行四边形的判定，最后利用平行四边形的性质进行平行的证明 ‎【参考答案】］证明；如图AD,CD为所做 因为,‎ 所以 因为 所以四边形ABCD为平行四边形 所以 ‎7.（2016·广东梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆 心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连 接AP并延长交BC于点E，连接EF． ‎ （1） 四边形ABEF是_______；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）‎ ‎（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为________，∠ABC=________°．（直接填写结果）‎ 考点：角平分线的画法，菱形的判定及其性质，勾股定理。‎ 解析：（1）菱形 ‎ ‎ （2）依题意，可知AE为角平分线，因为ABEF的周长为40，所以，AF＝10，‎ 又FO＝5，AO＝＝，所以，AE＝，‎ ‎，所以，∠ABO＝120°，∠ABC＝120°。‎ ‎8. （2016年浙江省衢州市）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．‎ ‎（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．‎ ‎（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．‎ ‎【考点】矩形的性质；作图—基本作图．‎ ‎【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；‎ ‎（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；‎ ‎（2）四边形BEDF为菱形，理由为：‎ 证明：∵EF垂直平分BD，‎ ‎∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DEF=∠BFE，‎ ‎∴∠BEF=∠BFE，‎ ‎∴BE=BF，‎ ‎∵BF=DF，‎ ‎∴BE=ED=DF=BF，‎ ‎∴四边形BEDF为菱形．‎ ‎　‎ ‎9．（2016·四川巴中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．‎ ‎（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B‎1C1；‎ ‎（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B‎2C2；‎ ‎（3）求△A1B‎1C1与△A2B‎2C2重合部分的面积．‎ ‎【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．‎ ‎【分析】（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B‎1C1．‎ ‎（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B‎2C2．‎ ‎（3）B‎2C2与A1B1相交于点E，B‎2A2与A1B1相交于点F，如图，求出直线A1B1，B‎2C2，A2B2，列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B‎1C1为所作；‎ ‎（2）如图，△A2B‎2C2为所作；‎ ‎（3）B‎2C2与A1B1相交于点E，B‎2A2与A1B1相交于点F，如图，‎ ‎∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），‎ ‎∴直线A1B1为y=5x﹣5，‎ 直线B‎2C2为y=x+1，‎ 直线A2B2为y=﹣x+1，‎ 由解得，∴点E（，），‎ 由解得，∴点F（，）．‎ ‎∴S△BEF=×﹣•﹣•﹣•=．‎ ‎∴△A1B‎1C1与△A2B‎2C2重合部分的面积为．‎ ‎10．（2016.山东省青岛市,4分）已知：线段a及∠ACB．‎ 求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．‎ ‎【考点】作图—复杂作图．‎ ‎【分析】首先作出∠ACB的平分线CD，再截取CO=a得出圆心O，作OE⊥CA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可．‎ ‎【解答】解：①作∠ACB的平分线CD，‎ ‎②在CD上截取CO=a，‎ ‎③作OE⊥CA于E，以O我圆心，OE长为半径作圆；‎ 如图所示：⊙O即为所求．‎ ‎　‎ ‎11．（2016·江苏无锡）如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC ‎（1）线段BC的长等于　　；‎ ‎（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：‎ ‎①以点　A　为圆心，以线段　BC　的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于 ‎②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．‎ ‎【考点】作图—复杂作图．‎ ‎【分析】（1）由圆的半径为1，可得出AB=AC=1，结合勾股定理即可得出结论；‎ ‎（2）①结合勾股定理求出AD的长度，从而找出点D的位置，根据画图的步骤，完成图形即可；‎ ‎②根据线段的三等分点的画法，结合OA=2AC，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△BAC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，‎ ‎∴BC==．‎ 故答案为：．‎ ‎（2）①在Rt△OAD中，OA=2，OD=，∠OAD=90°，‎ ‎∴AD===BC．‎ ‎∴以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于．‎ 依此画出图形，如图1所示．‎ 故答案为：A；BC．‎ ‎②∵OD=，OP=，OC=OA+AC=3，OA=2，‎ ‎∴．‎ 故作法如下：‎ 连接CD，过点A作AP∥CD交OD于点P，P点即是所要找的点．‎ 依此画出图形，如图2所示．‎ ‎　‎ ‎12．(2016安徽，17，8分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．‎ ‎（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；‎ ‎（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．‎ ‎【考点】作图-平移变换．‎ ‎【分析】（1）画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．‎ ‎（2）将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．‎ ‎【解答】解：（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．‎ ‎（2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示．‎