数学(理)卷·2017届江苏省淮安市淮海中学高三12月考试(2016

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数学(理)卷·2017届江苏省淮安市淮海中学高三12月考试(2016

淮海中学2017届高三第二次阶段性测试 ‎ 数学试题(理科) 2016.12.15‎ 参考公式:样本数据,…,的方差,其中=‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.设集合,则 ▲ .‎ ‎2.函数的最小正周期是 ▲ . ‎ ‎3.已知复数满足(是虚数单位),则的模为 ▲ .‎ ‎4设函数,若,则 ▲ . ‎ ‎5.矩形ABCD由两个正方形拼成,则∠CAE的正切值为 ▲ .‎ A B C D F E ‎(第5题图)‎ ‎6. 若直线l1:x+2y-4=0与l2:mx+(2-m)y-3=0平行,则实数m的值为 ▲ .‎ ‎7.等比数列中,已知,则数列前k项的和 ▲ .‎ ‎8. 已知点是函数图象上的一点,则曲线在点处的切线斜率取得最大值时切线的方程为 ▲ .‎ ‎9.若= ▲ .‎ ‎10.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且的值为 ▲ .‎ ‎11. 等比数列的首项为2,公比为3,前项的和为,若的最小值为 ▲ .‎ ‎12. 在平面直角坐标系xoy中,已知点,,若直线x-y+m ‎=0上存在点P,使得2PA=PB,‎ 则实数m的取值范围为 ▲ .‎ ‎13.已知函数有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 ▲ .[]‎ ‎14. 已知函数,若关于x的不等式的解集为,且,则实数m的取值范围是 ▲ .‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为,且 ‎(1)求角A的值;‎ ‎(2)若三角形面积为,且,求三角形ABC的周长.‎ A B C x O ‎16. (本小题满分14分)‎ 如图已知四边形AOCB中,,,点B位于第一象限,若△BOC为正三角形.‎ ‎(1)若求点A的坐标;‎ ‎(2)记向量与的夹角为,求的值. ‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,在半径为的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD(点A、B在直径上,点C、D在半圆周上),并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),‎ ‎ ‎ ‎(第17题图)‎ ‎(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取?‎ ‎(2)若要求圆柱体罐子的体积最大,应如何截取?‎ ‎ ‎ ‎[]‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 已知定点,圆C:,‎ ‎(1)过点向圆C引切线l,求切线l的方程;‎ ‎(2)过点作直线交圆C于,且,求直线的斜率; ‎ Q P O A B ‎(3)定点在直线上,对于圆C上任意一点R都满足,试求两点的坐标.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知数列和满足若为等比数列,且 ‎(1)求和;‎ ‎(2)设,记数列的前项和为 ‎①求;‎ ‎②求正整数 k,使得对任意均有.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知函数 ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)若时,函数有且只有一个零点,求实数的值;‎ ‎(3若,对于区间上的任意两个不相等的实数,都有 成立,求实数的取值范围.‎ 淮海中学2017届高三第二次阶段性测试理科参考答案 一、填空题:‎ ‎1.{1,2,3} 2. 3. 4.-9 5. 6. 7.364 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.[]‎ 二、解答题:‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 解:(1)因为 ,由正弦定理得 ‎, ‎ 即=sin(A+C) . …………4分 ‎ 因为B=π-A-C,所以sinB=sin(A+C),所以.‎ 因为B∈(0,π),所以sinB≠0,‎ ‎ 所以,因为,所以. ………………7分 ‎(2)△ABC的面积为,且 由,‎ ‎.所以……………12分 ‎ 周长 ………………14分 ‎16.解:(1)………………2分 ‎………………5分 点坐标为………………7分 ‎(2)向量…9分……12分 因此,………………14分 ‎17.解:(1)如图,设圆心为O,连结,设,‎ 法一 易得,,故所求矩形的面积为 ………3分 ‎ ()‎ ‎(当且仅当,()时等号成立) 此时 ; ……6分 ‎ 法二 设,; 则,,‎ ‎ 所以矩形的面积为, ………3分 ‎ 当,即时,()此时 ; ………6分 ‎(2)设圆柱的底面半径为,体积为,由得,,‎ ‎ 所以,其中, ………9分 由得,此时,在上单调递增,在上单调递减, 故当时,体积最大为 ,………13分 答:(1)当截取的矩形铁皮的一边为为时,圆柱体罐子的侧面积最大.‎ ‎(2)当截取的矩形铁皮的一边为为时,圆柱体罐子的体积最大.………14分 ‎18.解:(1)①当直线l与x轴垂直时,易知x=2符合题意;...............1分 ‎②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2).‎ 即kx-y-2k=0.‎ 若直线l与圆C相切,则有,解得k=,‎ ‎∴直线l:‎ 故直线l的方程为x=2或..........................4分 ‎(2)设,由知点P是AQ的中点,所以点Q的坐标为.‎ 由于两点P,Q均在圆C上,故 , ①‎ ‎,即, ②‎ ②—①得, ③ ‎ 由③得代入②整理得,‎ 所以或,再由③得或, 或. ‎ ‎(其他方法类似给分) ...............10分 ‎(2)设,则 ④‎ 又,‎ 即 , ⑤‎ 由④、⑤得,‎ 化简得 , ⑥‎ 由于关于的方程⑥有无数组解,所以,................14分 解得或.‎ 所以满足条件的定点有两组或............16分 ‎19.解:(1)由题意a1a2a3…an=,b3-b2=6,知a3=()b3-b2=8. 设数列{an}的公比为q,又由a1=2,得,q=2(q=-2舍去),所以数列{an}的通项为an=2n(n∈N).…3分 所以,a1a2a3…an=2=()n(n+1).‎ 故数列{bn}的通项为bn=n(n+1)(n∈N). …………6分 ‎(2)(i)由(1)知cn=-=-(n∈N).所以Sn=-(n∈N). …10分 ‎(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,当n≥5时,cn=,‎ 而-=>0,‎ 得≤<1,所以,当n≥5时,cn<0.‎ 综上,若对任意n∈N恒有Sk≥Sn,则k=4. …………16分[]‎ ‎20.(1)‎ 当时,,f (x)在上递增,f (x)无极值 ………2分 当时,时,,f (x)递减; ‎ 时,,f (x)递增,所以f (x)有极小值 综上,当时,f (x)无极值;当时,f (x)有极小值,无极大值…4分 ‎(2),则 因为,令,得,故h (x)在上递减,在上递增,所以h (x)有极小值 …………6分 且 联立可得 令,得,故m (x)在上递增 又m (1) = 0,所以,即 …………10分 ‎(3)不妨令,因为0 < a < 1,则 由(1)可知,因为 所以 所以在[1,2]上递增 ‎ 所以在[1,2]上恒成立, …………12分 即在[1,2]上恒成立 令,则, ……14分 ‎ 所以 …………16分
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