数学文卷·2017届福建省福州市第八中学高三第六次质量检查（2017

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福州八中2016—2017学年高三毕业班第六次质量检查 数学(文)试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 参考公式：‎ 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　 V=Sh ‎ 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 ‎ 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ ‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 2.复数 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 3.已知，则且是的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ 4.已知向量，若，则实数的值为 ‎ ‎ A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2‎ ‎ 5.等比数列中，，则数列的前9项和等于 ‎ A．6 B．9 C．12 D．16‎ ‎ 6.已知命题：.命题：,.则下列命题中为真命题的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知变量满足约束条件，则的最大值为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎ 8.执行如右图所示的程序框图，则输出= 　　　　　　　　　　　　‎ ‎ A．26‎ ‎　 B．57‎ ‎ C．120　 ‎ ‎ D．247‎ ‎ 9.已知函数（为2.71828……），则的大致图象是 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎ 10．一圆锥底面半径为2，母线长为6，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的半径为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 11．已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为9：4，且，则点到原点的距离为 ‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎ 12.已知定义在上的偶函数满足，且当时，‎ ‎，若方程恰有两个根，则的取值范围是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题--第23为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 已知，则 .‎ ‎ 14.一个几何体的三视图如下图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为 ‎ ‎ 15.圆心在轴的正半轴上，半径为双曲线的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是 .‎ ‎ 16. 在中，角所对的边分别为，且，当取最大值时，角的值为_________‎ ‎ 二、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎ 17．（本小题满分12分）‎ ‎ 在等比数列中，公比，等差数列满足，，．‎ ‎ （I）求数列与的通项公式； ‎ ‎ （II）记，求数列的前项和．‎ ‎ 18. （本小题满分12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售 收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.‎ 由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，‎ 但可以确定横轴是从开始计数的.‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎ （Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎ （Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益y（单位：万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎ 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.‎ 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.‎ ‎ 19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，是等边三角形，,是中点.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面；‎ A B C D ‎(第19题图)‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥体积最大时，求点到平面的距离.‎ ‎ 20. (本小题满分12分)定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离.在平面直角坐标系中，已知圆：及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线.‎ ‎ （Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过原点的直线（不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求 ‎ 21．已知函数.‎ ‎ （1）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；‎ ‎ （2）若对任意，且恒成立，求的取值范围.‎ ‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎ 22. (本小题满分10分)4-4 ：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎ （Ⅰ）若极坐标为的点在曲线上，求曲线与曲线的交点坐标；‎ ‎ （Ⅱ）若点的坐标为，且曲线与曲线交于两点，求 ‎ 23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎ （1）解不等式；‎ ‎ （2）若，，且，求证：．‎ 福州八中2016—2017学年高三毕业班第六次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准 第Ⅰ卷 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分 ‎ DBAAB DBACB BC ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 14. 8 15. 16. _________‎ 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分） ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ (Ⅰ) 设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知 ‎，故；………………4分 ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知各小组依次是，‎ 其中点分别为，对应的频率分别为，‎ 故可估计平均值为；8分 ‎(Ⅲ) 空白栏中填5.‎ 高三数学（文）第六次质检考试答案 第1页 共4页 高三数学（文）第六次质检考试答案 第2页 共4页 由题意可知，，，‎ ‎，，‎ 根据公式，可求得，，‎ 即回归直线的方程为. ……………………………………………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎.（Ⅰ）连结，交于，连.在三棱柱中，四边形为平行四边形，则,又是中点，∴，而平面，平面，∴平面. ……………4分 ‎（Ⅱ）设点到平面的距离是，则，而，故当三棱锥体积最大时，，即平面. ……………6分 由（Ⅰ）知：，所以到平面的距离与到平面的距离相等.‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ ‎∵是等边三角形，是中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∴，由计算得：，所以， ……………9分 设到平面的距离为，由得：，所以到平面的距离是 ……………12分 ‎20. (本小题满分12分)‎ ‎（Ⅰ）由分析知：点在圆内且不为圆心，故,‎ 所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆， ……………2分 设椭圆方程为，则，‎ 所以，故曲线的方程为 ……………5分 ‎（Ⅱ）设,则,则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设直线的方程为，由题意知，由得：.‎ ‎∴，∴，由题意知，，‎ 所以， ……………9分 所以直线的方程为，令，得，即.‎ 可得. ………11分 所以，即 ……………12分 ‎21．(本小题满分12分)‎ 解：（1）函数的定义域是.当时，‎ ‎， 2分 令，得，‎ 所以或. 3分 ‎ 当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是； 4分 当时，在上的最小值是，不合题意； 5分 当时，在上单调递减， 在上的最小值是，‎ 不合题意， 6分 ‎ 综上：.‎ ‎（2）设，即，‎ 只要在上单调递增即可，而， 8分 当时，，此时在上单调递增； 9分 当时，只需在上恒成立，因为，只要，‎ 则需要，对于函数，过定点，对称轴，只需 11分 即，综上，. 12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22. (本小题满分10分) ‎ ‎.（Ⅰ）点对应的直角坐标为， ……………1分 由曲线的参数方程知：曲线是过点的直线，故曲线的方程为，‎ ‎……………2分 而曲线的直角坐标方程为，联立得，解得：，故交点坐标分别为 ……………5分 ‎（Ⅱ）由判断知：在直线上，将代入方程得：‎ ‎，设点对应的参数分别为，则,而，所以 ……………10分 ‎23．（本小题满分10分） ‎ 解：（1），‎ 当时，由，解得；‎ 当时，不成立；‎ 当时，由，解得．‎ 所以不等式的解集为．…………5分