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文档介绍
2020版高考数学一轮复习(讲义·理) 第10章 计数原理概率随机变量及其分布
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [考纲解读] 1.理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理).(重点) 2.能正确区分“类”和“步”,并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题.(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看,对两个计数原理很少独立命题. 预测2020年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识. 试题以客观题的形式呈现,难度不大,属中、低档题型. 1.两个计数原理 2.两个计数原理的区别与联系 1.概念辨析 (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分步乘法计数原理中,只有各个步骤都完成后,这件事情才算完成.( ) (3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) (4)如果完成一件事情有n个不同的步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.小题热身 (1)从甲地到乙地,每天飞机有5班,高铁有10趟,动车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有( ) A.22种 B.33种 C.300种 D.3600种 答案 B 解析 由分类加法计数原理知共有5+10+6+12=33种出行方案. (2)某人有3个电子邮箱,他要发5封不同的电子邮件,则不同的发送方法有( ) A.8种 B.15种 C.35种 D.53种 答案 C 解析 发5封不同的电子邮件,分5步,每一步有3种方法,由分步乘法计数原理得不同的发送方法有35种. (3)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( ) A.30个 B.42个 C.36个 D.35个 答案 C 解析 ∵a+bi为虚数,∴b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数. (4)如图,要让电路从A处到B处接通(只考虑每个小并联单元只有一个开关闭合的情况),可有________条不同的路径. 答案 9 解析 分以下三种情况计数. ①第一层有3×2=6种路径; ②第二层有1种路径; ③第三层有2种路径; 由分类加法计数原理知,共有6+1+2=9种路径. 题型 分类加法计数原理的应用 1.(2018·石家庄模拟)满足a,b∈{-1,1,2},则关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案 D 解析 由a,b的取值可知,ax2+2x+b=0有实数解的条件为Δ=22-4ab=4-4ab≥0.当a=-1时,b=-1,1,2,共3种情况;当a=1时,b=-1,1,共2种情况;当a=2时,b=-1,有1种情况,共有3+2+1=6种情况. 2.已知椭圆+=1,若a∈{2,4,6,8},b∈{1,2,3,4,5,6,7,8},这样的椭圆有________个( ) A.12 B.16 C.28 D.32 答案 C 解析 解法一:若焦点在x轴上,则a>b,a=2时,有1个;a=4时,有3个;a=6时,有5个;a=8时,有7个,共有1+3+5+7=16个. 若焦点在y轴上,则b>a,b=3时,有1个;b=4时,有1个;b=5时,有2个;b=6时,有2个;b=7时,有3个,b=8时,有3个.共有1+1+2+2+3+3=12个.故共有16+12=28个. 解法二:椭圆中a≠b,而a=b有4种情况,故椭圆的个数为4×8-4=28. 1.分类加法计数原理的用法及要求 (1)用法:应用分类加法计数原理进行计数时,需要根据完成事件的特点,将要完成一件事的方法进行“分类”计算. (2)要求:各类的方法相互独立,每类中的各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2.使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则. 提醒:对于分类类型较多,而其对立事件包含的类型较少的可用间接法求解. 1.三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( ) A.4种 B.6种 C.10种 D.16种 答案 B 解析 分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件有3种方法(如图),甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲 同理,甲先传给丙时,满足条件有3种踢法. 由分类加法计数原理,共有3+3=6种传递方法.故选B. 2.(2019·重庆模拟)在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6)中的元素.又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P的个数为________. 答案 20 解析 依题意可知, 当a=1时,b=5,6,2种情况; 当a=2时,b=5,6,2种情况; 当a=3时,b=4,5,6,3种情况; 当a=4时,b=3,5,6,3种情况; 当a=5或6时,b各有5种情况. 由分类加法计数原理得点P的个数为2+2+3+3+5+5=20. 题型 分步乘法计数原理 1.(2016·全国卷Ⅱ)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 答案 B 解析 分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B. 2.某市汽车牌照号码可以网上自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母G,L 中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),某车主从左到右第一个号码只想在1,3,5,7中选择,其他号码只想在1,3,6,8,9中选择,则供他可选的车牌号码的种数为( ) A.21 B.800 C.960 D.1000 答案 D 解析 分步完成.从左到右第一个号码有4种选法,第二个号码有2种选法,第三个号码有5种选法,第四个号码有5种选法,第5个号码有5种选法,共有4×2×5×5×5=1000种不同的选法. 条件探究 把举例说明2中的条件“G,L”改为“B,C,D”,“1,3,5,7”改为“3,5,6,8,9”,“1,3,6,8,9”改为“1,3,6,9”,其他条件不变,应如何解答? 解 按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二个号码有3种选法,其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种). 1.分步乘法计数原理的用法及要求 (1)用法:应用分步乘法计数原理时,需要根据要完成事件的发生过程进行“分步”计算. (2)要求:每个步骤相互依存,其中的任何一步都不能单独完成这件事,只有当各个步骤都完成,才算完成这件事. 2.应用分步乘法计数原理的注意点 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,必须要经过几步才能完成这件事. (2)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰,还要注意元素是否可以重复选取. 在某一运动会百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________种. 答案 2880 解析 分两步安排这8名运动员. 第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2=24(种). 第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120(种).故安排这8人的方式共有24×120=2880(种). 题型 两个计数原理的综合应用 角度1 与数字有关的问题 1.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 答案 B 解析 由题意可知,符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时,个位数字从0,2中任选一个,共有2×4×3×2=48个偶数;当万位数字为5时,个位数字从0,2,4中任选一个,共有3×4×3×2=72个偶数.故符合条件的偶数共有48+72=120(个). 角度2 涂色、种植问题 2.(2019·天津模拟)如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( ) A.24 B.48 C.72 D.96 答案 C 解析 分两种情况: ①A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D有1种,有4×3×2=24(种)涂法. ②A,C同色,先涂A有4种,E有3种,C有1种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48(种)涂法.故共有24+48=72种涂色方法. 角度3 分配问题 3.某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级的学生平均分配到甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一家公司,另3名擅长电脑的学生也不能分给同一家公司,则不同的分配方案有( ) A.36种 B.38种 C.108种 D.114种 答案 A 解析 由题意可知,有2种分配方案:①分给甲公司2名擅长电脑的学生,有3种可能;1名英语成绩优秀的学生,有2种可能;再从剩下的3人中选1人,有3种可能,共有3×2×3=18种分配方案.②分给甲公司1名擅长电脑的学生,有3种可能;1名英语成绩优秀的学生,有2种可能;再从剩下的3人中选2人,有3种可能,共有3×2×3=18种分配方案.由分类加法计数原理,可知不同的分配方案共有18+18=36(种),故选A. 1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么. (2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类. (3)弄清分步、分类的标准是什么. (4)利用两个计数原理求解. 2.与数字有关的问题的解题思路 一般按特殊位置由谁占领分类,每类中再分步计数,当分类较多时,也可用间接法求解.如举例说明1. 3.涂色(种植)问题的解题关注点和关键 (1)关注点:分清元素的数目,其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素. (2)关键是对每个区域逐一进行,分步处理.如举例说明2. 4.分配问题的解题思路 一般按分配规则总体分类,每类中再分步计数.如举例说明3. 提醒:对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当画出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化,以图助解. 1.(2018·吉林省实验中学四模)某山区希望小学为丰富学生的伙食,教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地,分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量高的蔬菜,若这三种蔬菜种植齐全,同一块地只能种植一种蔬菜,且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜,则不同的种植方式共有( ) 1 2 3 4 A.9种 B.18种 C.12种 D.36种 答案 B 解析 给四块菜地分别标记为1号位,2号位,3号位,4号位,若有两块菜地种植西红柿,则它们在1、3,1、4或2、4号位,其他两号位分别种植黄瓜和茄子,所以共有3×2=6种种植方式.同理,两块菜地种植黄瓜或茄子也都有6种种植方式,所以共有6×3=18种种植方式.故选B. 2.(2018·石家庄模拟)为举办校园文化节,某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训,培训项目及人数分别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,则不同的推荐方案的种数为________.(用数字作答) 答案 24 解析 若参加乐器培训的是女生,则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训,共有3×2×2=12(种)方案;若参加乐器培训的是男生,则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训,共有2×3×2=12(种)方案,所以共有24种推荐方案. 3.(2018·湖北模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则: (1)4位回文数有________个; (2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个. 答案 (1)90 (2)9×10n 解析 (1)4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法;中间两位一样,有10种填法.共计9×10=90(种)填法,即4位回文数有90个. (2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格.由计数原理,共有9×10n种填法.查看更多