2018届高三数学一轮复习: 第8章 第3节 课时分层训练47

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2018届高三数学一轮复习: 第8章 第3节 课时分层训练47

课时分层训练(四十七) 圆的方程 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2017·福建漳州模拟)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(  )‎ A.(x-2)2+(y-1)2=1   B.(x+1)2+(y-2)2=1‎ C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1‎ A [(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),∴圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.]‎ ‎2.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(  )‎ A.2   B. C.1   D. D [圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=2,则圆心坐标为(1,-2).‎ 故圆心到直线x-y-1=0的距离d==.]‎ ‎3.(2017·山西运城二模)已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为(  )‎ A.3x+y-5=0 B.x-2y=0‎ C.x-2y+4=0 D.2x+y-3=0‎ D [易知圆心坐标为(2,-1).‎ 由于直线x-2y+3=0的斜率为,‎ ‎∴该直径所在直线的斜率k=-2.‎ 故所求直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.]‎ ‎4.经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是(  )‎ A.(x-1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y-1)2=2‎ C.(x-1)2+(y+1)2=4 D.(x+1)2+(y-1)2=4‎ A [设所求圆的圆心为(a,b).‎ 依题意(a-2)2+b2=a2+b2,①‎ =1,②‎ 解①②得a=1,b=-1,‎ 则半径r==,‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.]‎ ‎5.(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(  )‎ A.6    B.4‎ C.3    D.2‎ B [如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.]‎ 二、填空题 ‎6.(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+‎5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.‎ ‎(-2,-4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得2+(y+1)2=-<0,不表示圆;‎ 当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标为(-2,-4),半径是5.]‎ ‎7.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.‎ ‎ 【导学号:01772294】‎ x+y-1=0 [圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),‎ 则kCM==1.‎ ‎∵过点M的最短弦与CM垂直,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.]‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-‎2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________. ‎ ‎【导学号:01772295】‎ ‎(x-1)2+y2=2 [因为直线mx-y-‎2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-‎2m-1=0的最大距离为d==,所以半径最大时的半径r=,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.]‎ 三、解答题 ‎9.已知直线l:y=x+m,m∈R,若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程.‎ ‎ 【导学号:01772296】‎ ‎[解] 法一:依题意,点P的坐标为(0,m),2分 因为MP⊥l,所以×1=-1,5分 解得m=2,即点P的坐标为(0,2),8分 圆的半径r=|MP|==2,‎ 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.12分 法二:设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2,2分 依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点P(0,m),‎ 则6分 解得10分 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.12分 ‎10.(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.‎ ‎[解] (1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,2分 所以圆C1的圆心坐标为(3,0).5分 ‎(2)设M(x,y),依题意·=0,‎ 所以(x-3,y)·(x,y)=0,则x2-3x+y2=0,‎ 所以2+y2=.7分 又原点O(0,0)在圆C1外,‎ 因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧.‎ 由消去y2得x=,‎ 因此<x≤3.10分 所以线段AB的中点M的轨迹方程为2+y2=.12分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.(2017·佛山模拟)设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为(  )‎ A.6 B.25‎ C.26 D.36‎ D [(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d==5.‎ 则点P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为6,从而(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.]‎ ‎2.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为________.‎ ‎(x-2)2+(y-1)2=5 [由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.‎ ‎∵△OPQ为直角三角形,‎ ‎∴圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r==,‎ 因此圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.]‎ ‎3.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.‎ ‎ 【导学号:01772297】‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.‎ ‎[解] (1)设圆心C(a,b),‎ 由已知得M(-2,-2),‎ 则解得2分 则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,‎ 故圆C的方程为x2+y2=2.5分 ‎(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,‎ ·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)‎ ‎=x2+y2+x+y-4=x+y-2. 8分 令x=cos θ,y=sin θ,‎ 所以·=x+y-2‎ ‎=(sin θ+cos θ)-2‎ ‎=2sin-2,‎ 所以·的最小值为-4. 12分
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