高中数学必修5能力强化提升3-4

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高中数学必修5能力强化提升3-4

‎3.4 基本不等式:≤ 双基达标 (限时20分钟) ‎1.若x>0,y>0,且x+y=4,则下列不等式中恒成立的是 (  ).‎ A.≤ B.+≥1‎ C.≥2 D.≥1‎ 解析 若x>0,y>0,由x+y=4,得=1,‎ ‎∴+=(x+y)=≥(2+2)=1.‎ 答案 B ‎2.下列各函数中,最小值为2的是 (  ).‎ A.y=x+ B.y=sin x+,x∈ C.y= D.y=+ 解析 对于A:不能保证x>0,‎ 对于B:不能保证sin x=,‎ 对于C:不能保证=,‎ 对于D:y=+≥2.‎ 答案 D ‎3.若02,则a+的最小值是________.‎ 解析 ∵a>2,∴a-2>0.‎ ‎∴a+=(a-2)++2≥2+2=4.‎ 当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立.‎ 答案 4‎ ‎5.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.‎ 解析 ab=a+b+3≥2+3,∴≥3,即ab≥9.‎ 答案 [9,+∞)‎ ‎6.已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,求+的最小值.‎ 解 法一 由已知条件lg x+lg y=1可得:x>0,y>0,且xy=10.‎ 则+=≥=2,‎ 所以min=2,当且仅当即时等号成立.‎ 法二 由已知条件lg x+lg y=1可得:‎ x>0,y>0,且xy=10,‎ +≥2 =2 =2(当且仅当即时取等号).‎ 综合提高 (限时25分钟) ‎7.设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为 (  ).‎ A.8 B.4 C.1 D. 解析 因为3a·3b=3,所以a+b=1,‎ +=(a+b) ‎=2++≥2+2 ‎=4,‎ 当且仅当=,即a=b=时,“=”成立,故选B.‎ 答案 B ‎8.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是 (  ).‎ A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 解析 设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,∴ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少,故选C.‎ 答案 C ‎9.(2011·潍坊高二检测)在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上________和________.‎ 解析 设两数为x,y,即4x+9y=60,‎ 又+==≥×(13+12)=,当且仅当=,且4x+9y=60,即x=6,y=4时,等号成立.‎ 答案 6 4‎ ‎10.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n>0,则+的最小值为________.‎ 解析 函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),(-2)·m+(-1)·n+1=0,‎ ‎2m+n=1,m,n>0,‎ +=·(2m+n)‎ ‎=4++ ‎≥4+2 =8,‎ 当且仅当,即时等号成立.‎ 答案 8‎ ‎11.求函数y=的值域.‎ 解 函数的定义域为R,‎ y==1+.‎ ‎(1)当x=0时,y=1;‎ ‎(2)当x>0时,y=1+≤1+=4.‎ 当且仅当x=时,即x=1时,ymax=4;‎ ‎(3)当x<0时,y=1+ ‎=1-≥1-=-2.‎ 当且仅当-x=-时,即x=-1时,ymin=-2.‎ 综上所述:-2≤y≤4,即函数的值域是[-2,4].‎ ‎12.(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x(x≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3 000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费最小值是多少?‎ ‎(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)‎ 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,依题意得 f(x)=Q(x)+ ‎=50x++3 000(x≥12,x∈N),‎ f(x)=50x++3 000‎ ‎≥2 +3 000=5 000(元).‎ 当且仅当50x=,即x=20时上式取“=”‎ 因此,当x=20时,f(x)取得最小值5 000(元).‎ 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用最小值为5 000元.‎
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