2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§3-8 函数模型及函数的综合应用（试题部分）
§3.8 函数模型及函数的综合应用
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点 函数模型及函数的综合应用
1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.p+q2 B.(p+1)(q+1)-12
C.pq D.(p+1)(q+1)-1
答案 D
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=x2.令g(x)=f(x)-kx-k,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=0有4个不相等实根,则实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.0,12 C.0,14 D.14,13
答案 C
3.函数y=|log3x|的图象与直线l1:y=m从左至右分别交于点A,B,与直线l2:y=82m+1(m>0)从左至右分别交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,则ba的最小值为( )
A.813 B.273 C.93 D.33
答案 B
4.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.
当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈(14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式;
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.
解析 (1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将点(14,81)代入得c=-14,
所以当t∈(0,14]时,p=f(t)=-14(t-12)2+82.
当t∈[14,40]时,将点(14,81)代入y=loga(t-5)+83,
得a=13,所以p=f(t)=-14(t-12)2+82,t∈(0,14],log13(t-5)+83,t∈(14,40].
(2)当t∈(0,14]时,-14(t-12)2+82≥80,
解得12-22≤t≤12+22,所以t∈[12-22,14].
当t∈(14,40]时,log13(t-5)+83≥80,解得5
0(a是常数且a>0),给出下列命题:
①函数f(x)的最小值是-1;
②函数f(x)在R上是单调函数;
③若f(x)>0在12,+∞上恒成立,则a的取值范围是a>1;
④对任意的x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有fx1+x220,g(t)是增函数,
从而,当t=102时,函数g(t)有极小值,也是最小值,
所以g(t)min=300,则f(t)min=153.
答:当t=102时,公路l的长度最短,最短长度为153千米.
3.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=p,p≤q,q,p>q.
(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;
(2)(i)求F(x)的最小值m(a);
(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).
解析 (1)由于a≥3,故
当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,
当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).
所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].
(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则
f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,
所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即
m(a)=0,3≤a≤2+2,-a2+4a-2,a>2+2.
(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),
当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.
所以,M(a)=34-8a,3≤a<4,2,a≥4.
4.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=12.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
解析 (1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x.
①方程f(x)=2即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,
所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.
②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.
因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
所以m≤(f(x))2+4f(x)对于x∈R恒成立.
而(f(x))2+4f(x)=f(x)+4f(x)≥2f(x)·4f(x)=4,且(f(0))2+4f(0)=4,
所以m≤4,故实数m的最大值为4.
(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.
因为g'(x)=axln a+bxln b,又由01知ln a<0,ln b>0,
所以g'(x)=0有唯一解x0=logba-lnalnb.
令h(x)=g'(x),
则h'(x)=(axln a+bxln b)'=ax(ln a)2+bx(ln b)2,
从而对任意x∈R,h'(x)>0,
所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.
于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)g'(x0)=0.
因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.
下证x0=0.
若x0<0,
则x0aloga2-2=0,
且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,
所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.
因为00,同理可得,在x02和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.
因此,x0=0.
于是-lnalnb=1,
故ln a+ln b=0,所以ab=1.
【三年模拟】
一、单项选择题(每题5分,共40分)
1.(2019湖北荆门模拟,8)复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元,存入银行,年利率为2.25%,若购买某理财产品,年利率可达4.01%.假设5年内各年利率保持不变,则将这1 000元用于购买理财产品比存入银行可以多获利息( )
(参考数据:1.022 54=1.093,1.022 55=1.118,1.040 15=1.217)
A.176元 B.99元 C.77元 D.88元
答案 B
2.(2018江西吉安八所重点中学4月联考,12)定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x,则下列四个命题:
①f(2 018)=0;②函数f(x)的最小正周期为2;
③当x∈[-2 018,2 018]时,方程f(x)=12有2 018个根;
④方程f(x)=log5|x|有5个根.
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
3.(2020届海南中学第一次月考,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
4.(2020届黑龙江大庆一中第一次月考,6)《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何.其意思是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少?设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗,则下列判断正确的是( )
A.y2=xz且x=57 B.y2=xz且x=207
C.2y=x+z且x=57 D.2y=x+z且x=207
答案 B
5.(2018宁夏银川月考,5)国家规定个人稿费纳税条件为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税;超过4 000元的按全稿酬的11%纳税.若某人共纳税420元,则这个人的稿费为( )
A.3 000元 B.3 800元 C.3 818元 D.5 600元
答案 B
6.(2018山西大同模拟,6)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,为了赚得最大利润,每个售价应定为( )
A.85元 B.90元 C.95元 D.100元
答案 C
7.(2018福建三明联考,6)用清水洗衣服,每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据:lg 2≈0.301)( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B
8.(2019福建八校一模,12)已知函数f(x)=|lnx|,01) B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
答案 ABD
11.(改编题)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元),乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示,则( )
A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
C.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=14x+52
E.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
答案 ABCD
三、填空题(共5分)
12.(2019届吉林高三第一次调研测试,16)某工厂投资100万元开发新产品,第一年获利10万元,从第二年开始每年获利比上一年增加20%,从第n年开始,前n年获利总和超过投入的100万元,则n= .(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)
答案 7
四、解答题(共25分)
13.(2020届南京学情调研,17)随着城市地铁建设的持续推进,市民的出行越来越便利.根据大数据统计,某条地铁线路运行时,发车时间间隔t(单位:分钟)满足:4≤t≤15,t∈N,平均每趟地铁的载客人数p(t)(单位:人)与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系:
p(t)=1 800-15(9-t)2,4≤t<9,1 800,9≤t≤15,其中t∈N.
(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1 500人,试求发车时间间隔t的值;
(2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q=6p(t)-7 920t-100(单位:元),问当发车时间间隔t为多少时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大?并求出最大净收益.
解析 (1)当9≤t≤15时,1 800>1 500,不满足题意,舍去.
当4≤t<9时,1 800-15(9-t)2≤1 500,即t2-18t+61≥0,
解得t≥9+25(舍)或t≤9-25,∵4≤t<9,t∈N,∴t=4.
(2)由题意可得Q=-90t+4 410t+1 520,4≤t<9,t∈N,2 880t-100,9≤t≤15,t∈N,
当4≤t<9时,Q≤-290×4 410+1 520=260(元)(t=7时取等号),当9≤t≤15时,Q≤2 8809-100=220(元)(t=9时取等号).
∵260>220,∴当发车时间间隔t=7时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大,最大净收益为260元.
14.(2019届山东寿光现代中学10月月考,19)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=42a-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足Q=14a+2,80≤a≤120,32,1200,故f(x)的最大值为88万元.
答:当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,总收益最大,且最大总收益为88万元.
应用篇知行合一
【应用集训】
1.(2020届福建永安一中、漳平一中第一次联考,8)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有a4升,则m的值为( )
A.5 B.8 C.9 D.10
答案 A
2.(2020届江西新余四中月考,11)中国古代近似计算方法源远流长,早在8世纪,我国著名数学家张遂为编制《大衍历》发明了一种二次不等距插值算法.若函数y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x11时, f(x)=x2-1, f(x)是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上不是单调函数.
④f(x)=0恰有两个根x1=-1,x2=1,因此f(x)恰有2个零点.
