数学理卷·2018届福建省福州市高三上学期期末质检（2018

数学理卷·2018届福建省福州市高三上学期期末质检（2018

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若复数的模为，则实数（ ）‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎3.下列函数为偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知函数则函数的零点个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数 除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A．23 B．38 C．44 D．58‎ ‎8.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ A．14 B． C． D． ‎ ‎9.已知圆，抛物线上两点与，若存在与直线平行的一条直线和与都相切，则的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.不等式组的解集记为.有下列四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，线段交于点，且，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.设数列的前项和为，，且.若，则的最大值为（ ）‎ A．51 B．52 C．53 D．54‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知单位向量满足，则的夹角为 ．‎ ‎14.设为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．‎ ‎15.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为 ．‎ ‎16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料，为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列中，.设.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项的和.‎ ‎18.已知菱形的边长为2，.是边上一点，线段交于点.‎ ‎（1）若的面积为，求的长；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知为椭圆的右焦点，为上的任意一点. ‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明:两点的横坐标之和为常数.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若且，求证：. ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，‎ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.‎ ‎（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；‎ ‎（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）已知关于的不等式的解集为，若，求 实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 112 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）证明：因为，，‎ 所以，‎ 又因为， ‎ 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列. ‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎18.解：解法一：（1）依题意，得， ‎ 因为的面积，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得，‎ 根据余弦定理，得 ‎.‎ ‎（2）依题意，得，设，则，‎ 在中，由正弦定理得，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以 所以.‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）依题意，得，设，则，‎ 在中，设，因为，则，‎ 由余弦定理，得， ‎ 得， ‎ 解得，或. ‎ 又因为，所以，所以，‎ 所以，‎ 在中，由正弦定理，得，‎ 得.‎ ‎19.解：（1）证明：因为，‎ 所以.‎ 因为，所以， ‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以平面.‎ 因为平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）由（1）知，平面，故以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 所以，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 所以，‎ 取，则，‎ 又因为平面的一个法向量为，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：解法一：（1）依题意得，所，‎ 所以的右焦点坐标为，‎ 设上的任意一点的坐标为，‎ 则，‎ 所以 ‎，‎ 又因为，所以，‎ 所以，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎（2）设三点坐标分别为，‎ 设直线斜率分别为，则直线方程为，‎ 由方程组消去，得 ‎，‎ 由根与系数关系可得，‎ 故，‎ 同理可得，‎ 又，‎ 故，‎ 则，‎ 从而.‎ 即两点的横坐标之和为常数.‎ 解法二：（1）依题意得，所，‎ 所以的右焦点坐标为，‎ 设上的任意一点的坐标为，‎ 设上的任意一点的坐标为，‎ 则，‎ 又因为，所以，‎ 所以，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎（2）设两点坐标分别为，线段的中点分别为，点的坐标为，直线的斜率分别为，‎ 由方程组得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以的中点在上，‎ 同理可证：的中点在上，‎ 所以点为线段的中点.‎ 根据椭圆的对称性，‎ 所以两点的横坐标之和为常数.‎ ‎21.解：解法一：（1）函数的定义域为，‎ ‎，‎ ‎①若时，则，在上单调递减；‎ ‎②若时，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 故在上，单调递减；在上，单调递増； ‎ ‎③若时，当时，；‎ 当时，；当时，.‎ 故在上，单调递减；在上，单调递増. ‎ ‎（2）若且，‎ 欲证，‎ 只需证，‎ 即证.‎ 设函数，则.‎ 当时， .故函数在上单调递增.‎ 所以. ‎ 设函数，则.‎ 设函数，则.‎ 当时，，‎ 故存在，使得，‎ 从而函数在上单调递增；在上单调递减. ‎ 当时，，当时，‎ 故存在，使得，‎ 即当时，，当时， ‎ 从而函数在上单调递增；在上单调递减. ‎ 因为，‎ 故当时，‎ 所以，‎ 即.‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）若且，‎ 欲证，‎ 只需证，‎ 即证.‎ 设函数，则.‎ 当时， .故函数在上单调递增.‎ 所以. ‎ 设函数，‎ 因为，所以，所以， ‎ 又，所以，‎ 所以，‎ 即原不等式成立. ‎ 解法三：（1）同解法一.‎ ‎（2）若且，‎ 欲证，‎ 只需证，‎ 由于，则只需证明，‎ 只需证明，令，‎ 则，‎ 则函数在上单调递减，则，‎ 所以成立，‎ 即原不等式成立. ‎ ‎22.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，‎ 所以直线的直角坐标方程为；‎ 因为（参数，）‎ 所以曲线的普通方程为，‎ 由消去得，，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故的取值范围为. ‎ ‎（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，‎ 故曲线上的点到的距离，‎ 故的最大值为 由题设得，‎ 解得.‎ 又因为，所以.‎ ‎23.解：（1）因为，所以，‎ ‎，‎ 或或 解得或或， ‎ 所以，‎ 故不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以当时，恒成立， ‎ 而，‎ 因为，所以，即，‎ 由题意，知对于恒成立，‎ 所以，故实数的取值范围.‎