数学理卷·2019届安徽省青阳县第一中学高二4月月考（2018-04）
青阳一中2017-2018学年度高二4月份月考
数学试卷(理科)
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．函数f(x)＝alnx＋x在x＝1处取得极值，则a的值为( )
A. B．－1 C．0 D．－
2．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A． e2 B．ln 2 C.ln 22 D．e
3．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A． B． C． D．
4．函数f(x)＝( )
A．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增 B． 在(0,2)上单调递减
C．在(0,2)上单调递增 D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A． －1 B．2 C．－2 D．0
6.已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>4 B．2≤m≤4
C．2
0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
19．（12分）
据统计，某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时，每小时的耗油量（升）
与行驶速度（千米∕时）之间有如下函数关系：．已知甲乙两地相距100千米．
（1）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
20.（12分）
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋c1时，x2＋lnx0 15.x=2或-2 16. -14
17.解：(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
因为f(x)在x＝3处取得极值，所以f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3，所以f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，所以切线方程为y＝16.
18.解：函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，
所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
19．【答案】（1）；（2）速度为千米∕时耗油最少，为升．
（2）由题意可得从甲地到乙地需行驶小时，设耗油量为升，
依题意可得，，
则，
令，解得，
当时，，是减函数；
当时，，是增函数，
所以当时，取得最小值，
所以当汽车以千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为升．
20.解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得
即解得
所以f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.
令f′(x)<0，解得－10，解得x<－1或x>2.
所以f(x)的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；
在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．
所以x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为f(－1)与f(3)中的较大者．
f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.
所以当x＝－1时，f(x)取得最大值．
要使f(x)＋cf(－1)＋c，
即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.
所以c的取值范围为(－∞，－1)∪.
21．（1）令，得
①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为
②当时，函数在区间上单调递增，此时函数在区间上的最小值为
（2）由题意得，在上有且只有一个根，
即在上有且只有一个根。令，则
，
易知在上单调递减，在上单调递增，
所以，由题意可知，
若使与的图象恰有一个公共点，则
22.解：(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，
所以2－＝0.所以a＝4.
此时f′(x)＝x－＝＝.
因为f(x)的定义域是{x|x>0}，
所以当02时，f′(x)>0.
所以当a＝4时，x＝2是f(x)的极小值点．所以a＝4.
(2)因为f′(x)＝x－，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，
令f′(x)>0有x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
令f′(x)<0有01时，g′(x)＝>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝>0.
所以当x>1时，x2＋lnx
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