2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高二上学期冬季联赛数学（文）试题 解析版

2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高二上学期冬季联赛数学（文）试题 解析版

高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛 数学（文）试题 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.某校高一年级10名同学参加校园歌手大赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数为（ ）‎ A.91.5 ‎ B.88 ‎ C.88.5 ‎ D.90‎ ‎3.命题“若，则或”的否命题是（ ）‎ A.若，则或 ‎ B.若，则且 ‎ C.若，则且 ‎ D.若，则或 ‎4.设，是两个非零向量，在方向上的投影为，则“”是“，夹角为钝角”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.若，则有（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.已知实数，满足，则的最大值与最小值之和为（ ）‎ A.5 B. C.6 D.7‎ ‎7.在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图，某三棱柱的正视图是边长为2的正方形，其上下底面为正三角形，则下列命题中一定成立的是（ ）‎ A.该三棱柱的表面积为 B.该三棱柱的体积为 C.该三棱柱的侧视图为矩形 D.该三棱柱有外接球 ‎9.已知直线与单位圆有唯一的公共点，角的终边在直线上，为坐标原点，则（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.已知函数，先将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再沿轴向右平移个单位长度，得到函数，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（ ）‎ A.直线对称 B.直线对称 ‎ C.原点对称 D.轴对称 ‎12.已知奇函数图象经过点，若矩形的顶点，在轴上，顶点，在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数，则________.‎ ‎14.不等式的解集是________.‎ ‎15.已知等比数列中，前4项之和为，且，，成等差数列，则公比________.‎ ‎16.设是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围为________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.‎ ‎17.已知数列满足.‎ 求数列的通项公式；‎ 求数列的前项和.‎ ‎18.在中，，，的面积为.‎ 设为的中点，求的长度.‎ 求的值.‎ ‎19.某校食堂的两层楼分别由两家餐饮公司经营，称为一食堂和二食堂，学校为了了解学生对这两家食堂的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了60名学生对两家食堂分别进行评分.根据收集的120份问卷的评分得到了一楼食堂的满意度评分的频率分布直方图和二楼食堂满意度的频率分布表.‎ ‎ ‎ 根据一楼食堂的频率分布直方图，估计该食堂的满意度评分的中位数；‎ 从满意度高于90分的问卷中，随机抽取两份，求这两份问卷都是一楼食堂评分的概率；‎ 请从统计变量数据，对一楼食堂、二楼食堂作出客观评价.‎ ‎20.已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上且焦距为4.‎ 求椭圆的方程；‎ 若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，求直线的方程.‎ ‎21.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个“刍甍”，四边形为矩形，与都是正三角形，，.‎ 求证：面；‎ 求五面体的体积.‎ ‎22.已知过点的动直线与圆交于，两点，线段中点的轨迹为曲线.‎ 求曲线的方程；‎ 若曲线的一条切线与圆交于，两点，若，求切线的坐标.‎ 高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛 数学（文）试题参考答案 一、选择题 ‎1.【解析】选.解得，解得，.‎ ‎2.【解析】选.中位数为.‎ ‎3.【解析】选.“若，则”的否命题为“若，则”，的否定为.‎ ‎4.【解析】选.，反向，即夹角为时也有，故应选必要不充分条件.‎ ‎5.【解析】选.由得，而是 上的增函数.‎ 原不等式即，得，即.‎ ‎6.【解析】选.‎ 易知不等式组表示的平面区域是以，，为顶点的三角形，对于可行域内任一点，，不难知，因此则的最大值与最小值之和为.‎ ‎7.【解析】选.直线与圆相交时，弦心距，，故所求概率为.‎ ‎8.【解析】选.注意到，该三棱柱不一定为正三棱柱，有可能是斜三棱柱，于是只有其体积恒为.‎ ‎9.【解析】选.‎ 由题，直线与直线垂直，故，.‎ ‎10.【解析】选.，‎ 由题，，的图象关于直线对称，‎ ‎，即，‎ ‎，，当时，的最小值为.‎ ‎11.【解析】选.‎ 由得，‎ 于是，函数的图象关于直线对称.‎ ‎12.【解析】选.由题，及得， ‎ 如图，不妨设，在轴上方不难知该旋转体为圆柱，半径，‎ 令，整理得，则，为这个一元二次方程的两个不等实根，‎ 于是圆柱的体积 ‎，当且仅当时等号成立.‎ 二、填空题 ‎13.【解析】.不等式可化为，即，解得. ‎ ‎14.【解析】.不等式可化为，.‎ ‎15.【解析】2或. 由题，，解得，即，或.‎ ‎16.【解析】.椭圆右焦点为，与椭圆交于，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎. ‎ 三、解答题 ‎17.【解析】：（1），，‎ 两式作差得：，，‎ 又符合上式，故.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎18.【解析】：（1）由的面积得， ‎ ‎，于是在中，由余弦定理：‎ 或.‎ ‎（2）法一：中，由余弦定理，或， ‎ 再由正弦定理，或.‎ 法二：由的面积，得或.‎ ‎19.【解析】：（1） 设一楼食堂的60份问卷的中位数为，则有 ‎，；‎ ‎（2）满意度高于90份的问卷，一楼食堂有 份，二楼食堂有2份，它们分别设为：，从这5份问卷中随机抽取2份，所有可能的结果有：，，，‎ ‎，，，，，，，共10种结果，其中两份都是一楼食堂的有，，共3种结果，其概率为；‎ ‎（3）由（1）知，一楼食堂得分的中位数为74，低于二楼食堂得分的中位数75分，一楼食堂得分集中在这组，而二楼食堂得分集中在和两个组，一楼食堂得分的平均数低于二楼食堂得分的平均数；一楼食堂得分比较分散，二楼食堂得分相对比较集中，即一楼食堂得分的方差高于二楼食堂得分的方差.‎ ‎20.【解析】：（1）由题，，焦点的坐标为，，‎ 于是，，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆联立得：，‎ 令，‎ 化简得：，解得，‎ 所以直线的方程为，即.‎ ‎21.【解析】：（1），面，面，‎ 面，又面面，‎ ‎，又面，面，‎ 所以面.‎ ‎（2）如图，延长棱至，使得，‎ 由题可知与皆为矩形，于是我们得到了直三棱柱，‎ 又，‎ 中，边长的高为，，‎ 五面体的体积 ‎.‎ ‎22.【解析】：（1）法一：圆，圆心，‎ 由垂径定理知，即，‎ 于是的轨迹是以为直径端点的圆，‎ 所以曲线的方程为.‎ 法二：设动直线为，与圆联立，‎ 得：，‎ 由韦达定理，①，②，‎ 由①得，代入②式得：，‎ 又动直线斜率不存在时点坐标为满足以上式关系，‎ 故曲线的方程为.‎ ‎（2）设，先证曲线在点处的切线方程为，‎ 事实上，，点在上，‎ 又圆心到的距离，‎ 故为曲线的切线，‎ ‎，所以圆心到弦的距离 ‎，‎ ‎，解得或（舍），‎ 从而点的坐标为或.‎ ‎ ‎