【数学】2018届一轮复习北师大版（理）离散型随机变量的均值与方差、正态分布教案
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为 P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…r)．
(1)均值
EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值 EX 刻画的是 X 取值的“中心位置”．
(2)方差
DX＝E(X－EX)2 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度．
2．二项分布的均值、方差
若 X～B(n，p)，则 EX＝np，DX＝np(1－p)．
3．正态分布
(1)X～N(μ，σ2)，表示 X 服从参数为 μ 和 σ2 的正态分布．
(2)正态分布密度函数的性质：
①函数图像关于直线 x＝μ 对称；
②σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；
③P(μ－σ
110)＝1－2P(90 ≤ ξ ≤ 100)
2 ＝0.2，∴该班学生数学成绩在 110 分以
上的人数为 0.2×50＝10.
题型一 离散型随机变量的均值、方差
命题点 1 求离散型随机变量的均值、方差
例 1 (2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成
语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”
得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是3
4，乙每轮猜对的
概率是2
3，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两
轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和均值 EX.
解 (1)记事件 A：“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”，
记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”，
记事件 E：“‘星队’至少猜对 3 个成语”．
由题意，得 E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD，
由事件的独立性与互斥性，
P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)
＝ P(A)P(B)P(C)P(D) ＋ P(A)P(B)P(C)P(D) ＋ P(A)P(B)P(C)P(D) ＋ P(A)P(B)P(C)P(D) ＋
P(A)P(B)P(C)P(D)
＝3
4×2
3×3
4×2
3＋2×Error!
Error!＝2
3.
所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为2
3.
(2)由题意，得随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝1
4×1
3×1
4×1
3＝ 1
144，
P(X＝1)＝2×(3
4 × 1
3 × 1
4 × 1
3＋1
4 × 2
3 × 1
4 × 1
3)＝ 10
144＝ 5
72，
P(X＝2)＝3
4×1
3×3
4×1
3＋3
4×1
3×1
4×2
3＋1
4×2
3×3
4×1
3＋1
4×2
3×1
4×2
3＝ 25
144，
P(X＝3)＝3
4×2
3×1
4×1
3＋1
4×1
3×3
4×2
3＝ 12
144＝ 1
12，
P(X＝4)＝2×(3
4 × 2
3 × 3
4 × 1
3＋3
4 × 2
3 × 1
4 × 2
3)＝ 60
144＝ 5
12，
P(X＝6)＝3
4×2
3×3
4×2
3＝ 36
144＝1
4.
可得随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
P 1
144
5
72
25
144
1
12
5
12
1
4
所以均值 EX＝0× 1
144＋1× 5
72＋2× 25
144＋3× 1
12＋4× 5
12＋6×1
4＝23
6 .
命题点 2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值
例 2 设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一
个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分．
(1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随
机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和，求 ξ 的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 η 为取出此球所得分数．若 Eη＝
5
3，Dη＝5
9，求 a∶b∶c.
解 (1)由题意得 ξ＝2,3,4,5,6，
故 P(ξ＝2)＝3 × 3
6 × 6＝1
4，P(ξ＝3)＝2 × 3 × 2
6 × 6 ＝1
3，
P(ξ＝4)＝2 × 3 × 1＋2 × 2
6 × 6 ＝ 5
18，P(ξ＝5)＝2 × 2 × 1
6 × 6 ＝1
9，
P(ξ＝6)＝1 × 1
6 × 6＝ 1
36.
所以 ξ 的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P 1
4
1
3
5
18
1
9
1
36
(2)由题意知 η 的分布列为
η 1 2 3
P a
a＋b＋c
b
a＋b＋c
c
a＋b＋c
所以 Eη＝ a
a＋b＋c＋ 2b
a＋b＋c＋ 3c
a＋b＋c＝5
3，
Dη＝(1－5
3 )2· a
a＋b＋c＋(2－5
3 )2· b
a＋b＋c＋(3－5
3 )2· c
a＋b＋c＝5
9，
化简得Error!
解得 a＝3c，b＝2c，故 a∶b∶c＝3∶2∶1.
思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用
均值、方差公式直接求解．
(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，
解方程(组)即可求出参数值．
(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判
断．
(2015·四川)某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、
2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后
队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队．
(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X
的分布列和均值．
解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有 6 名，参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没
有学生入选代表队)的概率为C33C34
C36C36＝ 1
100.
因此，A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为
1－ 1
100＝ 99
100.
(2)根据题意，X 的可能取值为 1,2,3，
P(X＝1)＝C13C33
C46 ＝1
5，
P(X＝2)＝C23C23
C46 ＝3
5，
P(X＝3)＝C33C13
C46 ＝1
5，
所以 X 的分布列为
X 1 2 3
P 1
5
3
5
1
5
因此，X 的均值为 EX＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×1
5＋2×3
5＋3×1
5＝2.
题型二 均值与方差在决策中的应用
例 3 (2016·全国乙卷)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一
易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，
如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为
此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X
表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件
数．
(1)求 X 的分布列；
(2)若要求 P(X≤n)≥0.5，确定 n 的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在 n＝19 与 n＝20 之中选其一，应选用哪个？
解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11
的概率分别为 0.2，0.4,0.2,0.2，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以 X 的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知 P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，
故 n 的最小值为 19.
(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当 n ＝19 时，EY ＝19×200×0.68 ＋(19×200 ＋500)×0.2 ＋(19×200 ＋2×500)×0.08 ＋
(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；
当 n＝20 时，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当 n＝19 时所需费用的均值小于 n＝20 时所需费用的均值，故应选 n＝19.
思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均
值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依
据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
某投资公司在 2016 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个
项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损
15%，且这两种情况发生的概率分别为7
9和2
9；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，
也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3
5，1
3和 1
15.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解 若按“项目一”投资，设获利为 X1 万元，则 X1 的分布列为
X1 300 －150
P 7
9
2
9
∴EX1＝300×7
9＋(－150)×2
9＝200.
若按“项目二”投资，设获利 X2 万元，则 X2 的分布列为
X2 500 －300 0
P 3
5
1
3
1
15
∴EX2＝500×3
5＋(－300)×1
3＋0× 1
15＝200.
DX1＝(300－200)2×7
9＋(－150－200)2×2
9
＝35 000，
DX2＝(500－200)2×3
5＋(－300－200)2×1
3＋(0－200)2× 1
15＝140 000.
所以 EX1＝EX2，DX10.5＝
P(Y≥μ2)，故 A 项错误；
对于 B 项，因为 X 的正态分布密度曲线比 Y 的正态分布密度曲线更“瘦高”，所以 σ1<σ2.所
以 P(X≤σ1)P(η≥2)．
从回答对题数的均值考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少正
确回答 2 题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的通过能力较强．[12 分]
求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：
第一步：确定随机变量的所有可能值；
第二步：求每一个可能值所对应的概率；
第三步：列出离散型随机变量的分布列；
第四步：求均值和方差；
第五步：根据均值、方差、进行判断，并得出结论(适用
于均值、方差的应用问题)；
第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
1．(2016·郑州一模)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给
A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学
甲猜对成语的概率是 0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，
则这两个同学各猜 1 次，得分之和 X(单位：分)的均值为( )
A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
答案 A
解析 由题意得 X＝0,1,2，则
P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，
P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，
P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，
∴EX＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.
2．(2017·芜湖质检)若 X～B(n，p)，且 EX＝6，DX＝3，则 P(X＝1)的值为( )
A．3×2－2 B．2－4
C．3×2－10 D．2－8
答案 C
解析 由题意知Error!
解得Error!
∴P(X＝1)＝C 112×1
2×(1－1
2)11＝12
212＝3×2－10.
3．设随机变量 X～N(μ，σ2)，且 X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相
等，若 P(X>2)＝p，则 P(02)＝p，∴P(－2E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
方法二 (1)由已知得，小明中奖的概率为2
3，小红中奖的概率为2
5，且两人中奖与否互不影
响．
记“这 2 人的累计得分 X≤3”为事件 A，
则事件 A 包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为 P(X＝0)＝(1－2
3)×(1－2
5)＝1
5，
P(X＝2)＝2
3×(1－2
5)＝2
5，
P(X＝3)＝(1－2
3)×2
5＝ 2
15，
所以 P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝11
15，
即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为11
15.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为 X2，
则 X1，X2 的分布列如下：
X1 0 2 4
P 1
9
4
9
4
9
X2 0 3 6
P 9
25
12
25
4
25
所以 EX1＝0×1
9＋2×4
9＋4×4
9＝8
3，
EX2＝0× 9
25＋3×12
25＋6× 4
25＝12
5 .
因为 EX1>EX2，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
9.为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从
一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所
获的奖励额．
(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求：
①顾客所获的奖励额为 60 元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及均值；
(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的
两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符
合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的
设计，并说明理由．
解 (1)设顾客所获的奖励额为 X.
①依题意，得 P(X＝60)＝C11C13
C24 ＝1
2，
即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为1
2.
②依题意，得 X 的所有可能取值为 20,60.
P(X＝60)＝1
2，P(X＝20)＝C23
C24＝1
2，
故 X 的分布列为
X 20 60
P 1
2
1
2
所以顾客所获的奖励额的均值为
EX＝20×1
2＋60×1
2＝40.
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元，
所以，先寻找均值为 60 元的可能方案．
对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，
因为 60 元是面值之和的最大值，
所以均值不可能为 60 元；
如果选择(50,50,50,10)的方案，
因为 60 元是面值之和的最小值，
所以均值也不可能为 60 元．
因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1.
对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，
同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，
所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案 2.
以下是对两个方案的分析．
对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，
设顾客所获的奖励额为 X1，
则 X1 的分布列为
X1 20 60 100
P 1
6
2
3
1
6
X1 的均值为 EX1＝20×1
6＋60×2
3＋100×1
6＝60，
X1 的方差为 DX1＝(20－60)2×1
6＋(60－60)2×2
3＋(100－60)2×1
6＝1 600
3 .
对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，
设顾客所获的奖励额为 X2，
则 X2 的分布列为
X2 40 60 80
P 1
6
2
3
1
6
X2 的均值为 EX2＝40×1
6＋60×2
3＋80×1
6＝60，
X2 的方差为 DX2＝(40－60)2×1
6＋(60－60)2×2
3＋(80－60)2×1
6＝400
3 .
由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该
选择方案 2.
