数学（理）卷·2017届江苏省淮安市淮海中学高三12月考试（2016

数学（理）卷·2017届江苏省淮安市淮海中学高三12月考试（2016

淮海中学2017届高三第二次阶段性测试 ‎ 数学试题（理科） 2016.12.15‎ 参考公式：样本数据，…，的方差，其中=‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.设集合，则 ▲ ．‎ ‎2.函数的最小正周期是 ▲ ． ‎ ‎3.已知复数满足（是虚数单位），则的模为 ▲ ．‎ ‎4设函数，若，则 ▲ ． ‎ ‎5.矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为 ▲ ．‎ A B C D F E ‎（第5题图）‎ ‎6. 若直线l1：x＋2y－4＝0与l2：mx＋(2－m)y－3＝0平行，则实数m的值为 ▲ ．‎ ‎7.等比数列中,已知,则数列前k项的和 ▲ ．‎ ‎8. 已知点是函数图象上的一点，则曲线在点处的切线斜率取得最大值时切线的方程为 ▲ ．‎ ‎9.若= ▲ ．‎ ‎10.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且的值为 ▲ ．‎ ‎11. 等比数列的首项为2，公比为3，前项的和为，若的最小值为 ▲ ．‎ ‎12. 在平面直角坐标系xoy中，已知点，,若直线x-y+m ‎=0上存在点P，使得2PA=PB,‎ 则实数m的取值范围为 ▲ ．‎ ‎13.已知函数有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ▲ ．[]‎ ‎14. 已知函数，若关于x的不等式的解集为，且，则实数m的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为，且 ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若三角形面积为，且，求三角形ABC的周长.‎ A B C x O ‎16. （本小题满分14分）‎ 如图已知四边形AOCB中,,,点B位于第一象限，若△BOC为正三角形.‎ ‎（1）若求点A的坐标；‎ ‎（2）记向量与的夹角为，求的值. ‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 如图，在半径为的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A、B在直径上，点C、D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），‎ ‎ ‎ ‎（第17题图）‎ ‎（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？‎ ‎（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？‎ ‎ ‎ ‎[]‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 已知定点，圆C：，‎ ‎（1）过点向圆C引切线l，求切线l的方程；‎ ‎（2）过点作直线交圆C于，且，求直线的斜率； ‎ Q P O A B ‎（3）定点在直线上，对于圆C上任意一点R都满足，试求两点的坐标.‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 已知数列和满足若为等比数列，且 ‎（1）求和；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为 ‎①求；‎ ‎②求正整数 k，使得对任意均有.‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知函数 ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若时，函数有且只有一个零点，求实数的值；‎ ‎（3若，对于区间上的任意两个不相等的实数，都有 成立，求实数的取值范围.‎ 淮海中学2017届高三第二次阶段性测试理科参考答案 一、填空题：‎ ‎1．{1，2，3} 2. 3. 4.-9 5． 6. 7.364 8. 9． 10． 11． 12． 13． 14．[]‎ 二、解答题：‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 解:（1）因为 ，由正弦定理得 ‎， ‎ 即=sin(A+C) ． …………4分 ‎ 因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，所以．‎ 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，‎ ‎ 所以，因为，所以． ………………7分 ‎（2）△ABC的面积为，且 由，‎ ‎．所以……………12分 ‎ 周长 ………………14分 ‎16.解：（1）………………2分 ‎………………5分 点坐标为………………7分 ‎（2）向量…9分……12分 因此，………………14分 ‎17.解：（1）如图，设圆心为O，连结，设，‎ 法一 易得，，故所求矩形的面积为 ………3分 ‎ （）‎ ‎（当且仅当，（）时等号成立） 此时 ； ……6分 ‎ 法二 设，； 则，，‎ ‎ 所以矩形的面积为， ………3分 ‎ 当，即时，（）此时 ； ………6分 ‎（2）设圆柱的底面半径为，体积为，由得，，‎ ‎ 所以，其中， ………9分 由得，此时，在上单调递增，在上单调递减， 故当时，体积最大为 ，………13分 答：（1）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的侧面积最大．‎ ‎（2）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的体积最大．………14分 ‎18.解：(1)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝2符合题意；...............1分 ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．‎ 即kx－y－2k＝0.‎ 若直线l与圆C相切，则有，解得k＝，‎ ‎∴直线l：‎ 故直线l的方程为x＝2或..........................4分 ‎（2）设，由知点P是AQ的中点，所以点Q的坐标为.‎ 由于两点P,Q均在圆C上，故 ， ①‎ ‎，即， ②‎ ②—①得， ③ ‎ 由③得代入②整理得，‎ 所以或，再由③得或， 或. ‎ ‎(其他方法类似给分) ...............10分 ‎（2）设，则 ④‎ 又，‎ 即 ， ⑤‎ 由④、⑤得，‎ 化简得 ， ⑥‎ 由于关于的方程⑥有无数组解，所以，................14分 解得或.‎ 所以满足条件的定点有两组或............16分 ‎19．解：(1)由题意a1a2a3…an＝，b3－b2＝6，知a3＝()b3－b2＝8. 设数列{an}的公比为q,又由a1＝2，得，q＝2(q＝－2舍去)，所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N)．…3分 所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．‎ 故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N)． …………6分 ‎(2)(i)由(1)知cn＝－＝－(n∈N)．所以Sn＝－(n∈N)． …10分 ‎(ii)因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，cn＝，‎ 而－＝>0，‎ 得≤<1，所以，当n≥5时，cn<0.‎ 综上，若对任意n∈N恒有Sk≥Sn，则k＝4. …………16分[]‎ ‎20．（1）‎ 当时，，f (x)在上递增，f (x)无极值 ………2分 当时，时，，f (x)递减； ‎ 时，，f (x)递增，所以f (x)有极小值 综上，当时，f (x)无极值；当时，f (x)有极小值，无极大值…4分 ‎（2），则 因为，令，得，故h (x)在上递减，在上递增，所以h (x)有极小值 …………6分 且 联立可得 令，得，故m (x)在上递增 又m (1) = 0，所以，即 …………10分 ‎（3）不妨令，因为0 < a < 1，则 由（1）可知，因为 所以 所以在[1，2]上递增 ‎ 所以在[1，2]上恒成立， …………12分 即在[1，2]上恒成立 令，则， ……14分 ‎ 所以 …………16分