- 2021-04-21 发布 |
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文档介绍
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数 )(xfy ，我们把方程 0)( xf 的实数根叫做函数 )(xfy 的零点。 （2）方程 0)( xf 有实根函数 ( )y f x 的图像与 x轴有交点函数 ( )y f x 有零点。因此判断一个 函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 0)( xf 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法： 解方程 0)( xf ，所得实数根就是 ( )f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 ( )f x 的变号零点。 ②若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 ( )f x 的不变号零点。 ③若函数 ( )f x 在区间 ,a b 上的图像是一条连续的曲线，则 0)()( bfaf 是 ( )f x 在区间 ,a b 内有零点的充分 不必要条件。 2、函数零点的判定 （1）零点存在性定理：如果函数 )(xfy 在区间 ],[ ba 上的图象是连续不断的曲线，并且有 ( ) ( ) 0f a f b ， 那么，函数 )(xfy 在区间 ,a b 内有零点，即存在 ),(0 bax ，使得 0)( 0 xf ，这个 0x 也就是方程 0)( xf 的 根。 （2）函数 )(xfy 零点个数（或方程 0)( xf 实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数 )(xfy 的零点 0)( xf 的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质 找出零点。 （3）零点个数确定 0 )(xfy 有 2个零点 0)( xf 有两个不等实根； 0 )(xfy 有 1个零点 0)( xf 有两个相等实根； 0 )(xfy 无零点 0)( xf 无实根；对于二次函数在区间 ,a b 上的零点个数，要结合图像进行确 定. 1、二分法 （1）二分法的定义:对于在区间[ , ]a b 上连续不断且 ( ) ( ) 0f a f b 的函数 ( )y f x ,通过不断地把函数 ( )y f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间[ , ]a b ,验证 ( ) ( ) 0f a f b ,给定精确度 ; ②求区间 ( , )a b 的中点 c ; ③计算 ( )f c ; (ⅰ)若 ( ) 0f c ,则 c就是函数的零点; (ⅱ) 若 ( ) ( ) 0f a f c ,则令b c (此时零点 0 ( , )x a c ); (ⅲ) 若 ( ) ( ) 0f c f b ,则令 a c (此时零点 0 ( , )x c b ); ④判断是否达到精确度 ,即 a b ,则得到零点近似值为 a (或b );否则重复②至④步. 【经典例题】 1．函数 3( )=2 + 2xf x x 在区间 (0,1)内的零点个数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 2．函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( ) A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 3．若函数 )(xf xa x a ( 0a 且 1a )有两个零点，则实数 a的取值范围是 . 4．设函数 f(x) ( )x R 满足 f( x )=f(x)，f(x)=f(2x)，且当 [0,1]x 时，f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos ( )x |，则 函数 h(x)=g(x)-f(x)在 1 3[ , ] 2 2 上的零点个数为 （ ） A、5 B、6 C、7 D、8 5．函数 2( ) cosf x x x 在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A、4 B、5 C、6 D、7 6．函数 ( ) cosf x x x 在[0, ) 内 （ ） A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7．对实数 a和 b，定义运算“⊗ ”：a⊗ b＝ a，a－b≤1， b，a－b>1. 设函数 f(x)＝(x2－2)⊗ (x－x2)，x∈R，若函数 y＝ f(x)－c的图象与 x轴恰有两个公共点，则实数 c的取值范围是 ( ) A、(－∞，－2]∪ －1，3 2 B、(－∞，－2]∪ －1，－ 3 4 C、 －1，1 4 ∪ 1 4 ，＋∞ D、 －1，－ 3 4 ∪ 1 4 ，＋∞ 8．已知函数 f x（ ）= log ( 0 a 1).a x x b a ＞ ，且 当 2＜ a＜ 3＜ b＜ 4 时，函数 f x（ ）的零点 * 0 ( , 1), , n=x n n n N 则 . 9．求下列函数的零点： （1） 3 2( ) 2 2f x x x x ； （2） 4( )f x x x . 10．判断函数 y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度 0.1)． 【课堂练习】 1、在下列区间中，函数 ( ) 4 3xf x e x 的零点所在的区间为 （ ） A、 1( ,0) 4 B、 1(0, ) 4 C、 1 1( , ) 4 2 D、 1 3( , ) 2 4 2、若 0x 是方程 lg 2x x 的解，则 0x 属于区间 （ ） A、 (0,1) B、 (1,1.25) C、 (1.25,1.75) D、 (1.75,2) 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 4、函数 f x =2 x +3x的零点所在的一个区间是 （ ） A．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2） 5、设函数 f x =4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数 f x 不存在零点的是 （ ） A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4] 6、函数 xf = x - cos x在[0， ﹚内 （ ） A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7、若函数 ( )f x 的零点与 ( ) 4 2 2xg x x 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则 ( )f x 可以是（ ） A、 ( ) 4 1f x x B、 2( ) ( 1)f x x C、 ( ) 1xf x e D、 1( ) ln( ) 2 f x x 8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( ) A、 3( ) 8f x x B、 ( ) ln 3f x x C、 2( ) 2 2 2f x x x D、 2( ) 4 1f x x x 9、函数 f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ） A、 4 1, 8 1 B、 2 1, 4 1 C、 1, 2 1 D、(1,2) 10、 01lg x x 有解的区域是 （ ） A、 (0, 1] B、 (1, 10] C、 (10, 100] D、 (100, ) 11、在下列区间中，函数 ( ) e 4 3xf x x 的零点所在的区间为 （ ） A、 1( ,0) 4 B、 1(0, ) 4 C、 1 1( , ) 4 2 D、 1 3( , ) 2 4 12、函数 2( ) logf x x x 的零点所在区间为（ ） A、 1[0, ] 8 B、 1 1[ , ] 8 4 C、 1 1[ , ] 4 2 D、 1[ ,1] 2 13 、 设 833 xxf x , 用 二 分 法 求 方 程 2,10833 xxx 在 内 近 似 解 的 过 程 中 得 ,025.1,05.1,01 fff 则方程的根落在区间（ ） A、 (1,1.25) B、 (1.25,1.5) C、 (1.5,2) D、不能确定 14、设函数 ( ) 4sin(2 1)f x x x ，则在下列区间中函数 ( )f x 不．存在零点的是（ ） A、 4, 2 B、 2,0 C、 0,2 D、 2,4 15、函数 2 2 3, 0 ( ) 2 ln , 0 x x x f x x x ， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0 16、若函数 3 2( ) 2 2f x x x x 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054 那么方程 3 2 2 2 0x x x 的一个近似根（精确到 0.1）为 （ ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 17、方程 22 3x x 的实数解的个数为 . 18、已知函数 2 2( ) ( 1) 2f x x a x a 的一个零点比 1大，一个零点比 1小，求实数 a的取值范围。 19、判断函数 2 32( ) 4 3 f x x x x 在区间[ 1,1] 上零点的个数，并说明理由。 20 、求函数 3 2( ) 2 3 6f x x x x 的一个正数零点(精确度 0.1)． 【课后作业】 1、下列函数图象与 x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( ) 2、设 2( ) 3xf x x ，则在下列区间中，使函数 )(xf 有零点的区间是 ( ) A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0] 3、已知 )(xf 唯一的零点在区间 (1,3)、 (1, 4)、 (1,5)内，那么下面命题错误的 （ ） A、函数 )(xf 在 (1, 2)或 2,3 内有零点 B、函数 )(xf 在 (3,5)内无零点 C、函数 )(xf 在 (2,5)内有零点 D、函数 )(xf 在 (2, 4)内不一定有零点 4、若函数 3( ) 3f x x x a 有 3个不同的零点,则实数 a的取值范围是 （ ） A、 2,2 B、 2,2 C、 , 1 D、 1, 5、函数 xxxf ln)( 的零点所在的区间为 （ ） A、（－1，0） B、（0，1） C、（1，2） D、（1，e） 6、求函数 132)( 3 xxxf 零点的个数为 （ ） A、1 B、 2 C、3 D、 4 7 、 如 果 二 次 函 数 2 3y x x m 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ） A、 11( , ) 4 B、 11( , ) 2 C、 11( , ) 4 D、 11( , ) 2 8、方程 0lg xx 根的个数为 （ ） A、无穷多Error! No bookmark name given. B、3 C、1 D、0 9、用二分法求方程 ( ) 0f x 在(1,2)内近似解的过程中得 (1) 0, (1.5) 0, (1.25) 0f f f f(1)<0，则方程的 根在区间 ( ) A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定 10、设函数 f(x)＝1 3 x－lnx(x＞0)，则 y＝f(x) ( ) A、在区间 1 e ，1 ，(1，e)内均有零点 B、在区间 1 e ，1 ，(1，e)内均无零点 C、在区间 1 e ，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点 D、在区间 1 e ，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点 11、设函数 21( ) ln 1( 0) 2 f x x x x ，则函数 ( )y f x ( ) A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点 C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点 12、用二分法研究函数 13)( 3 xxxf 的零点时，第一次经计算 0)5.0(0)0( ff ， ，可得其中一个零点 0x ， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( ) A、（0，0.5）， )25.0(f B、（0，1）， )25.0(f C、（0.5，1）， )75.0(f D、（0，0.5）， )125.0(f 13、函数 22)( 3 xxf x 在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 14 、（ 已 知 函 数 ( ) log ( 0, 1).af x x x b a a 且 当 2 3 4a 是 ， 函 数 ( )f x 的 零 点 * 0 ( , 1), ,x n n n N 则 n= . 15、用二分法求函数 ( )y f x 在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4) 的中点 x1＝ 2＋4 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此时零点 x0∈________． 16、已知函数 f(x)＝{2x－1，x>0， －x2－2x，x≤0， 若函数 g(x)＝ f(x)－m有 3 个零点，则实数 m的 取值范围是________． 17、函数 65)( 2 xxxf 的零点组成的集合是 . 18、用“二分法”求方程 0523 xx 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为 5.20 x ，那么下一个有根的 区间是 19、函数 ( ) ln 2f x x x 的零点个数为 . 20、证明方程 6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度 0.1)． 函数与方程 【考纲说明】 2、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 3、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数 )(xfy ，我们把方程 0)( xf 的实数根叫做函数 )(xfy 的零点。 （2）方程 0)( xf 有实根函数 ( )y f x 的图像与 x轴有交点函数 ( )y f x 有零点。因此判断一个 函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 0)( xf 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法： 解方程 0)( xf ，所得实数根就是 ( )f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 ( )f x 的变号零点。 ②若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 ( )f x 的不变号零点。 ③若函数 ( )f x 在区间 ,a b 上的图像是一条连续的曲线，则 0)()( bfaf 是 ( )f x 在区间 ,a b 内有零点的充分 不必要条件。 2、函数零点的判定 （1）零点存在性定理：如果函数 )(xfy 在区间 ],[ ba 上的图象是连续不断的曲线，并且有 ( ) ( ) 0f a f b ， 那么，函数 )(xfy 在区间 ,a b 内有零点，即存在 ),(0 bax ，使得 0)( 0 xf ，这个 0x 也就是方程 0)( xf 的 根。 （2）函数 )(xfy 零点个数（或方程 0)( xf 实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数 )(xfy 的零点 0)( xf 的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质 找出零点。 （3）零点个数确定 0 )(xfy 有 2个零点 0)( xf 有两个不等实根； 0 )(xfy 有 1个零点 0)( xf 有两个相等实根； 0 )(xfy 无零点 0)( xf 无实根；对于二次函数在区间 ,a b 上的零点个数，要结合图像进行确 定. 4、二分法 （1）二分法的定义:对于在区间[ , ]a b 上连续不断且 ( ) ( ) 0f a f b 的函数 ( )y f x ,通过不断地把函数 ( )y f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间[ , ]a b ,验证 ( ) ( ) 0f a f b ,给定精确度 ; ②求区间 ( , )a b 的中点 c ; ③计算 ( )f c ; (ⅰ)若 ( ) 0f c ,则 c就是函数的零点; (ⅱ) 若 ( ) ( ) 0f a f c ,则令b c (此时零点 0 ( , )x a c ); (ⅲ) 若 ( ) ( ) 0f c f b ,则令 a c (此时零点 0 ( , )x c b ); ④判断是否达到精确度 ,即 a b ,则得到零点近似值为 a (或b );否则重复②至④步. 【经典例题】 【例 1】 函数 3( )=2 + 2xf x x 在区间 (0,1)内的零点个数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B 【解析】解法 1：因为 (0)=1+0 2= 1f ， 3(1)=2+2 2=8f ，即 (0) (1)<0f f 且函数 ( )f x 在 (0,1)内连 续不断，故 ( )f x 在 (0,1)内的零点个数是 1. 解法 2：设 1=2 xy ， 3 2=2y x ，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知 B正确. 【例 2】 函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( ) A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 【答案】B 【解析】∵ f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－ 5 2 <0， f(0)＝20＋0＝1>0， ∴ f(－1) f(0)<0. ∴ f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)． 【例 3】若函数 )(xf xa x a ( 0a 且 1a )有两个零点，则实数 a的取值范围是 . 【答案】 ），（ 1 【解析】函数 )(xf = xa x a ( 0a 且 1a )有两个零点，方程 0 axa x 有两个不相等的实数 根，即两个函数 xay 与 axy 的图像有两个不同的交点，当 10 a 时，两个函数的图像有且仅有 一个交点，不合题意；当 1a 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意. 【例 4】设函数 f(x) ( )x R 满足 f( x )=f(x)，f(x)=f(2x)，且当 [0,1]x 时，f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos ( )x |， 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 1 3[ , ] 2 2 上的零点个数为 （ ） A、5 B、6 C、7 D、8 【答案】B 【解析】因为当 [0,1]x 时，f(x)=x3. 所以当 [1,2]x 时， (2 ) [0,1]x ， 3( ) (2 ) (2 )f x f x x ， 当 1[0, ] 2 x 时， ( ) cos( )g x x x ；当 1 3[ , ] 2 2 x 时， ( ) cos( )g x x x ，注意到函数 f(x)、 g(x)都是 偶函数，且 f(0)= g(0)， f(1)= g(1)， 1 3( ) ( ) 0 2 2 g g ，作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象，函数 h(x)除了 0、 1这两个零点之外，分别在区间 1 1 1 3[ ,0] [ ] [ ] [1 ] 2 2 2 2 、0, 、 ,1、, 上各有一个零点，共有 6个零点，故选 B 【例 5】函数 2( ) cosf x x x 在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A、4 B、5 C、6 D、7 【答案】C 【解析】：f(x)=0，则 x=0或 cosx2=0，x2=kπ+ π 2 ,k∈Z，又 x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有 6个解．选 C． 【例 6】函数 ( ) cosf x x x 在[0, ) 内 （ ） A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 【答案】B 【解析】解法一：数形结合法，令 ( ) cosf x x x 0 ，则 cosx x ，设函数 y x 和 cosy x ， 它们在[0, ) 的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数 ( ) cosf x x x 在 [0, ) 内有且仅有一个零点； 解法二：在 [ , ) 2 x 上， 1x ， cos 1x ，所以 ( ) cosf x x x 0 ； 在 (0, ] 2 x ， 1( ) sin 0 2 f x x x ，所以函数 ( ) cosf x x x 是增函数，又因为 (0) 1f ， ( ) 0 2 2 f ，所以 ( ) cosf x x x 在 [0, ] 2 x 上有且只有一个零点． 【例 7】对实数 a和 b，定义运算“⊗ ”：a⊗ b＝ a，a－b≤1， b，a－b>1. 设函数 f(x)＝(x2－2)⊗ (x－x2)，x∈R，若函 数 y＝f(x)－c的图象与 x轴恰有两个公共点，则实数 c的取值范围是 ( ) A、(－∞，－2]∪ －1，3 2 B、(－∞，－2]∪ －1，－ 3 4 C、 －1，1 4 ∪ 1 4 ，＋∞ D、 －1，－ 3 4 ∪ 1 4 ，＋∞ 【答案】B 【解析】f(x)＝ x2－2，x2－2－(x－x2)≤1， x－x2，x2－2－(x－x2)>1 ＝ x2－2，－1≤x≤3 2 ， x－x2，x<－1，或 x>3 2 ， 则 f (x)的图象如图 ∵ y＝f(x)－c的图象与 x轴恰有两个公共点， ∴ y＝f(x)与 y＝c的图象恰有两个公共点， 由图象知 c≤－2，或－1查看更多