高中数学选修2-3教学课件：二项式定理2

高中数学选修2-3教学课件：二项式定理2

二 项 式 定 理 2 复习提问 1. 二项式定理的内容 ( a + b ) n = C n a n +C n a n -1 b + … +C n a n - k b k + … +C n b n 0 1 k n 右边多项式叫 (a+b) n 的二项展开式； 2. 二项式系数 : 3. 二项展开式的通项 T k+1 = 针对 (a+b) n 的 标准形式而言 (b+a) n ， (a-b) n 的通项则分别为 : 4. 在定理中，令 a=1 ， b=x ，则 二项式定理的逆用 例 1 计算并求值 解 (1): 将原式变形 例 1 计算并求值 解 :(2) 原式 逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点 , 也是重点 , 只有熟练掌握公式的正用 , 才能掌握逆向应用和变式应用 观察猜想 展开式的二项式系数有什么变化规律？ 二项式系数最大的是哪一项？ ( a + b ) n = C n a n +C n a n -1 b + … +C n a n - r b r + … +C n b n 0 1 r n 研究它的一般规律，我们先来观察 n 为特殊值时，二项展开式中二项式系 数有什么特点？ 当 时，求 展开式的二项式系数，及二项式系数的和。 二项式系数有什么特点？ 定义域 {0,1,2, … ,n} 6 14 20 O 6 3 r f ( r ) 令 当 n= 6 时 , 其图象是 7 个孤立点 归纳提高 性质 1 ( 对称性 ) ： 在二项展开式中，与首末两端“等距”的 两项的二项式系数相等。即 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： 　　 注：在杨辉三角表里，每一个数都等于它肩上两个数的和 归纳提高 性质 2( 增减性与最大值 ) ： 若 n 为偶数 中间一项（第 项）的二项式系数取得 最大值；即最 大 。 当 r ≤ 时， 单调递增； 当 r ≥ 时， 单调递减； 归纳提高 性质 2( 增减性与最大值 ) ： 中间两项（第 、 项）的二项式系数相等，且同时取得最大值。即 若 n 为奇数 当 r ≤ 时， 单调递增； 当 r ≥ 时， 单调递减； 例题分析 例 2 ．证明： （ 1 ） ( a + b ) n 的展开式中 , 各二项式系数 的和为 2 n ； （ 2 ） ( a + b ) n 的展开式中，奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和。 小结： 求解二项式系数和时，灵活运用赋值  法可以使问题简单化。通常选取赋值  时取－ 1 ， 1 。 性质 3( 各二项式系数的和 ) ： 性质 4( 奇数项的二项式系数和等于偶数项 的二项式系数和 ) ： 归纳提高 求奇数 ( 次 ) 项偶数 ( 次 ) 项系数的和 (1) (2) 求奇数 ( 次 ) 项偶数 ( 次 ) 项系数的和 所以 （ 3 ） 例题点评 求二项展开式系数和，常常得用 赋值法 ，设 二项式中的字母为 1 或 -1 ，得到一个或几个等 式，再根据结果求值 求多项式的展开式中特定的项 ( 系数 ) 例 4 的展开式中 , 的系数等于 ___________ 解 : 仔细观察所给已知条件可直接求得 的系 数是 解法 2 运用等比数列求和公式得 在 的展开式中 , 含有 项的系数为 所以 的系数为 -20 求复杂的代数式的展开式中某项 ( 某项的系数 ), 可以逐项分析求解 , 常常对所给代数式进行化简 , 可以减小计算量 例题点评 例题 5: 求 的展开式中 项 的系数 . 解 的通项是 的通项是 的通项是 由题意知 解得 所以 的系数为 : 例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算 求展开式中系数最大 ( 小 ) 的项 解 : 设 项是系数最大的项 , 则 二项式系数最大的项为第 11 项 , 即 所以它们的比是 例 7 在 的展开式中，系数 绝对值 最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第 r+1 项，则 所以当 时，系数绝对值最大的项为 解决系数最大问题，通常设第 项是系数最 大的项，则有 由此确定 r 的取值 例题点评 三项式转化为二项式 解：三项式不能用二项式定理 , 必须转化为二项式 再利用二项式定理逐项分析常数项得 =1107 ______________ 解： 原式化为 其通项公式为 240 例题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项 , 合并时要注意选择的科学性 . 也可因式分解化为乘积二项式 .